离散余弦变换

fe(x) cos 2N
2 N
2 N 1
fe(x)
xN
cos(2x 1)u
2N
2 2 N 1
(2x 1)u
N
fe(x) cos
x0
2N
2
N
2 N 1
j (2 x1)u
Re{ fe ( x)e 2N }
x0
2 N
j u Ree 2N
2 N 1
j 2 xu
fe ( x)e 2N
2M
2N
式中：x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。
第七章 频域处理
通常根据可分离性， 二维DCT可用两次一维DCT来完成， 其算法流程与DFT类似， 即
f (x, y) F行[ f (x, y)] F(x, v)
转置
F(x, v)T F列[F(x, v)T ] F(u, v)T
第七章 频域处理 7.4.1 一维离散余弦变换定义 一维DCT的变换核定义为
g(x,u) C(u) 2 cos (2x 1)u
N
2N
(x, u=0, 1, 2, …, N－1)
1
C(u)
2
1
u0 其他
一维DCT定义如下： 设{f(x)|x=0, 1, …, N-1}为离散的信号列。
F (u) C(u) 2 N 1 f ( x) cos (2x 1)u (u, x=0, 1, 2, …, N－1)
x0
式中，Re{·}表示取复数的
第七章 频域处理
由于
2
N
1
f
e
(
x)e
j
2 xu 2N
为fe(x)
的
2N
点
DFT，因
此
，
在
作
DCT
x0
时，可把长度为N的f(x)的长度延拓为2N点的序列fe(x)，然后对
fe(x)作DFT，最后取DFT的实部便可得到DCT的结果。
同理对于离散余弦逆变换IDCT，可首先将F(u)延拓为
u1
1 N
2 N
Fe (0)
2 N
2 N 1
j u j (2 x1)u
Re [Fe (u)e 2N ]e 2N
u0
j u
可见，IDCT可由 Fe (u)e 2N 的2N点的IDFT来实现。
第七章 频域处理
DFT和DCT （a）DFT频谱分布； （b） DCT频谱分布
第七章 频域处理 细节较少图片的傅立叶变换和离散余弦变换
N x0
2N
第七章 频域处理
将变换式展开整理后， 可以写成矩阵的形式， 即
F=Gf
其中
1/ N
1
1
1
2/N
cos( / 2N )
cos(3 / 2N ) cos((2N 1) / 2N )
G
2/N
cos( / 2N )
cos(6 / 2N ) cos((2N 1) / 2N )
7.4.2
二维DCT正变换核为
g(x, y,u, v) 2 C(u)C(v) cos (2x 1)u cos (2 y 1)v
MN
2M
2N
式中，x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。
二维DCT定义如下：设f(x, y)为M×N的数字图像矩阵，则
F (u, v) 2 M 1N 1 f (x, y)C(u)C(v) cos (2x 1)u cos (2 y 1)v
第七章 频域处理
7.3 频域变换的一般表达式
7.3.1 可分离变换 二维傅立叶变换可用通用的关系式来表示：
M 1 N 1
F(u,v) f (x, y)g(x, y,u,v)
x0 y0
M 1 N 1
f (x, y) F(u,v)h(x, y,u,v)
u0 v0
式中：x, u=0, 1, 2, …, M－1；y, v=0, 1, 2, …, N－1； g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正向变换核和反向变换核。
按照一维DCT的定义，fe(x)的DCT
F(0)
1 N
N 1
fe(x)
x0
第七章 频域处理
F(u)
2 N 1
(2x 1)u
f (x)cos
N x0
2N
2 N 1 f ( x) cos (2x 1)u
2
2
N
1
0
c
os
(2
x
1)u
N x0
2N
N xN
2N
2 N
N 1 x0
(2x 1)u
量化表
逆量化后的系数
重构图像样本
第七章 频域处理
二、DCT在数字水印（digital watermarking）技术中的应用
数字水印技术是将特定的信息嵌入到数字信息的内容中,要 求嵌入的信息不能被轻易的去除,在一定的条件下可以被提取出 来,以确认作者的版权。
原始图像
原始水印图像
嵌入水印图像 恢复水印图像
量化DCT系数的编排
第七章 频域处理
4. 直流系数（ Direct current）的编码 使用差分脉冲调制编码(DPCM)技术，对相邻图像块之间量
化DC系数的差值(Delta)进行编码。
Delta＝DC(0, 0)k-DC(0, 0)k-1
5. 交流系数（Alternating Current）的编码 量化AC系数的特点是1×64矢量中包含有许多“0”系数，并
转置
F(u,v)
第七章 频域处理 7.4.3 离散余弦变换的计算
离散余弦变换的计算量相当大， 在实用中非常不方便， 也需要研究相应的快速算法。目前已有多种快速DCT（FCT）， 在此介绍一种由FFT的思路发展起来的FCT。
将f(x)延拓为
fe
(
x)
f
(
x)
0
x=0, 1, 2, …, N-1 x=N， N+1, …, 2N-1
式：
F=PfQ
f =P-1FQ-1
其中，F、f是二维M×N的矩阵；P是M×M矩阵；Q是N×N矩 阵。
M 1 N 1
F (u, v) P(x,u) f (x, y)Q( y, v)
x0 y0
式中，u=0, 1, 2, …, M－1，v=0, 1, 2, …, N－1
第七章 频域处理 对二维离散傅立叶变换，则有
