(完整版)第十章__重积分习题课

[4 (x x0 )2 ( y y0 )2 ]dxdy
Dxy
x x0 r cos
y y0 r sin
z
2
d
2 (4 r2 )rdr
0
0
L
o
x
y
3. 已知球A的半径为a ,另求一球B,球心在球A的球面上,
问球B的半径R为多少时,球B位于球A内部的表面积
为最大,并求出最大表面积. 解: 根据题意作图如右. 则
0
x 2
2
3 x
或
dx f (x, y)dy
1
x 2
(2,1)
o
xy3 x
1
2y
2
3 y
0 dyy f (x, y)dx 1 dyy f (x, y)dx
2. 将 I
1
dx
1
f (x, y)dy 化为极坐标系下的累次积分.
0
0
解: 积分区域如图. 作辅助线将积分区域分为两部分.
则 I f (r cos , r sin )rdrd
解: 根据题意作图如右. 由对称性知 x y .
板面积 A 3
y
4
xdxdy
2 d
2
r cos r dr
7
D
0
1
3
o
所以 x y D xdxdy 7 3 28
A
3 4 9
1 2x
故重心坐标为 ( 28 , 28 ) .
9 9
4. 设有一由 y ln x , x 轴及 x = e所围成的均匀薄片,
D1 D2
D2
1
1
0 f (x)dx0 f ( y)dy
A2 I
f (x) f ( y)dxdy
D1
y 1
D1 D2
yx (1,1)
所以 I A2 2 .
o
1x
7.设 f (x)在[0,a] (a > 0)上连续, 证明
y
a
dx
x f (x) f ( y)dy 1 [
a f (x)dx]2.
解: 设曲面上任一点的坐标为 (x0 , y0 , z0) , 则过该点的
切平面方程为 2x0 (x x0 ) 2 y0 ( y y0 ) (z z0 ) 0
即 2x0 x 2 y0 y z (2x02 2 y02 z0 ) 0
又知
z0 4 x02 y02
切平面方程为 2x0 x 2 y0 y z x02 y02 4 0
解: 积分区域如图.
I f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy
D1
D2
D3
0 dxdy (x y)dxdy 0 dxdy
D1
D2
D3
(x y)dxdy
D2
1
y
dy 0
y
(x
y)dx
1 5
(
21 8
2
2)
y y 2x2 y x2
D1
f
(x,
y)dxdy.
f (x, y)关于x为奇函数 f (x, y)关于x为偶函数
其中 D1 (x, y) | (x, y) D, x 0
（2）如果D关于 x 轴对称，则 (x, y) D ，有
0,
D
f
(x,
y)dxdy
2
D2
f
(x,
y)dxdy.
f (x, y)关于y为奇函数 f (x, y)关于y为偶函数
2
2
6 d
0
0
rdr 6 r2 L
S
S1
S2
( 49 3
4
6)
接2.
V dv dxdy z2 dz (z1 z2)dxdy
D
z1
D
[ 6 x2 y2 (x2 y2)]dxdy
D
2
d
2
(
6 r2 r2 )rdr
0
0
L
z 1
2
y
o Dxy
x
2. 证明曲面 z 4 x2 y2 上任一点处的切平面与曲面 z x2 y2 所围立体体积为定值.
D
其中 D {(x, y) | x2 y2 }.
解:
I
er2 sin r2rdrd e
2
d
rer2 sin r 2dr
D
0
0
e
et sin tdt
0
(1e ) 2
（补充）二重积分的对称性
（1）如果D关于 y 轴对称，则 (x, y) D ，有
0,
D
f
(x,
y)dxdy
2
则 I x3 y5dxdy sin y cos xdxdy
D
D
x3 y5dxdy x3 y5dxdy
D1
D2
B(-1,1)
y
sin y cos xdxdysin y cos xdxdy
D2
D1
D2
D1 o
0 0 0 sin y cos xdxdy
D2
C(-1,-1)
1
y
20 sin ydy0 cos xdx L
2)
y
yx
1
y
dy f (x, y)dx
1
1
2
2
2
dy
1
y f (x, y)dx
1
1 2
(
1 2
,1)
(1,1)
(
1 2
,
1 2
)
y
1 x
o 11 2
x
4. 计算 I
2 dy
2
sin
x
dx.
