参数的点估计 (2)

令


2 ( )2

X,
1
n
n i1
X i2.
用样本矩 估计总体矩
得
ˆ
1 n
n
i1
X
2 i

nX
2

1
n
n i1
(Xi

X
)2
,

ˆ X
1
n
n
(Xi
i1

X
)2
.
ˆ, ˆ 为参数 , 的矩估计。
例2：设X1,X2,…Xn 是取自总体X的简单样本, X 有概率密度函数
f
( x)

1

e(
x )

,
x ,
0,
其他 .
其中 , 为未知参数， 0。求 , 的矩估计。
解: 先求总体的均值和2阶原点矩。
E( X ) x 1 e(x) d x
其他.
其中α 1为未知参数。求 的矩估计。
解：先求总体的一阶矩，即期望
E(X )

1
0
x

(
1) x
d
x

(
1) x1 1 0
d
x
1. 2
由矩法，令
样本矩
X 1 2
总体矩
解得
ˆ 2X 1
1 X
为α 的矩估计。
注意：要在参数上边加上“^”， 表示参数的估计。它是统计量。
用样本均值来估计总体的均值 E(X).
6
knk
x

k0 6
nk
k0
1 (0 75 1 90 2 54 3 22 250 4 6 5 2 6 1)
1.22.
故 E( X ) 的估计为 1.22 .
点估计问题的一般提法
设总体 X 的分布函数 F ( x, )的形式为已
则ˆ (ˆ1,ˆ2, ,ˆk ) 就是 (1,2, ,k )
的矩估计。
这种参数估计法称为参数的矩估计法，简称 矩法。
这种估计量称为矩估计量。矩估计量的观察 值称为矩估计值.
例1：设总体 X 的概率密度为
( 1)x , 0 x 1,
f (x) 0,
步骤二：算出样本的 m 阶原点矩
Am

1 n
n

X
m i
,
i 1
m 1,2, , k.
步骤三：令
am (1,2,L ,k ) Am ,(m 1,2,L , k) (1)
（1）式是包含k个未知参数 1,2,…,k 的联
立方程组。
步骤四：解方程组(1), 并记其解为
ˆm ˆm ( X1, X 2, , X n )，m 1,2, ,k.



0
(θ
y

)e y
d
y
θ.
令y=(x-μ )/θ
E( X 2 ) x2 1 e(x) d x

令y=(x-μ )/θ


0
(θ
y

)2 e y
d
y

来自百度文库
(θ 2
0
y2

2
y

2 )ey
d
y

2θ 2 2 2
θ 2 (θ )2,
引例 在某炸药制造厂, 一天中发生着火现象的
次数 X 是一个随机变量,假设它服从以 0为参 数的泊松分布,参数 为未知, 设有以下的样本值, 试估计参数 .
着火次数 k 0 1 2 3 4 5 6 发生 k 次着 火的天数nk 75 90 54 22 6 2 1 250
解 因为 X ~ p( ), 所以 E( X ).
1,2 ,k .
步骤一：记总体 X 的 m 阶原点矩 E(Xm)为 m , m
= 1,2,…,k.
一般地, m (m = 1, 2, …, K) 是总体分布中参 数或参数向量 (1, 2, …, k) 的函数。 故,
m (m=1, 2, …, k) 应记成:
am(1,2,…,k), m =1, 2, …, k.
例3：设总体X的均值为，方差为 2，求和 2 的矩估计。
解：由
aa12((
, ,
2) 2)

E(X ) E(X 2
)


,
2


2.
列出方程组:
a1( a2 (
, ,
2) 2)

X 1
n
,
n

i 1
X
2 i
.
即
X , 2 2
知, 是待估参数. X1, X2 ,L , Xn 是 X 的一个样
本, x1, x2 ,L , xn 为相应的一个样本值.
点估计问题就是要构造一个适当的统计量
ˆ( X1, X2 , , Xn ), 用它的观察值 ˆ( x1, x2 , , xn ) 来估计未知参数 .
ˆ( X1, X2, , Xn )称为 的估计量. 通称估计,
ˆ( x1, x2, , xn )称为 的估计值.

简记为ˆ
.
7.1.1 矩估计
矩估计是基于“替换”思想建立起来的一种参 数估计方法 。最早由英国统计学家 K. 皮尔逊 提出。
其思想是: 用同阶、同类的样本矩来估计总体矩。
在引例中，我们以样本均值作为总体均值的 估计量，也就是以样本的一阶矩作为总体一阶矩 的估计量，这种做法实际上就是矩估计法。

1
n
n i1
X
2 i
.
求解，得
ˆ X ,
ˆ 2

1 n
n i 1
(Xi

X )2.
故，均值,方差2的矩估计为
ˆ ˆ
X, 2 1
n
n
（X
i1
i

X )2
即
n 1S2. n
如：正态总体N(, 2) 中和2的矩估计为
ˆ X ,
第七章: 参数估计
统计推断的基本问题可以分为两类，一类是估 计问题，另一类是假设检验问题，本章讨论总体参 数的点估计和区间估计。
7.1 参数的点估计
参数估计就是从样本出发，去构造一个统计量， 作为总体中未知参数的一个估计量。
设总体X的分布函数的形式已知，但它的一个或 多个参数未知，借助于总体X的一个样本来估计总体 中未知参数值的问题称为参数的点估计问题。
总体的k阶原点矩为 k E( X k ),
样本的k阶原点矩为
Ak

1 n
n i 1
X
k i
,
总体的k阶中心矩为 k E( X k ),
样本的k阶中心矩为
Bk

1 n
n
（X i
i 1

X）k ,
矩估计就是用相应的样本矩去估计总体矩。
设总体 X 的分布函数中含 k 个未知参数：