第七章 频域处理 JPEG压缩编码的算法框架图：
JPEG算法处理的彩色图像是单独的彩色分量图像，因 此它可以压缩来自不同彩色空间的数据。
第七章 频域处理
JPEG算法的主要计算步骤 1.正向离散余弦变换(FDCT)。 2.量化(quantization)。 3.Z字形编码(zigzag scan)。 4.使用差分脉冲编码调制(differential pulse code modulation，DPCM)对直流系数(DC)进行编码。 5.使用行程长度编码(run-length encoding，RLE)对交 流系数(AC)进行编码。 6.熵编码(entropy coding)。
MN x0 y0
2M
2N
式中： x, u=0, 1, 2, …, M－1； y, v=0, 1, 2, …, N－1。
第七章 频域处理
二维DCT逆变换定义如下：
f (x, y) 2 M 1N1 C(u)C(v)F (u, v) cos (2x 1)u cos (2 y 1)v
MN u0 v0
第七章 频域处理 基于DCT算法的数字水印产生原理
原始图像 水印图像
DCT变换 DCT变换
DCT 系数 组合
反DCT变换
含水 印的 图像
待测图像 原始图像
水印嵌入框图
水印 提取
提取的水印
水印检测框图
水印检测
第七章 频域处理 算法实现过程为： （1）计算图像和水印的离散余弦变换 (DCT)。 （2）将水印叠加到DCT域中幅值最大的前ｋ系数上(不包括直 流分量)，通常为图像的低频分量。
第七章 频域处理
原图及水印信息 嵌入水印的图及恢复的水印信息
第七章 频域处理
本次授课结束
谢 谢！
Fe
(u)
F
(u)
0
u=0, 1, 2, …, N-1 u=N, N+1, …, 2N-1
第七章 频域处理 由上式可得，DCT的IDCT
f (x)
1 N
Fe
(0)
2 2N 1
(2x 1)u
N
Fe (u) cos
u1
2N
1 N
Fe
(0)
2 N
2 N 1
j (2 x1)u
Re Fe (u)e 2N
且许多“0”是连续的，因此使用非常简单和直观的游程长度编 码(RLE)对它们进行编码。 6. 熵编码
使用熵编码还可以对DPCM编码后的直流DC系数和RLE编码后 的交流AC系数作进一步的压缩。
第七章 频域处理
源图像样本
正向DCT系数
第七章 频域处理
量化表
规格化量化系数
第七章 频域处理
规格化量化系数
2/N
cos((N
1)
/ 2N )
cos((N
1)(3
/ 2N )
cos((N
1)(2 N
1)
/ 2N )
第七章 频域处理 一维DCT的逆变换IDCT定义为：
f (x)
2
N
1
C(u)
F
(u)
c
os
(2
Fra Baidu bibliotek
x
1)u
N u0
2N
式中， x, u=0, 1, 2, …, N－1。
第七章 频域处理
第七章 频域处理 细节中等图片的傅立叶变换和离散余弦变换
第七章 频域处理
细节较多图 片的傅立叶 变换和离散
余弦变化
第七章 频域处理
7.4.3 离散余弦变换的应用实例 一、DCT在JPEG压缩编码中的应用
JPEG(Joint Photographic Experts Group) 专家 组开发了两种基本的压缩算法，一种是采用以离散 余弦变换(DCT)为基础的有损压缩算法，另一种是 采用以预测技术为基础的无损压缩算法。使用有损 压缩算法时，在压缩比为25:1的情况下，压缩后还 原得到的图像与原始图像相比较，非图像专家难于 找出它们之间的区别，因此得到了广泛的应用。
若DCT系数的前ｋ个最大分量表示为Pi ={di}，i=1 ，… ， ｋ，水印信息为Wi ={wi}，i=1 ，… ，ｋ，那么水印的嵌入算 法为P＝Pi＋Wi×a，其中常数a为尺度因子，控制水印添加的 强度。 （3）用新的系数做反变换得到水印图像I。 （4）解码函数则分别计算原始图像I和水印图像I＊的离散余 弦变换，并提取嵌入的水印Ｗ＊，再做相关检验 以确定水印 的存在与否。
第七章 频域处理
如果
g(x, y, u, v)=g1(x, u)g2（y, v） h(x, y, u, v)=h1(x, u)h2(y, v)
则称正、反变换核是可分离的。进一步，如果g1和g2， h1和h2在函数形式上一样，则称该变换核是对称的。
第七章 频域处理
7.3.2 图像变换的矩阵表示
数字图像都是实数矩阵， 设f(x, y)为M×N的图像灰度矩 阵， 通常为了分析、推导方便，可将可分离变换写成矩阵的形
P( x, u) g1( x, u) e j2ux / M P( y, v) g2 ( x, v) e j2vy/ N
实践中，除了DFT变换之外，还采用许多其他的正交变换。 例如：离散余弦变换、沃尔什-哈达玛变换、K-L变换等。
第七章 频域处理
7.4 离散余弦变换（DCT）
离散余弦变换（Discrete Cosine Transform， DCT）是可分 离的变换，其变换核为余弦函数。DCT除了具有一般的正交变 换性质外， 它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号和 图像信号的相关特征。因此，在对语音信号、图像信号的变换中， DCT变换被认为是一种准最佳变换。
第七章 频域处理 1. 正向离散余弦变换
第七章 频域处理
2. 量化 量化是对经过FDCT变换后的频率系数进行量化。量化的
目的是减小非“0”系数的幅度以及增加“0”值系数的数目。
（a）亮度量化值 表
（b）色度量化值表
第七章 频域处理 3. Z字形编排
量化后的系数要重新编排，把一个8×8的矩阵变成一个 1×64的矢量，频率较低的系数放在矢量的顶部。