大物习题课练习1

10. 一个电容器，电容C1 20.0μF，用电压U 0 1000V 的电源使这电容器带电，然后拆下电源，使其与另一 未充电的电容器 C 2 5.0μF 相连接。求：（1）两电 容器各带电多少？（2）第一电容器两端的电势差多 大？（3）电容器能量损失多少？ 解: （1）两电容器并联后分别带电 量为Q1、Q2，但其总电量不变，电 势差相等。 Q1 Q2 C1U 0 （1）

O
x
dx x x 2 2 0 0
0
在 x 0区域
dx x x 2 0 2 0
0
7.半径为r1的导体球带有电荷+q, 球外 有一个内外半径分别为r2 、r3的同心 导体球壳，壳上带有电荷+Q ；
r3
r1
r2
求:1)电场分布 2)用导线将球和球壳连接时电场分布怎样? 3)外球壳接地时怎样?
1. 直线MN长为2l，弧OCD以N为中心，l为半径。 N点有点电荷+q，M点有点电荷-q。今将试验电 荷q0从O点出发沿OCDP移到无限远处。设无限 远处电势为零，则电场力的功为________。
C -q M q N
O
D
P
A q0 ( O ) q0 (0 0) 0
2. 一个静止氢离子在匀强电场中被加速而获得 的速率为一静止的氧离子在同一电场中，且 通过相同的路径被加速所获得速率的 _________。
方向沿y轴，是斥力
(2) 另一无限长直导线应平行放置于y轴负半轴上， 以 d 表示两直导线间的距离，则 0 I 2 0 I 2 d R / 2 2 R 2d
E AC ECD E DB E AB
V0 0 d
12. 在均匀磁场中放置一半径为R的半圆形导线，电流 强度为I，导线两端连线与磁感应强度方向夹角=30°， 求: 此段圆弧电流受的磁力。
解：在电流上任取电流元 Idl b F Id l B a b I ( dl ) B a Iab B
2 磁矩：dm r 2dI r 3dr
圆盘磁矩： m dm
dI
2rdr rdr
dr
3
4 4 M R B 受的力矩：M mB sin mB 4 m 方向向上 磁矩的势能为 Wm m B 0
0


R
r dr
+
-
解：A、B连接电源而充电到V0之 A C D B 后拆去电源，A、B两极板上电荷 将保持不变，即电荷面密度 σ 将 保持不变。对于放入电场的金属 板C、D来说，由于静电感应，在 C 板左侧带负电荷，右侧带正电 荷， D 板也是左侧带负电荷，右 + 侧带正电荷。根据静电平 衡时导体内的电场为零可知，C、D板每侧电荷面密度 的绝对值等于σ。
C1
C2来自百度文库
U1 U 2
C2 Q1 代入（1）得： 以 Q2 C1
Q1 Q2 （ 2） C1 C 2
C12U 0 2 Q1 1.60 10 C C1 C 2 C1 C2 C1 C 2U 0 2 Q2 0.40 10 C C1 C 2 Q1 （ 2） U U1 U 2 8.0 10 2 V C1 1 2 （3）电容器C1充电后具有能量为： W1 C1U 0 2

O
a
b
dE bU ( 2a b ) 2 0 2 da a ( b a )
b a 2 2 d E 32bU 0 b 2 4 da a 2 b

O
a
b 极小值
内球面半径为b/2时，才能使内球面附近的场强最 小。最小场强为：
q bU bU 4U E 2 4 πa a(b a ) b (b b ) b 2 2
R
4
B
14.一半径为R的无限长半圆柱面导体，其上电流与其轴 线上一无限长直导线的电流等值反向。电流I在半圆柱面 上均匀分布。(1)求轴线上导线单位长度所受的力；(2)若 将另一无限长直导线(通有大小、方向与半圆柱面相同的 电流I)代替圆柱面，产生同样的作用力，该导线应放在 何处？ 解：(1)在半圆柱面上沿母线取宽为dl dl 的窄条，其电流 d dI I I R dI dl d x R 它在轴线上一点产生的 I dB I 磁感应强度: y
σ1 Sσ2 σ3
σ4
4 0
第一块金属板上的电荷守恒仍给出
E Ⅱ
Q 1 2 S
由高斯定律仍可得
P III
I
Ⅱ
2 3 0
金属板内P点的场强为零，所以
1 2 3 0
Q Q 联立求解可得： 1 0, 2 , 3 , 4 0 S S Q 电场的分布为： EⅠ =0， E 方向向右 E =0 III Ⅱ S 0
r r3
E1 E2 E3 0




