4第四讲 晶体对称规律

因为偶次轴垂直对称面定会产生一个C)。
• 具体的写法为:设置三个序号位(最多只有三个),每个 序号位中规定了写什么方向上的对称要素(序号位与方 向对应，这是国际符号的最主要的特色),对称意义完 全相同的方向上的对称要素,不管有多少,只写一个就 行了（简化，这是国际符号的另一特色）. 不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全不同, 所以,不同晶系的国际符号的写法也就完全不同,一定 不要弄混淆. 每个晶系的国际符号写法见表3 (此表很重要，要熟记！).
中级晶族 四方晶系 （只有一个高次轴） 三方晶系
六方晶系
有一个L6 或Li6
21. Li6 ; 22.Li63L23P ; 23. L6 24. L66L2 ; 25. L6PC ; 26. L66P 27. L66L27PC
28. 3L24L3 ; 29. 3L24L33PC 30. 3Li44L36P ; 31. 3L44L36L2 32. 3L44L36L29PC
晶 系
Fra Baidu bibliotek
原始格子 （P）
底心格子 面心格子 体心格子（I） （C） （F）
三 斜
C=I
I=F
F=P
单 斜
I=F
F=C
斜 方
四 方
C=P
F=I
三 方
六 方 等 轴
与本晶系对 称不符
I=F
F=P
与空间格子 与空间格子 与本晶系对 的条件不符 的条件不符 称不符 与本晶系对 称不符
小结：平行六面体 中4种结点类型：
下面两个平面点阵图案中，请同学们画出其空间格子：
4mm
mm2
4mm
mm2 引出一个问题：空间格子可以有带心的格子；
另外请思考：如果上面的图案对称为3m，该怎么画？
● ●
c0
●
β
●
a0
γ
●
α
b0
●
●
平行六面体参数： a0、 b0、 c0和α、β、γ 对比晶体几何常数
空间格子的划分
划分7种平行六面体，对应于7个晶系
• 举例说明： • 1、四方底心格子可转变为体积更小的四 方原始格子 ； • 2、在等轴晶系中，若在立方格子中的一 对面的中心安置结点，则完全不符合等 轴晶系具有4L3的对称特点，故不可能存 在立方底心格子。
例1：四方底心格子 ＝ 四方原始格子
例2：立方底心格子不符合等轴晶系对称 思考：立方底心格子符合什么晶系的对称？
对称要素的标记：
1 2 3 4 分别表示各种轴次的对称轴和倒转轴；以m表示对称面，
在国际符号中，以1、2、3、4、6和
Li6的国际符号写为 6 而不是3/m；C的国际符号写为 1 开。如L4PC的国际符号写为4/m；L2PC以2/m表示。
。
若对称面与对称轴垂直，则两者之间以斜线或横线隔
(由此可以看出，对称中心C就不必再表示出来了，
类
2 空间格子类型与晶体常数特点
• 2.1空间格子的划分
2.1.1平行六面体的选择 对于每一种晶体结构而言，其结点(相当点)的分布是客 观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
• 对于一个空间点阵，可以划分出一个平行六面体作为一个 基本单位，整个空间点阵可以由这个单位平行六面体在三 维空间的平移而产生。划分平行六面体的方式有很多，但 应遵循以下原则： 1）所选平行六面体的对称性应符合整个空间点阵的对称 性； 2）在不违反对称的前提下，应选择棱与棱之间直角关系 为最多的平行六面体； 3）在遵循前二条件的前提下，所选平行六面体的体积应 为最小； 4）当对称性规定棱间的交角不为直角时，则在遵循前三 个条件的前提下，应选择结点间距小的行列作为平行 六面体的棱，且棱间交角近于直角的平行六面体。
Li2=P
n=2 A n=3 n=4 n=6 B 类 L3 L4 L6 3 L2 4 L3 L3 3 L 2 L4 4L2 L6 6 L 2 3 L4 4 L3 6 L 2 Li3=Li3 Li33 L2 3P= C L3 3 L2 3PC Li4 Li6=Li 6P Li42 L2 2P Li63 L2 3P= L3 3 L2 4P 三方 四方 六方 等轴
对称特点
无对称面 无对称轴 L2 或 P 不多于1个 L2 或 P 多于1个 有一个L4 或Li4 有一个L3
对称型种类
1.L1 2.C 3.L2 4.P 5.L2PC 6.3L2 7.L22P 8.3L23PC 9.L4 ; 10. L44L2 ; 11. L4PC 12. L44P ; 13. L44L25PC 14.Li4 ; 15. Li42L22P 16.L3 ; 17. L33L2 ; 18. L33P 19.L3C ; 20. L33L23PC
• 形状及参数？(七种形态)
2.1.2晶体常数特点
• 依据晶体对称特点、高次对称轴及对称轴的数量进行分 类，各晶系晶体常数a、b、c及其夹角α、β、γ的相 互关系如下： 1）等轴晶系：a=b=c，；α=β=γ=90°；
2）四方晶系：a=b≠c，α=β=γ=90°；
3）六方晶系：a=b≠c，α=β=90°，γ=120°； 4）三方晶系：a=b=c，α=β=γ≠90°； 5）斜方晶系：a≠b≠c，α=β=γ=90°； 6）单斜晶系：a≠b≠c，α=γ =90°、β≠90°
• 例2：四方四面体：有一个Li4，有P包含Li4 • （或L2垂直于
4 2
Li 4 ）
• 则其对称型为：Li 2L 2P
• 定理五：L ×L →mL nL （当L 与L 斜交
时）
n
m
n
m
3
4
• 举例：萤石晶体模型：3L 4L 6L 9PC
4
3
2
32种对称型推导表
对 称 型 共 同 式
•
Ln L1 L2
7）三斜晶系：a≠b≠c，α≠β≠γ≠90°
三十二种对称型及对称分类
晶族名称 低级晶族 （无高次轴） 晶系名称 三斜晶系 单斜晶系
斜方晶系 (正交晶系)
晶体常数特点
a≠b ≠ c ≠ ≠ ≠90° a≠b ≠ c = =90° ≠90° a≠b ≠ c = == 90° a=b ≠ c = == 90° a=b ≠ c = =90°; =120°
思考:两个对称面相交60°,交线处会产生什么对称轴?
