函数的凹凸性与拐点优秀课件

凹型曲线:切线的斜率随着X的增大而增大.
凸型曲线:切线的斜率随着X的增大而减小.
2.结论:
曲线y=f(x)的凹凸性可以用f′的(x单) 调性来判定. 即y=f(x)的凹凸性与f″ (的x)符号有关.
二.定理:
设f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数f″ . (x) (1)如果在(a,b)内f″ >(x0),那末曲线在(a,b)内
是凹的. (2)如果在(a,b)内f″ <(x0),那么曲线在(a,b)内
是凸的.
三.定义:
连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧和凸的曲线弧的 分界点称为拐点.
(A)例1.判定y=ax²+bx+c的凹凸性. (a≠0)
解: 定义域为(−∞,+∞) y'=2ax+b y"=2a 当a>0时，y">0,曲线y=ax²+bx+c在 (−∞,+∞)内是凹的.
x （−∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）
y″ +
0
−
0
+
y
拐点 ∪ （0，1）
∩
拐点 （1，0）
∪
∴已知曲线的凹区间为（−∞，0）∪（1，+∞）， 凸区间为（0，1）拐点为（0，1）与（1，0）.
函数的凹凸性与拐点优秀课件
1.函数y=f(x)单调性的判定
y
y
y=f(x)
y0
p y=f(x)
y0
p
o
x0
x
K切=f '(x)>0 y单调递增
2.几何特征Ｉ
o
x0
x
K切=f '(x)<0 y单调递减
凡呈凸型的弧段其切线总位于曲线的上方. 凡呈凹型的弧段其切线总位于曲线的下方. 连续曲线的凹弧段与凸弧段有分界点.
当a<0时，y"<0,曲线y=ax²+bx+c在 (−∞,+∞)内是凸的.
注：凹凸性的判定定理的记忆与二次函数的开口 方向相结合。
例2.求下列曲线的凹凸区间与拐点
(B)1.y=x4 −2x³+1
解：（1）定义域为（−∞,+∞） （2）y'=4x³−6x² y"=12x²−12x=12x(x−1)
（3）令y"=0, 得x1 =0,x2=1 （4）列表
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曲线的凹凸与拐点
一.定义:若曲线y=f(x)在某区间内位于其切线的上方.则称该
曲线在此区间内是凹的,此区间称为凹区间. 若曲线位于其
切线的下方,则称该曲线在此区间内是凸的,此区间称为凸区
间. y
• •
y
•••
•
θ1
oa
θ2 θ3
x1 x2x3b
x
θ3 θ2 θ1
o a x1x2 x3
bx
1.几何特征Ⅱ