数值计算中的误差

这就是算法的数值稳定性问题。
p( x) a0 xn a1xn an1x an
an1 ) x an
p( x) (((a0 x a1 ) x a2 ) x
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二、误差的种类及其来源
过失误差或疏忽误差 模型误差
非过失误差 观测误差 截断误差
*
例如 3.14159265 的五、六位有 效数字分别为：
1 3.1416 , 2 3.14159
•数字的规格化形式
一般说，设有一个数 x ，其近似值 x 的规格化形式
*
x 0.1 2 n 10
*
m
(5)
1 , 2 ,, n 都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个数 式中： 字， 1 0 ；n是正整数；m是整数。
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(7)
计算题
绝对误差和相对误差的计算以及有效数字？
例1 当用 3.1416 来表示 它的相对误差是多少？
的近似值时，
3 ，由(7)有
1 解： 3.1416 具有五位有效数字，
* r
1 1 51 4 ( x) 10 10 23 6
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五、防止误差传播的若干方法
应选用数值稳定的计算算法，避开不稳定的算式； 注意简化计算步骤，减少运算次数； 大数“淹没”小数的现象发生；
应避免两相近数相减（变换）；
绝对值太小的数不宜作为除数；
注意计算过程中误差的传播与积累。
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1 x 99 70 2
6
2 7 5 1.4
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和
2 17 12 1.4166
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错误的结果
因此，在研究算法的同时，还必须
正确掌握误差的基本概念，以及误差在
近似值运算中的传播规律，误差分析、 估计的基本方法和算法的数值稳定性概
数值计算中的误差
主要内容 误差及其来源 误差限和有效数字 相对误差与有效数字的联系 算法的稳定性分析
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一、误差分析
1 数值计算方法
数值计算方法，是指将所欲求解的数学模型（数学问 题）简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上 求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进 行分析、计算。
2 误差的含义及其理解
误差无处不在。一个合理的算法也可能得出错误的结果。
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3 算法的数值稳定性
算法选得不恰当，不仅影响到计算的速度和效率，还会
由于计算机计算的近似性和误差的传播、积累直接影响到计
算结果的精度，有时甚至直接影响到计算的成败。不合适的
算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而计算最终失败，
*
绝对误差与相对误差比较还有一个差别：量纲之差。
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5、 相对误差的其它定义 因为一个量的真值往往是不可能求出的，所以 在求相对误差时，常用绝对误差与近似值的比来描 述。于是有：
( x)
* r
( x)
x
x 100％
百分误差： ( x)
* r
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2、有效数字与误差的关系 绝对误差限
－参考：易大义，计算方法，浙江大学
1 ( x) x x ห้องสมุดไป่ตู้10 m n 2
*
(6)
由上式，可以从有效数字算出近似值得绝对误 差限；有效数字的位数越多，其绝对误差限也 就越小。 相对误差限 1 n 1 10 21
作业：P11 1,2,7,8,9,12,13
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念。否则，一个合理的算法也可能会得
出一个错误的结果来。
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三、 绝对误差和相对误差
（一）、 绝对误差和相对误差限
1、绝对误差
设某一个量的准确值（称之为真值）为 x*，其近似值 为 x ，则 x 与 x*的差
( x) x x
*
(1)
称为近似值 x 的绝对误差，简称误差。当( x) 0 时， 称为亏近似值或弱近似值，反之则称为盈近似值或强 近似值。
计算结果
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目的：
分析：
分析算法对数值计算结果有重要的影响。
由于两个近似数相减，使计算结果的有效 数字位数显著减少，以第二种算法尤为严 重。而后两种算法中，则有效数字的损失 较少。又由于近似值的p次乘方的相对误差 是该近似值本身的相对误差的p倍，因此， 在后两种算法中以最后一种为最佳。
f * f * ( ) 和( ) x1 x 2
* x x 分别是 和 对 y 的绝对误差增长因子， 它们分别表示绝对误差 ( x1 )和( x2 ) 经过传播后增大或缩小的倍数。
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* 1
* 2
相对误差：
( y ) f * ( x1 ) f * ( x 2 ) ( y) ( ) . * ( ) . * y x1 x 2 y y
n
xi*
* x i i 1 n
* (19) r ( xi )
近似值之和的绝对误差等于各近似值的绝对误差 的代数和。
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两数x1和x2 相减：