定理4：Lin P// =Lin L2

Linn/2 L2 n/2 P// （n为偶数） Linn L2 nP//（n为奇数）
• 图示说明 • 例1：方解石：L33L23PC，此L3为Li3（有对称中心） • 有一个L2是垂直Li3的（或有一个P是包含Li3的） • 则：Li33L23PL33L23PC
原始格子(primitive, P) 体心格子(body-centered, I) 面心格子(face-centered, F) 底心格子(end-centered, C, A, B)
3 对称型（点群）的国际符号
对称型相当于一个公式法，将所有的对称要素按一 定规则罗列起来；而国际符号就是将对称型的表示加 以简化，只写其中的基础对称要素；因为可以根据这 些基础对称要素，通过对称要素组合定理将其所有的 对称要素推导出来；各晶系晶体的国际符号组成分别 有1～3个规定的方向，即： 对称型的国际符号很简明， 1）它不将所有的对称要素都写出来, 2）并且可以表示出对称要素的方向性, 3）但它不容易看懂. 特点是:凡是可以派生出来的对称要素都省略了.
定理二：Ln P LnP C (n为偶数) 逆定理： Ln C LnP C (n为偶数) P C L nP C ( n 为 偶数) 这一定理说明了L2、P、C三者中任两个可以 产生第三者。
因为偶次轴包含L2 。
定理3：Ln P// LnnP//（P与P夹角为Ln基转角的一 半）； 逆定理：两个P相交，其交线必为一Ln，其基转角为P 夹角的两倍，并导出其他n个包含Ln的P。 （定理3与定理2对应）
其中底心、体心、面心格子称带心的 格子，我们在前面画格子的例子中已经知 道有带心格子的存在，这是因为有些晶体 结构在符合其对称的前提下不能画出原始 格子，只能画出带心的格子。
2.3 十四种布拉维格子
七个晶系---七套晶体常数—七种平行六面体种形 状。每种形状有四种类型，那么就有7×4=28种空间格 子？ 但在这28种中，某些类型的格子彼此重复并可转换， 还有一些不符合某晶系的对称特点而不能在该晶系中存 在，因此,只有14种空间格子，也叫14种布拉维格子。 （A.Bravais于1848年最先推导出来的）
高级晶族 （有多个高次轴）
等轴晶系
a=b = c = == 90°
有四个L3
2.2平行六面体中结点的分布（即格子类型）
1）原始格子（P）：结点分布于平行六面体的八个角顶上。 2）底心格子（C、A、B）：结点分布于平行六面体的角顶及 某一对面的中心。 3）体心格子（I）：结点分布于平行六面体的角顶和体中心。 4）面心格子（F）：结点分布于平行六面体的角顶和三对面 的中心。
第四讲 晶体宏观对称（二） 对称组合定律及空间格子类型
1 对称要素组合定理 定理一： LnP∥→LnnP 定理二： Ln×L2⊥=LnnL2 定理三： Ln（偶次）×P⊥→LnP C 定理四：当n为奇数时： Lin×L2 ⊥（或P∥）→LinnL2nP 当n为偶数时：Lin×L2 ⊥（或P∥ ）→Linn/2L2 n/2 P 定理五：Ln ×Lm →mLnnLm （当L3 与L4 斜交时） 2 空间格子类型与晶体常数特点 （一）空间格子的划分 （二）空间格子类型 （三）十四种布拉维格子 3 对称型（点群）的国际符号
定理一：LnL2LnnL2 (L2与L2的夹角是Ln基转角的一半) 逆定理： L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，其基 转角是两L2夹角的两倍。并导出其他n个在垂直Ln平面内的 L2 。 例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2
思考: 两个L2相交30°,交点处并垂直L2所在平面会产生什么 对称轴?
LnnL2
LnP⊥ (C)
LnnP ∥
LnnL2 (n+1)PC
Lin Li1=C
Lin nL2nP(*1) Lin (n/2) L2 晶系 (n/2) P(*2)
三斜 单斜 斜方
n =1
L2 PC 3 L2 L22P L3 3P L4 PC L6 PC 3 L2 4 L3 3PC L4 4P L6 6P 3Li44L 36P L4 4L2 5PC L6 6 L2 7PC 3 L4 4 L3 6 L2 9PC 3 L2 3PC
1 对称要素组合定理
• 回顾上次讲课用到的模型： • 绿柱石： L66L27PC • 锆石：L44L25PC • 萤石：3L44L36L29PC 从上面的结果可以看出什么规律？
◆ 对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素的组合 定律； ◆ 当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。
对称要素组合定理：