二阶及高阶导数的概念及计算

f " ( 0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x) = f (0) + f ' (0) x + x +L+ x + Rn ( x) 2! n! f ( n +1) (ξ ) n +1
其中Rn(x)＝
(n + 1)!
x
(ξ在0与x之间)
上式称为函数f(x)在x＝0点附近关于x的泰勒展 开式简称泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余项。
x2 xn e x = 1 + x + + L + + O( x n ) 2! n!
在上式中，令x＝1，可得求e的近似公式
1 1 e = 1+1+ +L + 2! n!
例4.20 求函数f(x)＝sinx在x＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝cosx，f"(x)＝-sinx，f"'(x)＝-cosx f(4)(x)＝sinx，… ∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝0，f"'(x)＝－1 f(4)(0)＝0，… f(2n－1)(0)＝(－1)n－1，f(2n)(0)＝0 于是，sinx在x＝0点的泰勒展开式为：
例4.15 求曲线y＝x3－4x＋4的凹凸区间和拐点 解：y'＝x2－4，y"＝2x,令2x＝0，得x＝0 当x＜0时，y”＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的， 当x＞0时，y"＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。 在x＝0的左右两侧，y”由正变负，所以(0,4)为曲 线上的拐点。 例4.16 讨论曲线y＝x4－1的凹凸性和拐点 解：∵f"(x)＝12x2 ∴当x≠0时，f"(x)＞0，而f"(0)＝0 因此曲线y＝x4－1在(－∞,＋∞)内都是凹的， 点(0,－1)不是拐点。
4.6 函数的凹凸性和拐点 1. 曲线的凹凸性 设函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导，如果对应的 曲线段位于其每一点的切线的上方，则称曲线在 (a,b)内是凹的， 如果对应的曲线段位于其每一点的切线的下方， 则称曲线在(a,b)内是凸的。 从图象上来看，曲线段向上弯曲是凹的，曲线段 向下弯曲是凸的。 [定理4.7] 设函数y＝f(x)在(a,b)内具有二阶导数，如果在(a,b) 内f"(x)＞0，那么对应的曲线在(a,b)内是凹的， 如果在(a,b)内f"(x)＜0，那么对应的曲线在(a,b) 内是凸的。
二、二阶导数的应用
4.5 函数极值的判定 [定理4.6] 如 果 函 数 f(x) 在 x0 附 近 有 连 续 的 二 阶 导 数 f"(x)，且f'(x0)＝0，f"(x)≠0，那么 ⑴若f"(x0)＜0，则函数f(x)在点x0处取得极大值 ⑵若f"(x0)＞0，则函数f(x)在点x0处取得极小值
∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝-1!，f"'(x)＝2! f(4)(0)＝-3!，… f(n)(0)＝(－1)n－1(n－1)! 于是，ln(1＋x)在x＝0点的泰勒展开式为：
x2 x3 xn ln(1 + x) = x − + − L + + O( x n ) 2 3 n
4.10 罗必塔法则 1. 不定式 0
例4.13 判定曲线y＝ 解：∵y＝
1 1 1 ∴f'(x)＝－ 2 ，f"(x)＝ 3 x x x
1 x
的凹凸性 ，
无拐点但有间断点x＝0 当x＜0时，f”(x)＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的， 当x＞0时，f"(x)＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。
例4.14 判定曲线y＝cosx在(0,2π)的凹凸性 解：∵y'＝－sinx，y"＝－cosx， π 3π 令y"＝0，得x1＝ ，x2＝ 2 2 π π ∴当x∈(0, 2 )时，f”(x)＜0，曲线在(0, 2 )内为 凸的，
例4.11 求下列函数的极值 ⑴ f(x)＝2x3－3x2 ⑵ f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π] 解：⑴f'(x)＝6x2－6x，f"(x)＝12x－6 令6x2－6x＝0，得驻点为x1＝1，x2＝0 ∵f"(1)＝6＞0，f"(0)＝－6＜0 把x1＝1，x2＝0代入原函数计算得f(1)＝－1、 f(0)＝0 ∴当x＝1时，y极小＝－1，x＝0时，y极大＝0
三、高阶导数的应用
4.8 用多项式近似表达函数──泰勒公式 如果我们能用一个简单的函数来近似地表示 一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。 一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么 我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢?
