数学知识应用竞赛

2015年上海市中学生数学知识应用竞赛初赛

初赛试题共有八题，本试卷复印无效。（请于5月25日前寄送回上海市科技艺术教育中心（中山西路1245弄1号，2号楼302室，上海市中学生数学知识应用竞赛组委会收）邮编200051）

1、下图是一个由钢筋制成的窗框的示意图：其由一个半圆及一个矩形构成。窗框的面积为4。问如何设计该窗框中矩形的长宽，使制作的钢筋材料最省？

2、一种电脑游戏的点数奖励方案是：击中第一个目标奖10点，击中第二个目标奖30点，，击中第k个

k 个目标时多10k点。那么击中第n个目标时得到的总点数为多少？

目标的奖点数比击中第1

3、某商品在商场销售。第一年商场免收管理费，因此该年度定价为每件70元，销售量为11.8万件。第二年，商场开始按销售额征收比率为%p 的管理费，因此该年度定价为

70

1%

p 元，预计年销售量将减少p

万件．如果商场希望所收管理费不少于14万元，同时要让厂家获得最大销售金额，则p 应为多少？

4、厂里生产某种机械零件。每件产品要用到两种同规格不同长度的钢条：长度为36cm的6根和长度为48cm的5根。现在要从很多长度为5.4m的原料上截取（不计切割损耗）。请你帮厂里设计一种切割方案，可以使原料一点不浪费。

5、学校组织一场围棋友谊赛，邀请了A、B、C三位选手，根据以往的比赛记录可知，选手A胜B的概率为0.4，选手B胜C的概率为0.5，选手C胜A的概率为0.6。规定的比赛顺序是：第一轮：A对B；

第二轮：第一轮的胜者对C；

第三轮：第二轮胜者对第一轮的败者；

第四轮：第三轮胜者对第二轮的败者。

求下列事件的概率：

（1）A胜四轮；

（2）C胜三轮；

（3）B在第四轮获胜。

6、按我国《道路交通安全法》规定，机动车驾驶人员每100毫升血液中的酒精含量大于或等于20毫克，且小于80毫克的，属于饮酒驾车；每100毫升血液中的酒精含量大于或等于80毫克的，属于醉酒驾车。酒驾或醉驾会给交通安全带来极大危害，一经查实，将会受到严厉处罚。

7、机器人在寻物过程中能即时探测目标X的方位与直线距离，并即时按能最大程度缩短与目标X间的直线距离的原则调整行走方向。在无障碍的情况下机器人将沿直线向着目标行走；在遇到障碍时将沿障碍物按上述原则选择行走方向；但如果它发现沿障碍任何方向走只会增加与X的直线距离时，则将返回原地,此次寻物失败。

上图是机器人某次任务的示意图: 机器人从原点出发，正方形ABCD是一个障碍，目标X机会均等地可能在线段EF上任何一个位置。各点坐标见图。问当目标X在EF上什么范围时机器人寻物失败？求该范围的长度线段EF之比。

如果给机器人先指定从原点能到达的一个点，到达该点后再由它自主行走，以保证寻找成功，你认为这个点应该设在何处？在图中画出此点并标出从原点到此点的路径。

8、企业生产A，B，C三种产品，生产这三种产品要使用设备甲，乙，丙，生产单位产品所需相关数据如下表所示。

表

（1）试建立数学模型，如何安排生产，使该厂生产利润最大？最大利润是多少？

（2）如果可利用其他企业设备来扩大生产，每月可租用300台设备甲，租金84万元，问是否要租借？（3）由于生产条件变化，A产品使用甲，乙，丙设备的生产消耗分别变为8，2，5，单位利润为3，是否要生产A产品？