统计学三大分布与正态分布的关系

统计学三大分布与正态分布的关系[1] 张柏林 41060045 理实1002班

摘要：本文首先将介绍2χ分布，t 分布，F 分布和正态分布的定义及基本性质，

然后用理论说明2χ分布，t 分布，F 分布与正态分布的关系，并且利用数学软件MATLAB 来验证之.

1. 三大分布函数[2]

1.12χ分布

2()n χ分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅

(Benayme)、赫尔默特(Helmert)、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发现，它是由正态分布派生出来的，主要用于列联表检验。

定义：若随机变量12n ,,X X …X 相互独立，且都来自正态总体01N （，）

，则称统计量222

212n =+X X χ++…X 为服从自由度为n 的2χ分布，

记为22~()n χχ. 2χ分布的概率密度函数为

122210(;),2()200n x

n x e x n f x n x --⎧≥⎪⎪=Γ⎨⎪⎪<⎩

其中伽玛函数1

(),0t x x e t dt x +∞

--Γ=

>⎰

，2χ分布的密度函数图形是一个只取非负值的偏态分布，如下图.

卡方分布具有如下基本性质：

性质1：22(()),(())2E n n D n n χχ==；

性质2：若221122(),()X n X n χχ==，12,X X 相互独立，则21212~()X X n n χ++；

性质3：2

n χ→∞→时，（

n ）正态分布； 性质4：设)(~2

2n α

χχ，对给定的实数),10(<<αα称满足条

件:αχχα

χα

==>⎰+∞

)

(2

22)()}({n dx x f n P 的点)(2

n α

χ为)(2n χ分布的水平α的上侧分位数. 简称为上侧α分位数. 对不同的α与n , 分位数的值已经编制成表供查

用.

2()n χ分布的上α分位数 1.2t 分布

t 分布也称为学生分布，是由英国统计学家戈赛特在1908年“student”的笔名首次发表的，这个分布在数理统计中也占有重要的位置.

定义：设2

~0~X N χ（，1），Y （n ），,X Y 相互独立，，则称统计量/T Y n

=

服从自由度为n 的t 分布，记为~()T t n .

t分布的密度函数为

1

2

2

1

()

2

(;)(1),.

()

2

n

n

x

t x n t

n n

nπ

+

-

+

Γ

=+-∞<<+∞

Γ

t分布的密度函数图

t分布具有如下一些性质：

性质1：()

n

f t是偶函数，

2

2

,()()

2

t

n

n f t t e

ϕ

π

-

→∞→=

；

性质2：设)(

~n

t

T

α

，对给定的实数),1

0(<

<α

α称满足条件；

α

α

α

=

=

>⎰+∞)()(

)}

(

{

n

t

dx

x

f

n

t

T

P的点)(n

tα为)(n t分

布的水平α的上侧分位数. 由密度函数)(x

f

的对称性，可得).

(

)

(

1

n

t

n

tα

α

-

=

-

类似地，我们

可以给出t分布的双侧分位数

,

)

(

)

(

)}

(

|

{|

)

(

)

(

2/

2

/

2

/α

α

α

α

=

+

=

>⎰

⎰+∞

-

∞

-n

t

n

t

dx

x

f

dx

x

f

n

t

T

P

显然有.

2

)}

(

{

;

2

)}

(

{

2/

2/

α

α

α

α

=

-

<

=

>n

t

T

P

n

t

T

P