r3
r2

r r3
qQ E4 2 40r
r1

Qq

E1 E3 E4 0
E2 q 40r
2
q q



8.有一块大金属平板，面积为S，带有总电量 Q，今在 其近旁平行地放置第二块大金属平板，此板原来不带 电。(1)求静电平衡时，金属板上的电荷分布及周围空 间的电场分布。(2)如果把第二块金属板接地，最后情 况又如何？（忽略金属板的边缘效应。） 解：（1）由于静电平衡时导 体内部无净电荷，所以电 荷只能分布在两金属板的 表面上。设四个表面上的 面电荷密度分别为σ1、σ 2、σ3和σ4。
9. 球形电容器，外球面半径为b，内外球面电势 差U保持不变，内球面半径多大时才能使内球面 附近的场强最小，并求出这个最小场强。设两球 面间电介质的介电常数为 。 解：设内球面半径为a
4 πab C ba 4 πabU q CU ba q bU E 2 4 πa a(b a )
对称性分析：E 垂直柱面
选取闭合的柱型高斯面
rR
s ( 柱）
E ds
s ( 上底）
E ds
E ds 0
S
s ( 下底）
E ds 0
r R, E 0
l
+ + + + + + + S + + + +
R R R +
1 2 3 4 0 (4) 2 0 2 0 2 0 2 0
即： 1 2 3 4 0 联立求解可得： Q Q 1 , 2 , 2S 2S Q Q 3 , 4 2S 2S
Q
σ1 S σ2 σ3
σ4
E Ⅰ
0 d I 0 Id dB 2R 2 2 R
方向如图
由电流分布的对称性可知：
By 0
B B x dB x dB sin I 0 I 0 sin d 2 2 0 2R R
方向沿x轴
d
dl

dI x
y
dB
0 I 2 F BI 2 R
外部电势
0

L
r
Edr
L
r
AR 1 AR L dr ln 3 0 r 3 0 r
3
3
6.一无限大均匀带电平面，电荷面密度为 。若以 该平面为电势零点，求平面周围空气电势分布。
x 0 2 0 解： E x0 2 0 在 x 0区域
R r l
q 2 πrlE
q
r 0
0
2 Ar 2 πrldr πAlr 3 3
1 2 E Ar 3 0
(r R)
外部场强，取半径为r>R ，长 为l的同轴圆柱面为高斯面。
R r
q 2 πrlE
R
2 3 l q Ar 2 πrldr πAlR 0 3 1 3 E AR / r (r R) 3 0 3 L R 1 L 1 R 2 E d r Ar 内部电势 r r 3 0 dr R 3 0 A r dr 3 A AR L 3 3 (R r ) ln 3 0 3 0 R
E Ⅱ
EⅢ
I 有 电场的分布为： 由 E 0 Q 在Ⅰ区， EⅠ 方向向左 2 0 S Q 在Ⅱ区， EⅡ 方向向右 2 0 S Q 在Ⅲ区， E Ⅲ 方向向右 2 0 S
Ⅱ
II I
Q Q E1 E2 20 2S 20 2S
1 2 3 4
（2）如果把第二块金属板接地 ，其右表面上的电荷就会分散到 地球表面上，所以
r r1
r1 r r2
E1 0
E2
q
2

r2 r r3
r r3
40r E3 0 qQ E4 2 40r
q q r1 r2




r 3






Qq
(2)用导线连接球和球壳：球面上的电 荷与 球壳内表面电荷中和；
r R, E 0
+ + + + + + + + + + + +
当
r R 时，取高斯面如图 l E ds Eds
S
r
r R, E 2π 0r
l 2 πrlE 0
s (柱面）
0
4.半径为a的细圆弧对圆心的张角为 ，其上均匀分布 0 着电荷q。求圆心处的场强。 dl q 解：
Id l
I
b

a
B
F I ab B sin I 2 R B sin 30 IBR

方向

13. 如图所示，在均匀磁场中，半径为R的薄圆盘以角 速度ω绕中心轴转动，圆盘电荷面密度为σ。求它的磁 矩、所受的磁力矩以及磁矩的势能。 ω S R 解：取半径为r的环状面元，圆盘转动 时，它相当于一个载流圆环，其电流： B r
Q
σ1
σ2 σ3
σ4
S
由电荷守恒定律可知：
Q
Q 1 2 S 3 4 0
(1) (2)
σ1 S σ2 σ3
σ4
选一个两底分别在两个金属 P 板内而侧面垂直于板面的封 闭曲面作为高斯面。由于板间电场与板面垂直，且板 内的电场为零，所以通过此高斯面的电通量为零。 2 3 0 (3) 金属板内任一点P的场强是4个带电平面的电场的叠 加，并且为零，所以
电容器C1 、C2并联后具有能量为：
1 2 W2 (C1 C 2 )U 2
电容器损失能量为：
1 1 2 W C1U 0 (C1 C 2 )U 2 2.0J 2 2
11. 有两块平行金属板A、B，间距为d。今在两板 之间平行地插入两块金属板C、D，且间距相等， 都是d/3，情况如图。 现将A、B连接电源而充电 到V0之后拆去电源。这时， A、C间，C、D间，D、B 间电势差为多少？C、D上 有无电荷？如何分布？ A、 C间，C、D间，D、B间场 强各为多少？ A C D B
ad cos d dE y dE cos cos 4 π 0 a 4 π 0 a 2 0 0 2 sin 方向是y方向 E E y 0 cosd 2 π a 2 4 π a 0 0 2 0 π E 2 π 0a
根据电荷分布的对称性 E x 0
a 0 dl dE 4 π 0 a 2
a
θ0
θ
a
方向如图
x
dE
y
5.半径为R的无限长圆柱形带电体，电荷体密度为Ar (r≤R)，r为距轴线距离，A为常数。选距轴线距离为 L(L > R)处为电势零点。计算圆柱体内外各点的电势。 解：内部场强，取半径为r < R， 高为l的同轴圆柱面为高斯 面。
qH e
qO 2e
1 m H mO 16
1 2 mH vH eU 2 1 1 2 2 m H v H mO v O 2 4
1 2 mO v O 2eU 2
vH mO 2 2 vO 2mH
3. 求无限长均匀带电圆柱面的电场强度（轴对称） 已知：线电荷密度
R + + + + + + + S + + +