数理逻辑的发展历史及其作用

数理逻辑的发展历史及其作用

摘要：数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。它既是数学的一个分支，也是逻辑学的一个分支。是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。

关键词：数理逻辑史命题演算谓词演算

数学的主要内容是计算和证明。在十七世纪，算术因符号化促使了代数学的产生，代数使计算变得精确和方便，也使计算方法系统化。费尔马和笛卡儿的解析几何把几何学代数化，大大扩展了几何的领域，而且使得少数天才的推理变成机械化的步骤。这反映了代数学作为普遍科学方法的效力，于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化。与笛卡儿同时代的英国哲学家霍布斯也认为推理带有计算性质，不过他并没有系统地发展这种思想。简而言之，数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑。它是现代计算机技术的基础。新的时代将是数学大发展的时代，而数理逻辑在其中将会起到很关键的作用。逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由古希腊学者亚里士多德创建的。用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。也叫做符号逻辑。

古典形式逻辑是演绎法研究的前数理逻辑时期。数理逻辑史本身又可分为三个阶段。第一阶段开始用数学方法研究和处理形式逻辑。本阶段从莱布尼茨到19世纪末延续了约200年。第二阶段是数理逻辑的奠基时期。19世纪数学发展提出了探讨数学方法和数学基础的问题，数理逻辑围绕着这些课题，创建了新方法并提出了新理论。从19世纪70年代到20世纪30年代约70年时间奠定了本身的基础。第三阶段从20世纪30年代起为数理逻辑的发展时期。本阶段数理逻辑的主要内容已成长为数学的分支，并与数学的其他分支、计算机科学、语言学和心理学有广泛的联系。有少数部分内容如某些公理系统的研究与哲学问题有着相互的作用。

利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种想法早在十七世纪就有人提出过。莱布尼茨就曾经设想过能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。由于当时的社会条件，他的想法并没有实现。但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意义上讲，莱布尼茨可以说是数理逻辑的先驱。但他的工作只是一个开头，大部分没有发表，因此影响不大。真正使逻辑代数化的是英国数学家布尔，他在1847年出版了《逻辑的数学分析》，给出了现代所谓的“布尔代数”的原型。布尔确信符号化会使逻辑变得严密。他的对象是事物的类，1表示全类，0表示空类；xy表示x和y的共同分子所组成的类，运算是逻辑乘法；x＋y表示x和y两类所合成的类，运算是逻辑加法。美国哲学家、数学家小皮尔斯推进了命题演算，他区别了命题和命题函数。一个命题总是真的或假的，而一个命题函数包含着变元，随着变元值选取的不同，它可以是真也可以是假。皮尔斯还引进了两个变元的命题函数以及量词和谓词的演算。

19世纪初以来，人们在积累了大量实践经验并进行理论总结后，感到数学科学单纯凭借几何或物理直观以及一些有效应用是不足的，进而要求数学论证具有严谨性和系统性，对基本理论、证明方法和数学性质做深入的探讨。70年代开始出现对逻辑有重要意义的发展，

主要有：集合论理论、严格的公理方法和初步自足的逻辑演算。

数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）。从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础。早在公元前约300年，古希腊数学家欧几里得在其《几何原本》中，总结和整理了当时关于几何方面的知识，建立了一个具体公理系统。欧几里得第五公设（公理）或平行公设由于其真实性不够自明，在当时引起了怀疑。起初人们曾设法从其他公设论证第五公设，或代之以更为自明的公理，然而经过长期努力也未获得结果。18世纪意大利的G.萨凯里(1667～1733) 试图用反证法论证与第五公设相反对的假设不能成立，但结果却适得其反，从而产生和发展了非欧几里得几何，并提出了非欧几何作为公理系统的一致性问题。19世纪中叶后，人们已经判明射影几何与度量几何的相互关系,揭示出两种几何系统所必需的公理和假设。德国数学家P.帕施(1843～1930)在其《新几何讲义》(1882)一书中，给出了历史上第一个严格的几何系统，明确了射影几何隐含着的全部公理。他还从理论上提出形式公理学的思想，认为几何学里推导的进行必须独立于几何概念的直观内容,而不以图形为根据。同时,各种几何或代数公理系统的出现，表明一个严格公理系统可以有不同解释或模型。在这样的历史条件下，希尔伯特和《几何基础》一书于1899年出版。逻辑演算是一种公理系统，其中的定理都是逻辑规律特别是推理形式。19世纪70年代G.弗雷格首先建立了一个完全的逻辑演算体系，其后G.皮亚诺也为此做了不少贡献，最后由B.A.W.罗素和A.N.怀特海完成了建立一个初步自足的完全的二值外延逻辑系统的工作。弗雷格对逻辑的兴趣来自数学基础问题的研究。他认为，人们应该考虑如何定义数的概念并证明关于自然数的定理。他认为，数学真理虽也要通过感性才为人所认识，但认识的来源并不就等于证明的根据，数学命题似乎可以纯粹从逻辑规律得到证明。从日常语言不能表达严格和复杂的思想这一考虑出发，他发明了一种表意的语言，名之为“概念语言”，用以表达其逻辑演算。

20世纪初期，集合论、公理方法和逻辑演算这三方面都继续发展，同时也引起了一系列争论。当时争论的重点在于：①有没有和如何认识实无穷，②什么是数学的存在，③数学应建筑在什么基础之上。围绕着这些问题，20年代出现了两个主要学派即直觉主义和所谓的形式主义。

直觉主义就是强调直觉或直观在认识中的作用的思潮和学说。认为直觉是比抽象的理性更基本、更可靠的认识世界的方式。这种学说或思潮通常带有强烈的反理性主义、反实证主义和反唯物主义倾向。希尔伯特有关数学基础的理论有时被称为形式主义。希尔伯特并不自命为形式主义。许多专业文献只讲他的证明论而不用“形式主义”名称。严格意义的形式主义是那种割裂形式和内容的思想方法。相反地，希尔伯特却经常强调符号与其内容的联系。他认为，思想恰好是与说和写并行的，公式是发展至今日的通常数学思想的复制品等等。

数理逻辑这一门科学在现代科学与技术发展中有它所独有的突出的重要性。数理逻辑与好几门重要科学发生本质的深刻联系,它把它的研究对象深深的伸入好几门科学的对象中去接触到这些科学中的核心的本质的问题而形成自己的独立的研究方向。数理逻辑的研究对于数学,形式逻辑与辩证逻辑,电子计算机、计算技术,语言学,哲学等科学有本质的联系,数理逻