幂指函数极限的计算

毕业论文

题目: 幂指函数极限的计算

学院: 数学与信息科学学院姓名: 何晓岭

指导教师: 魏喜凤

幂指函数极限的计算

【摘要】函数极限就是《数学分析》中的一个重点知识,也就是微积分学的基础,因此,掌握好函数极限的求解方法就是学好《数学分析》的关键、而在函数极限的计算中,有关幂指函数极限计算的题目类型多、难度大且灵活多变、为此,首先给出了幂指函数的定义,其次讨论幂指函数确定式(B A型)与不确定式(00型、1∞型、0

∞型)的极限问题,最后整理总结了幂指函数极限的计算方法,并通过实例说明这些方法的实用性、

【关键词】幂指函数;极限;确定式;不确定式;计算方法

The Calculation of the Power Exponent Function Limit 【Abstract】The limit function is a key knowledge of mathematical analysis, and calculus based, therefore, it is important for the learning of mathematical analysis to master the methods of solving the limit of function 、But in the calculation of the function limit, the subjects of calculation about power exponent function are various,difficult and flexible、so, we first give the definition of the exponential function, followed by a discussion of limit problem of power exponent function to determine the type and uncertain type, finally summarize the methods of power exponential function limit, and explain the practicability of these methods by actual examples、

【Key Words】power exponent function; limit; determine type; uncertain type; methods to solve problem

目录

1引言 (1)

2 幂指函数的定义 (1)

2、1指数函数 (1)

2、2幂函数 (1)

2、3幂指函数 (1)

3幂指函数的极限 (1)

3、1确定式 (3)

3、2不确定式 (3)

4 幂指函数极限的计算方法 (3)

4、1直接法 (3)

4、2重要极限 (4)

4、3对数解法 (5)

4、4等价无穷小代换 (8)

5 结论 (9)

参考文献 (9)

致谢 (11)

1引言

函数极限问题就是《数学分析》中的一个重点知识,就是微积分学的基础,因此,掌握好函数极限的求解方法就是学习中的关键一环,使许多问题得以解决、其中,幂指函数极限的计算就是难点,因为幂指函数的运算题目类型多,而且技巧性强、灵活多变,对于幂指函数求极限问题,许多学生不能对各种题型加以区分从而找不到快速正确的解题方法,影响做题的正确性、分析发现,这一问题的原因就是许多学生对幂指函数的概念与定理理解不深刻,把幂指函数与幂函数、指数函数混为一谈,对题目中出现的题型及解题方法没有整理总结找到其中的解题技巧、

因此,对幂指函数极限的计算问题,有必要给出幂指函数的定义、讨论幂指函数极限的类型并对解题方法进行整理总结,让更多的学习者很好地认识幂指函数,增强对求极限的多种技能技巧的理解与合理运用求极限技巧的能力,从而提高解题的正确性及效率,提高分析问题的能力与解决问题的能力、

2 幂指函数的定义

2、1指数函数

一般地,形如函数(0,1)x

y a a a =>?叫作指数函数,其中x 就是自变量,定义域为R 、

2、2 幂函数

一般地,形如函数()y x x R α

=∈叫作幂函数,其中x 就是自变量,定义域为

(0,)+?、 2、3 幂指函数

设()u x 、()v x 就是定义在区域D 上的两个函数,形如()

()v x y u x =的函数

叫作区域D 上的幂指函数,其中()0u x >、

以上给出指数函数、幂函数以及幂指函数的定义,目的就是更好地理解幂指函数,不能将幂指函数与指数函数、幂函数混为一谈,幂指函数具有幂函数与指数函数的两重特性、

3 幂指函数的极限

对自变量0,x x x →→∞情形下的幂指函数()()v x y u x =的极限问题进行探讨:

求幂指函数的极限时,因为()0u x >,可以把它改写为指数函数

()()ln ()()v x v x u x y u x e ==,再由指数函数的连续性即知幂指函数的极限

lim (()ln ())

()()ln ()lim ()lim x x v x u x v x v x u x x x x x u x e e →→→==,其中假设所写出的极限存在、这样,就把

求幂指函数的极限0

()lim ()v x x x u x →转化为求极限0

lim(()ln ())x x v x u x →、所以,很自然地考察0

lim ()x x u x →与0

lim ()x x v x →,而对于极限0

lim ()x x u x →与0

lim ()x x v x →,若至少有一个不存在(不

包括极限为无穷的情况),则幂指函数()()v x y u x =的极限问题极为复杂,且在实际问题中几乎不出现,没有其研究意义、因此,假设0

lim ()0x x u x A →=≥, 0

lim ()x x v x B →=

(包括A 、B 为无穷的情形)、下面,将给出讨论:

（1）01,A B <<≠∞; 则0

()lim ()v x B x x u x A →=、

(2) 01,A B <<=∞; 则0

()

0,,lim ()

,,B v x B

x x B A B u x B A B →⎧=+∞=+∞

⎧⎪==⎨⎨+∞=-∞=-∞⎪⎩⎩

、 (3)1,A B =≠∞; 则0

()lim ()11v x B B x x u x A →=== 、

(4)1,A B ==∞时,0

()lim ()v x x x u x →就是不确定式、

(5)1,A B <<+∞≠∞; 则0

()lim ()v x B x x u x A →=、

(6)1,A B <<+∞=∞; 则0

()

,,lim ()

0,,B

v x B x x B A B u x B A B →⎧+∞=+∞=+∞⎧⎪==⎨⎨=-∞=-∞

⎪⎩⎩ 、 (7),0A B =+∞=时, 0

()lim ()v x x x u x →就是不确定式、

(8),0A B =+∞<<+∞时, 0

()lim ()v x B x x u x A →= 、

,0A B =+∞-∞<<时, 0

()lim ()v x B x x u x A →=、

(9) ,A B =+∞=+∞; 则0

()lim ()v x B x x u x A →=+∞=、

(10),A B =+∞=-∞; 则0

()lim ()0v x B x x u x A →==、

(11)0,0A B =<<+∞时,0

()lim ()0v x B x x u x A →==、

0,0A B =-∞<<时,0

()lim ()v x B x x u x A →=+∞=、

(12)0,A B ==+∞; 则0

()lim ()00v x B x x u x A +∞→=== 、