[定理4.8] 设f(x)在x＝0点及其附近有直到n＋1阶的连续导 数，那么
当x→0时，拉格朗日余项Rn(x)是关于xn的高阶无 穷小量，可表示为Rn(x)＝O(xn)。 O(xn)称为皮亚诺余项。 这样，函数f(x)在x＝0点附近的泰勒展开式又表 示为：
f " (0) 2 f ( n) (0) n f ( x) = f (0) + f ' (0) x + x + L+ x + O( x n ) 2! n! 一般地，函数f(x)在x＝x0 点附近泰勒展开式为：
1 ln x x = lim 1 = 0 lim α = lim x → +∞ x x → +∞ α x α −1 x → +∞ α x α
这表明，无论是α一个多么小的正数，xα趋于＋∞ 的速度都比lnx趋于＋∞的速度快。
[作业]
P.198 1 ,2 ⑴⑵⑷,3 ⑴⑵⑶,4 ⑴⑵⑷ P.207 4 ，5 复习题四 1 ,2 ,7 ,8 ,13 ⑵⑶⑷⑹⑺⑻
4
4
π
π
π
把x1＝ ，x2＝ 5π 代入原函数计算得 f(
π
5π 5π 5π f "( ) = −sin − cos = 2 > 0 4 4 4
π
)＝ 2 4
y极大＝ 2
、f( 5π )＝－ 2 。所以当x＝ 4 4 ，x＝ 5π 时，y极小＝－ 2 4
时，
[注意] 如果f'(x0)＝0，f"(x0)＝0或不存在，本 定理无效，则需要考察点x0 两边f'(x)的符号来判 定是否为函数的极值点。
这说明求可导函数与商的极限时可以转化为求它 们导数的商的极限。 当x→∞时，上述定理也成立。
1 − cos x 例4.23 求极限 lim x →0 x2 0 解：当x→0时原式是 型的不定式，用罗必塔法则有
0
1 − cos x sin x 1 lim = lim = 2 x →0 x →0 2 x x 2
π
例4.25
lim 2 求极限 x → +∞
− arctgx 1 x
0 解：当x→∞时原式是 0
型的不定式，用罗必塔法则有
1 − − arctgx 2 x2 lim 2 = lim 1 + x = lim =1 2 x → +∞ x → +∞ x → +∞ 1 + x 1 1 − 2 x x
π
2. 不定式 [定理4.10] 如果当x→a时函数f(x)、g(x)都趋向于无穷大，在点 a的某一邻域内(点a除外)，f'(x)、g'(x)均存在，g'(x)≠0
x2 x4 x 2n cos x = 1 − + − L + (−1) n + O ( x 2 n +1 ) 2! 4! ( 2n)!