0
yx
解: 积分区域如图. 交换积分顺序得:
I
2
sin
x
dx
x
dy
2 sin xdx
0x
0
0
1
y
yx
(
2
,
2
)
o
2
x
5. 设 f (x) x e y2 dy, 计算 I 1 x2 f (x)dx.
x3
0
解: 积分区域如图. 根据题意知
I
1 x2[ x e y2 dy]dx
0
x3
交换积分 顺序
1e y2 dy 3 y x2dx
0
y
y
y x3 y x
1
(1,1)
0
x1
解: 积分区域如图. 所以
0
y1
I dy f (x, y)dx 1 0
1
1 y2
0 dy0 f (x, y)dx
y 1
D2
y 1 x2
o D1 1 x
y x 1
-1
(2)
I
1
x2
dx f (x, y)dy
3
dx
1 ( 3 x )
2 f (x, y)dy
0
0
1
0
解: 积分区域如图.
D1
D2
y
4 dy
2
y
cos(x
y)dx
0
0
x
y
2
yx
2 dx
x
cos(x y)dy
4
2
x
2
1
D2
D1
o
2
x
x y , x2 y 2x2
6. 设 f (x, y)
0 , 其他
,求 I f (x, y)dxdy,
D
其中 D {(x, y) 0 x 1 , 0 y 1}.
其中 D2 (x, y) | (x, y)D, y 0
（3）如果D关于原点对称，则 (x, y) D，有
0,
2 f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy D1
D
或2 f (x, y)dxdy
其中 D1, D2同上 。 D2
f (x, y) f (x, y), f (x, y) f (x, y)
切平面和曲面所围立体如图.
z
z x2 y2
2x0 x 2 y0 y z x02 y02 4 0
消去 z Dxy : (x x0 )2 ( y y0 )2 4 y o
x
接3.
V [(2x0 x 2 y0 y x02 y02 4) (x2 y2 )]dxdy
Dxy
1
32 y
I 0 dy y f (x, y)dx .
y
y x2
(1,1)
y
1 2
(3
x)
o
3x
(3)
1
x
1 dx 1 f (x, y)dy
2
x
解:
1
x
1 dx 1 f (x, y)dy
2
x
1
1 dx
1 x
x
f (x, y)dy
2
f (x, y)dy
DFra Baidu bibliotek
积分区域如图.
(
1 2
,
A(1,1) x
4. 求 I x5[sin7 y y3 f (x2 y2 )]dxdy 其中D是由
D
y x3, x 1, y 1 围成.
解: 积分区域如图. 作辅助线 y x3 (x 0) 积分区域 被分为两部分. 于是
I x5[sin7 y y3 f (x2 y2 )]dxdy
0
0
20
a
D2
yx
解: 积分区域如图.
D1
a
x
0 dx0
f
(x)
f
( y)dy
f
(x) f
( y)dxdy
o
ax
D1
换序
a
a
a
a
0 dyy f (x) f ( y)dx 0 f ( y)dyy f (x)dx
x 与 y 互换 a
a
0 f (x)dxx f ( y)dy f (x) f ( y)dxdy
1
D1 D2
D3
o
1x
二. 二次积分
1. 将 I f (x, y)dxdy 化为直角坐标系下的累次积分,
D
其中 D : y 2x, x 2 y, x y 3.