x x * ( x1 x2 ) * * * * r ( x2 ) x1 x2 x1 x2
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2、绝对误差限，或精度
由于真值往往是未知或无法知道的，因此 ( x) 的 准确值（真值）也就是无法求出。但一般可估计 出此绝对误差 ( x) 的上限，也即可以求出一个正 数 ，使
( x) x x (2)
*
此 称为近似值
x 的绝对误差限，或精度。
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（二）、相对误差和相对误差限
1、 为什么要讨论相对误差
2 、相对误差
定义：绝对误差与真值之比
( x) x x r ( x) * * x x
3、相对误差限
*
(4)
r ( x)
4、 绝对误差与相对误差的关系：
( x) x r ( x)
* r
* 1
* 2
即：
x x * * ( x1 x2 ) * * r ( x2 ) * * r ( x2 ) x1 x2 x1 x2
* r
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* 1
* 2
例如，当要求计算 3.01 3 ，结果精确到第 五位数字时，至少取到（八位）
3.01 3
3、例题分析
7 2 1 问题：利用 2 计算代数式 x 5 2 1 并分析对计算结果的影响。
3
的值，
x ( 2 1)
6
2 1 x 2 1
1 x 99 70 2
3
x 99 70 2
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例2 要使积分 I e dx 的近似值 I * 的相对误 0 差不超过0.1％，问至少取几位有效数字？

1
x2
I 0.7467 这样 1 7 ， 解：可以知道，
1 n 1 ( x) 10 0.1% 27
* r
( x)
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（三）、有效数字及其与误差的关 系
1、有效数字
•引子：末位的半个单位 •有效数字的通俗理解
分析：当近似值 x 的误差限是其某一位上 的半个单位时，就称其“准确”到这一位， 且从该位起直到前面第一位非零数字为止的 所有数字都称为有效数字。
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* r
x f * * x f * * ( ) . r ( x1 ) ( ) . r ( x 2 ) y x1 y x 2
* 1 * * 2 *
x f * x f * ( ) 和 ( ) y x1 y x2
* 1 * * 2 *
* x x 分别是 和 对 y 的绝对误差增长因子，它 * * 们分别表示绝对误差 r ( x1 )和 r ( x2 ) 经过传播后增大或缩小的倍数。
舍入误差(凑整误差)
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1、例子 问题：计算算式
2 1 x 2 1
1 x 2 1
分别采用近似值：
3
2 1 x 2 1
3
的近似值：
可用下列四个式子进行计算：
x 99 70 2
3.01 1.7349352
3 1.7320508
3
3.01 3 2.884410
才能达到具有五位有效数字的要求。如果 变换算式（五位）：
0.01 3.01 3 2.8843 103 3.01 3 1.7349 1.7321
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* 1
* 2
2、误差在算术运算中的传播
在具体应用时，应注意分析加、减、乘、除、乘 方和开方等算术运算对数据误差的传播规律。
n n
1、加、减运算
( xi ) ( xi ) (18)
i 1
* r ( xi )
i 1 i 1
n
i 1
可得n=3，即 I 只要取三位有效数字 I * 0.747 ， 就能保证 I * 的相对误差不大于0.1%。
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*
四、误差的传播与估计
1、误差估计的一般公式
在实际的数值计算中，参与运算的数据往往都 是些近似值，带有误差。这些数据误差在多次 运算过程中会进行传播，使计算结果产生误差。 而确定计算结果所能达到的精度，显然是十分 重要的，但这往往也是件很困难的事。但做一 些有用的估计还是可以做到的。这里介绍一种 常用的误差估计的一般公式，它是利用函数的 泰勒(Taylor）展开得到的。
•几点注意
•有效数尾部的零的作用
203（3），0.0203（3）， 0.0203（3），0.020300（5） ，近似值 x
* •存疑数字： 准确值 x 0.1524
0.15 4
存凝数字
•具有n位有效数字的有效数与真值x精确到第n位
的近似值在同一位可能相同或相差可能为1。 •有效位数的长短受到计算机字长的限制。
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•有效数字
*
若 x 的误差限为
1 ( x) x x 10 m n 2
*
(6)
则称 x * 为具有n位有效数字的有效数，或称为它
精度到 10m n 。其中每一位数字 1 , 2 ,, n都 * x 是的有效数字。
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本章小结
•介绍了误差理论的基本概念，误差在近似值运算中
的传播规律以及估算方法，以及数值稳定性的概念；
•误差的表示方法：绝对误差和相对误差； •误差产生的原因：过失误差和非过失误差；
•计算机计算受计算机的字长的限制：因而有效数字
的概念很重要；
•常用的误差估计方法：泰勒展开方法；
•防止误差传播的几个常用方法。
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以二元函数为例 y f ( x1 , x2 )
绝对误差：
f * f * ( y) y y f ( x1 , x2 ) f ( x , x ) ( ) .( x1 ) ( ) .( x2 ) x1 x2
* * 1 * 2