例4.22求函数f(x)＝ln(1＋x)在x＝0点的泰勒展开式
1 1 解：∵f'(x)＝ ，f"(x)＝， 2 (1 + x) 1+ x 6 2 (4)(x)＝f"'(x)＝ 4 ，… 3 ，f (1 + x) (1 + x)
x 3 − 3x + 2 求极限 lim 3 2 x →1 x − x − x + 1
0
例4.24
解：当x→1时原式是 0 型的不定式，用罗必塔法则有
x 3 − 3x + 2 3x 2 − 3 6x 3 lim 3 = lim 2 = lim = 2 x →1 x − x − x + 1 x →1 3 x − 2 x − 1 x →1 6 x − 2 2
π 3π π 3π
当x∈( 内是凹的，
2 2
,
)时，f”(x)＞0，曲线在(
2 2
,
)
3π 3π 当x∈( ,2π)时，f”(x)＜0，曲线在( ,2π) 2 2
内为凸的。
2. 曲线的拐点 曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。 因此拐点一定是使f"(x)＝0的点，但是使f"(x)＝0 的点不一定都是拐点。 [求拐点的一般步骤] ⑴ 求二阶导数f"(x)； ⑵ 求出f"(x)＝0的全部实根； ⑶ 对于每一个实根x0，检查f”(x)在x0左右两侧的 符号，如果x0两侧f"(x)的符号不同，则点(x0,f(x0)) 是曲线的拐点；如果x0两侧f”(x)的符号相同，则点 (x0,f(x0))不是曲线的拐点。
例4.27 证明当a＞0时， ln x ＝0 lim α x → +∞ x 证明：根据罗必塔法则
cosmx⋅ m lnsin mx sinmx = lim m cosmxsinnx = m lim sinnx = 1 lim = lim + x→0 ln sin nx x→0+ cosnx⋅ n x→0+ n cosnxsin mx n x→0+ cosmx sinnx
4.7 函数图象的描绘 利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准 确地用描点法描绘函数的图象。 一般步骤为： ⑴ 确定函数的定义域、奇偶性、周期性，求出函 数图象和两坐标轴的交点； ⑵ 计算f’(x)，令f’(x)＝0求出f(x)的驻点、极值 点和增减区间； ⑶ 计算f“(x)，令f”(x)＝0求出f(x)的拐点和凹凸 区间； ⑷ 计算驻点、拐点处的函数值； ⑸ 列表，描绘函数的图象。
例4.11 求下列函数的极值 ⑵ f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π] 解:⑵ f'(x)＝cosx－sinx，令cosx－sinx＝0， π 5π 得驻点为x1＝ 4 ，x2＝ 4 ，又f"(x)＝－sinx－cosx，
f "( ) = −sin − cos = ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 < 0 4 4 π 4
证明： f ( x) − f (a) f ' (ξ ) = 根据柯西定理有
g ( x) − g (a) g ' (ξ )
∵ξ在x与a之间，∴当x→a时ξ→a lim ∵ lim f ( x) = 0 ， g ( x) = 0
x→a x→a
∴ f (a) = g (a) = 0
f ( x) f ( x) − f (a) f ' (ξ ) f ' ( x) lim = lim = lim = lim x →a g ( x) x→a g ( x) − g (a ) ξ →0 g ' (ξ ) x →a g ' ( x)
f ( x) 且 lim 存在(或无穷大)，则 x→ a g ( x )
f ( x) f ' ( x) lim = lim x→a g ( x) x→a g ' ( x)
当x→∞时，上述定理也成立。
例4.26
ln sin mx 求 lim+ x →0 ln sin nx
解：当x→0+时原式是
型的不定式，用罗必塔法则有
0
[定理4.9] 如果当x→a时函数f(x)、g(x)都趋向于零，在点a 的某一邻域内(点a除外)，f’(x)、g’(x)均存在，
f ( x) g’(x)≠0，且 lim x→ a g ( x )
存在(或无穷大)，则
f ( x) f ' ( x) lim = lim x→a g ( x) x→a g ' ( x)
f "(x0 ) f (n) (x0 ) f (x) = f (x0 ) + f '(x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )n +O(x − x0 )n (x − x0 )2 +L+ n! 2!
4.9 几个初等函数的泰勒公式 例4.19 求函数f(x)＝ex在x＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝f"(x)＝…＝f(n)(x)＝ex ∴f(0)＝f'(0)＝f"(0)＝…＝f(n)(0)＝1 于是，ex在x＝0点的泰勒展开式为：
x3 x5 x 2 n −1 sin x = x − + − L + (−1) n −1 + O( x 2 n ) 3! 5! (2n − 1)!
例4.21 求函数f(x)＝cosx在x＝0点的泰勒展开式 解：∵f'(x)＝-sinx，f"(x)＝-cosx，f"'(x)＝sinx f(4)(x)＝cosx，… ∴f(0)＝1，f'(0)＝0，f"(0)＝－1，f"'(x)＝0 f(4)(0)＝1，… f(2n－1)(0)＝0，f(2n)(0)＝(－1)n 于是，cosx在x＝0点的泰勒展开式为：