解: 积分区域如图. 所以
y y 2x
I f (x, y)dxdy
(1, 2) x 2 y
D
1
2x
dx f (x, y)dy
z B
A: x2 y2 z2 a2
B : x2 y2 (z a)2 R2
Dxy :
x2 y2
R2 4a2
(4a2
R2
)
o
ax
: z a R2 x2 y2
y
A
R
S
Dxy 1 zx2 zy2 dxdy
Dxy
dxdy R2 x2 y2
d 2
R 2a
4a2 R2
第十章
重积分
(习题课)
一、重积分计算的基本方法 — 累次积分法
1. 选择合适的坐标系 2. 选择易计算的积分序 3. 掌握确定积分限的方法
二、重积分的应用
1. 几何方面 面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积
2. 物理方面 质量, 转动惯量, 质心, 引力
题组一：二重积分 一. 计算二重积分
1. I xy cos(xy2 )dxdy, 其中
x2 y2 z2 6 z x2 y2
Dxy : x2 y2 2
2 : z x2 y2
1 : z 6 x2 y2
y
z 1
2
o Dxy
x
S2 Dxy
1 4x2 4 y2 dxdy
2
2
d
0
0
1 4r2 rdr L
S1 Dxy
6 6 x2 y2 dxdy
D1
x5[sin7 y y3 f (x2 y2 )]dxdy
y
D2
1
0
D2
-1 D1 o
x
5. 求 I | cos(x y) |dxdy, 其中D是由 y x,
D
y 0, x 围成.
2
解: 积分区域如图.
作辅助线
x
y
2
积分区域
分为两部分. 于是
I cos(x y)dxdy cos(x y)dxdy
（4）如果D关于直线 y x 对称，则
f (x, y)dxdy f (y, x)dxdy
D
D
3. 求 I (x3 y5 sin y cos x)dxdy, 其中D是由三点
A(1,1),B(D-1,1),C(-1,-1)围成的三角形区域.
解: 积分区域如图. 作辅助线OB将积分区域分为两部分.
密度ρ=1,求此薄片绕 x = t 旋转的转动惯量 I (t), 并求 t 的值使 I (t) 最小.
解: 根据题意作图如右.
I (t)
(x t)2 dxdy
e
dx
ln x (x t)2dy
D
1
0
t2 1 (e2 1)t 2 e3 1
y
2
99
令 I (t) 2t 1 (e2 1) 0 2
0
0
R rdr R2 r2
2 R2 R3
a
接4.
S (R) 2 R2 R3
a
S(R)
4 R
3
a
R2
0
R 4a 3
max S S( 4 a) 32 a2 .
3 27
z B
o
ax
y
A
4. 求由两同心圆 x2 y2 1 和 x2 y2 4所围在第一
象限内的四分之一圆环板的质心,其中面密度ρ为常数.
得 t 1 (e2 1) （唯一驻点）故 o 4
y ln x
1 e tx
1 6e
o
1x
1
6. 设f (x)在[0,1]上连续,且 f (x)dx A, 0
求
I
1
dx
1
f (x) f ( y)dy.
0
x
解: 积分区域如图. 由二重积分的对称性知道
f (x) f ( y)dxdy f (x) f ( y)dxdy
D1
D2
于是 I f (x) f ( y)dxdy f (x) f ( y)dxdy
D1
f (r cos , r sin )rdrd
D2
1
4 d cos f (r cos , r sin )rdr
0
0
y
1
2 d sin f (r cos , r sin )rdr
4
0
r sin 1
1
D2
r cos 1
D1
o
1x
3. 交换下列二次积分的顺序
1
1 x 2
(1) I dx f (x, y)dy
D D {(x, y) | 0 x ，0 y 2}.
2
解: I
2 dx
2 xy cos(xy2 )dy
0
0
1 2
2 dx
2 cos(xy2 )d (xy2 )
0
0
1 2
2
sin(
xy
2
)
2
dx
0
0
1 8
2. 求 I e(x2y2 ) sin(x2 y2 )dxdy,
1 2D
f (x) f ( y)dxdy 1 2
a
f (x)dx
0
D2 a
f ( y)dy
0
1 [ a f (x)dx]2 20
三、二重积分应用
1. 求抛物面 z x2 y2 与球面 x2 y2 z2 6
所围立体的表面积和体积. z 1
2
y
o Dxy
x
解: 积分区域如图.