数学建模五步法案例.doc

数学建模五步法小论文

问题再现：

一个汽车制造商售出某品牌的汽车可获利1500美元,估计每100美元的折扣可以使销售额提高15%。

⑴ 多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。

⑵ 对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。

⑶ 假设实际每100美元的折扣仅可以使销售额提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值, 结果以如何。

⑷ 什么情况下折扣会导致利润的降低？

问题一：

一、 问题的提出

1. 具体问题

（1）多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。

（2）对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。

（3）假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值, 结果以如何.

（4）什么情况下折扣会导致利润的降低。

2. 符号的说明

（1）每辆汽车的成本C ；

（2）折扣前的销量n ；

（3）折扣后的销量'n ；

（4）折扣前每辆车的价格P ；

（5）折扣后每辆车的价格'P ；

（6）折扣前的销售额R ；

（7）折扣后的销售额'R ；

（8）折扣前的利润L ；

（9）折扣后的利润'L ；

由题意：

折扣前的利润1500)(=-=C P n L ,

设折扣为x 时，可使利润最高。此时假设活动一次性完成，即厂家一次性降低x 100美元，销售额提高x %15可使利润最高。

二、 选择建模方法

则由题中已知条件可得方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+==--=)

'('')15.01('1500100'C P n L x n n C P x P P

三、 推导模型公式

由各关系式可推出折扣后的利润函数为：

)1001500)(15.01()100)(15.01('x x n C x P x n L -+=--+=

四、 求解模型

已知厂商折扣后的利润函数为：

)1001500)(15.01()100)(15.01('x x n C x P x n L -+=--+=

为使厂商利润最大，令

0)20

31(100)1001500(203'=+--=x n x n dx dL 解得：

2.46

25≈=x 五、 回答问题

一般情况下，无论n 值取多少，厂商为了使得利益最大，都会选择降价420美元左右。 问题二：灵敏性分析

题中估计每折扣100美元销售量提高15%，现在假设其实际值是不同的，对几个不同的值13%，14%，16%，17%，重复问题一中的求解过程,以此来分析销售量提高率的敏感程度。

同理，还是对厂商利润函数L '求导，使之等于0解得不同提高率下的降价金额如表1所示：

表1不同提高率下的降价金额

销售量提

高率

降价金额（美元） 13% 365.4 14%

392.9 15%

420 16%

437.5 17% 455.9

利用表2中数据在matlab 中画图，输入命令：

x=[0.13 0.14 0.15 0.16 0.17];

y=[365.4 392.9 420 437.5 455.9];

plot(x,y,'*')

得图2：

图2

由图可以看到厂商需降价的金额对销量的提高率是很敏感的。

问题三：

若实际每100美元的折扣仅可以使销售额提高10%，同样我们可以通过对利润函数求导，并令导数等于0，求得相应的x 值是2.5，即厂商欲获利最大，需将价格下降250美元；

假设销量提高率在10%到15%之间的某一个数，我们设为r ，则)15.0,10.0(∈r ，通过对利润函数求导使之等于0得到：

75.0212115+-=-=r

r r x ，)15.0,10.0(∈r

当)15.0,10.0( r 时，每个r 都对应着一个应降价的金额，利用matlab 做其函数关系如图3

输入命令：

x=[0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15];

y=7.5-1./(2*x)

plot(x,y,'*')

得图3：

图3

问题四：

厂商降价幅度超过最优解x 后，接着降价则会导致厂商总利润降低。