第4章离散时间的金融市场均衡和资产估值多期模型

对于消费者/投资者 i ，令
ti
i 0,t
,1i,t
,
,
i N
,t
是他（她）
在 t 时期对所有 NLeabharlann Baidu1 种证券的持仓量，如果投资者在 t 时期交易
证券，即调整他（她）的投资组合中各种证券的持仓量，那么，ti 是 指交易前（即调整投资组合前）的持仓量。因此，ti1 就是在 t+1 时期进行交易前（调整投资组合前）投资组合中各种证券的持仓
件：E0 , E11, E12 ,1,2 ,3,4 ,5 ）它们都是状态空间 的子集。
如果两个事件 E1 和 E2 ，有 E1 E2 ，则 E1 和 E2
成为互相分离的事件。
状态空间 的一个划分是一组事件E1, E2, , En ，使得
I. i j ，有 Ei E j II. i Ei 。
时间/事件或有要求权就是多期模型中的Arrow-Debreu证券（基 本证券），对于所有多期模型中的金融资产的不确定性现金流，我
们都可以采用时间/事件或有要求权的组合来复制。 假设在证券市场上一共有N+1 种有价证券在进行竞争型交易。
令Pk ,t是第 K 种证券在 t 时期的价格。显然，Pk,t是 Et 的函数。如
于是投资者依据这样的信息就可以判断，如果在 t=1 时期出现的事
件是 E11 ，那么，到期末（ t=2 时期），只可能出现 1,2 ,3 这3
个事件之一；如果在 t=1 时期出现的事件是 E1，2 那么，到期末
（t=2 时期），只可能出现 4 ,5 这2个事件之一。
假设投资者具有无限的记忆能力，则随着时间的推移，展示
采用 Pt ，dt 和信息结构 F 刻画多期模型的证券市场。
4.1.3 投资者偏好
假设在我们的多期模型经济中总共有i 1, 2, , I位消费者/投资
者 所。有他的们cti在也t都时是期相的对消于费F（t 的量可）测记随为机ct序i ，列是，E即t 都的适函应数于，信即息有c结ti 构cti EFt
量。如果投资者在 t 时期减持（即卖掉）部分有价证券，将所得的
T
u0i c0i
Et uti cti Et ,i 1, 2, , I （4.1.2）
t 1 Et Ft
注意：uti • 已经包含了消费的时间偏好在内。
并且，我们假定
（1）（严格的）非餍足性，即 uti' 0 ；
（2）（严格的）风险厌恶，即
u i '' t
0
。
4.1.4 经济禀赋和消费/投资策略
是外生的，所有的 区分和刻画了经济体的外部
环境；
把所有可能的外部环境状态进行了完整的区分；
所有可能的状态记为 ，每个 可以看作
是状态空间 的元素（点）。
（3）经济体的真实状态是逐渐地从 t=0 时期演变到 t=T 时期，这样一个演变过程实际上也是一个信息结
构逐渐展示的过程，可以用事件树来表示。
同样，消费者/投资者要最大化他们的冯·诺伊曼－摩根斯坦期
望效用函数值。期望效用函数在数学上表示为
E ui ci , ,i 1, 2, , I
（4.1.1）
此处ci 表示消费者/投资者在事件树中的一条可能的路径 上的
全部消费。
我们假设消费者/投资者具有以下形式的时间可加、状态可区分和
各个状态互相间独立的偏好，可用以下形式的效用函数表示：
到 t 时期，经济体展示的有关状态的信息（通常来说对所有
的投资者都相同）可以用状态空间 的一个划分Ft Et1, Et2 , , Etnt
来表示。
在图4.1的事件树中，到了 t=1 时期，投资者获得的有关状态的信息
就是划分 F E11, E12 ，其中：E11 1,2 ,3 ，E12 4 ,5 。
果采用向量和矩阵的记法，Pt P0,t , P1,t , , PN,t T是所有 N+1 种有价证 券在 t 时期的价格向量，dt d0,t , d1,t , , dN,t 是T 所有 N+1 种有价证券
在 t 时期的红利（利息）向量。 Pt 和 dt 都是相对于 Ft 的可测随机
序列，我们称 Pt 和 dt 适应于信息结构 F Ft ,t 0,1, ,T 。
下面用一个简单的例子来说明事件树和信息结构。
1
例 ：考虑一个三期模型 t=0,1,2 （此处 T=2 ）。到 t=T 时期总共有5种
可能出现的事件1,2 ,3 ,4 ,5 ，E0
E11 1,2 ,3 2
3 4
可能的演变过程可用图4.1的事件树表示。
E12 4 ,5
对此事件树做以下解释：
5
所有的事件（在这个简单的事件树中总共可能出现8个事
第四章 离散时间的金融市场均 衡和资产估值：多期模型
4.1多期经济
4.1.1 跨期的信息结构
我们有以下的基本假设和记号：
（1）这个经济体总共跨越 T+1 时期：t=0,1,…,T 。
（2）这个经济体的每个状态记为 ，它表示这个经济
体从 t=0 时期演变到 t=T 时期的一种可能的历史过 程。
要注意：
的信息会越来越精细，即有s 1, 2, , ，Fts 比 Ft 精细，这意味
着 Ft Fts 。
各个时期展示的信息汇总起来，就是整个信息结构，表示为
F Ft ,t 0,1, ,T为了方便起见，我们可以认为 F0 和 FT 。
（4）把状态空间 看作基本的样本空间，就可以在其上定义概率
测度： 。对于任意事件 E ，该事件发生的概率就是E E
由图4.2可知，到期末，只可能发生3个不同的事件 1,2 ,3
但可能的状态有4个，因为有4条可能的路径。其中 E11, E12 也是按
这4条可能的路径来划分的。
4.1.2 证券市场
定义4.1 ：一个时间/事件或有要求权是1份有价证券，到 t时
期，在事件 Et Ft 发生时，支付1个单位的消费品。
这样，我们就有了跨期信息结构的完整定义。
说明：前面定义的每个状态 表示的是经济体从 t=0 时期演
变到 t=T 时期的一种可能的历史过程，也就是事件树上从期初到期 末的一条可能的路径，和期末各种可能出现的事件1,2 ,3 ,4 ,5 是不同的。但是，在图4.1的例子中，到达期末任意事件i ,i 1, 2, ,5 的路径都只有一条，所以很容易在理解上混同起来。