二项式系数的性质及应用的详细解说

(a b)5 1 5 10 10 5 1 32 25
(a b)6 1 6 15 20 15 6 1 64 26
二项式系数有什么特点？
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1,Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm

C nm n
（2）
Cnm

C m1 n

Cm n1
（3）当 r 当r
整除
例3、计算：1.9975（精确到0.001)
例4、已知：
(1
3x)2007

a0

a1x

a2 x 2

a x2007 2007
求： a1 a2 a2007
例5、求 (1 x) (1 x)2 (1 x)16
的展开式中 x3 项的系数
例6、求证：
3n 2n1(n 2)(n N, n 2)
Cn0 2Cn1 3Cn2 (n 1)Cnn (n 2)2n1
例4、求 (x 1 )8 展开式中系数最大
的项。
2x
1.5.2 二项式系数的性质及 应用（二）
二项式定理的内容是什么？ 二项式系数有哪些性质？
例1、求值：
(1)1 C51 22 C52 24 C53 26 C54 28 C55 210
1.5.2 二项式系数的性质及 应用（一）
当 n 0,1,2, 时，求 (a b)n展开式的
二项式系数，及二项式系数的和。
(a b)0
1
1 20
(a b)1
11
2 21
(a b)2
1 21
4 22
(a b)3
13 31
Leabharlann Baidu
8 23
(a b)4 1 4 6 4 1 16 24

n 1 n21
2
时， 时，
C nr Cnr

1
C r1 n
Cnr
（4） Cn0 Cn1 Cnn 2n
例1、求证：在(a b)n 的展开式中，奇
数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式 系数的和。
例2、在二项式(x 1)11 的展开式中，求
系数最小的项的系数。
例3、求证：
(2)310 39C110 38C120 37 C130 36C140 35C150
34 C160 33C170 32 C180 3C190
例2、求证：
（1）9910 1能被1000整除 （2）5151 1能被7整除 （3）nn1 1(n 3, n N) 能被(n 1)2