八年级数学上册几何添辅助线专题

八年级数学上册几何添辅助线专题

SANY 标准化小组#QS8Q HH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等, 构造二个角之间的相等

【三角形辅助线做法】

也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用

“三线合一”的性质解题

2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3. 角平分线在三种添辅助线

4. 垂直平分线联结线段两端

5.

用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段

的长，

6.

图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60

度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直 角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条 边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

&计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三

角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以 得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间 的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间 的相等，二个角之间的相等。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)

图中有角平分线, 角平分线平行线, 线段垂直平分线,

可向两边作垂线。 等腰三角形来添。 常向两端把线连。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1) 遇到等腰三

模式是全华

2) 遇到三角刃

角形，利戶

3) 遇到角平夕

角的两边/ 知识点

常乍 点作该角円 在该角的卩 点再

向角円

4) 过图形上多

等变换中tl

5) 截长法与木

等，或是水

关性质加P 目.

6) 已知某线电

个端点作卫 特殊

方法：

点的线段连接葩

一、倍长中线t 例

1、( “希望 值范

围是 ___________

解：延长AD 至 AB-

BE <2AD

2、如图，△ BE+CF

与 EF 的 7 解：(倍长中线, EG,

显然BG=FC,

故：EF

例3、如图，ZXABC中，BD二DC二AC, E是DC的中点，求证：AD平分ZBAE.

解：延长AE至G使AG=2AE,连BG, DG,

显然DG=AC, ZGDC=ZACD

由于DC二AC,故ZADC=ZDAC

在AADB与AADG中，

BD=AC二DG, AD=AD,

Z ADB= Z ADC+ Z ACD= Z ADC+ Z GDC = ZADG

故厶ADBΔADG,故有ZBAD=ZDAG,即AD 平分ZBAE

二、截长补短

1、如图，ΔA3C中，AB二2AC, AD 平分ZBAC,且AD二BD,求证：CD丄AC 解：（截长法）在AB上取中点F,连FD

△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知

DF丄AB,故ZAFD = 90°

ZACD=ZAFD = 90°即：CD丄AC

2、如图，AD/7BC, EA, EB 分别平分ZDAB, ZCBA, CD 过点E,求证;AB

A r--------------- D

=AD÷BC YV \

解：(截长法)在AB上取点F,使AF=AD,连FE ∖E

△ ADE幻Z∖AFE (SAS) ∖

ZADE=Z AFE, \ /

ZADE+ZBCE = 180o

PB-PC = PF-PC < CF=AF-AC=AB-AC 应用： 分析：此题连接力G 把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已 知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们他问甄 证明：取BC 中,

解：^BC = AD+ AE 连接过疋作£F 〃Bc 并M 于尸点 则可证为等边三角形 ^AE = EF , ZAEF = ZAra = 60。 ∙∙∙ ZCFE = I 20。 XV ADl/BC , Zβ = 60o ∙∙∙ ZfiAD = 120° XV ZDEC = 60° /. ZAED = AFEC

在ΔADE 与ΔFCE 中

AEAD = Z CFE 9 AE = EF , ZAED = ZFEC

：.SADE = ΔFCE ：.AD = FC

/. BC = AD + AE

点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利 用全等三角形

的性质解决。 VBD=CE, /.DM=EM, Λ∆DN!N^∆EW ΛDN=AE, 同理BN

二CA. 延长ND 交

AB 于 相加得BN÷BP+D 各减去DP,得B? ΛAB+AC>AD+AE < 四、借助角平另 三、平移变换 例IAD 为AABC 的角平分线，直线MN 丄AD 于为MN 上一点，AABC 周长记为

P A 9 ∆EBC 周长记为〈•求证P H > P A ・ 1、如图，已知彳

解：（镜面反射法）延长BA 至F,使AF=AC,连FE AD 为Z ∖ABC 的角平分线，MN 丄AD 知 ZFAE=ZCAE 故有 ∆FAE^∆CAE （SAS ） 故 EF=CE 在Z ∖BEF 中有：BE+EF>BF 二BA+AF 二BA+AC 证：OE=OD, DC-

证明？（角平分爼 则 ZBAC+ZBCA=

从而 P B =BE +CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=P A 则 ZCOF=ZAOC- 例2如图，在AABC 的边上取两点D 、E,且BD=CE,求证:AB+AOAD+AE. 乂 CO=CO; ZOCD 故 ZJoCD^ Δ OCf

OD=OF;CD=CF. OE=OD DC+AE 二CF+AF

二A(