非正弦周期交流电路

0
Im
(
1 k
cos k
t
)
0
0 2Im
k
K为偶数 K为奇数
Ckm 2
2
i(t) cos ktd (t)
0
2Im
1 k
sin
kt
0
0
AKm
BK2m
CK2m
BKm
2Im
k
（K为奇数）
K
tg 1 CKm BKm
0
iS
Im
t
is的最后展开式为：
T/2 T
iS I0 AKm sin(kt K ) K 1
q 1
(5)
1 T
T 0
UkmIkm sinkt k sinkt k k dt
k 1
其中，第（2）、（3）及（4）三项含有不同频率的 两个分量的乘积，其积分结果为零；第（1）项的积 分结果为U0I0；第（5）项的积分结果为
1
2
U km Ikm cos k
k1
U k Ik cos k
k 1
非正弦周期交流电路
非正弦周期交流电路
§5-1. 非正弦周期量的分解 §5-2. 非正弦周期量的有效值 §5-3. 非正弦周期电流的线性电路 §5-4. 非正弦周期电流的平均功率
非正弦周期电路
一、概述 ❖ 非正弦电流的普遍性和特殊性
工程中常有一些非正弦信号。如计算机中的脉冲 信号；测量技术中将非电电量转换成的电信号； 由语言、音乐、图象转换成的电信号；许多电子 仪器在工作时所需的控制信号等等。
P U0I0 Uk Ik cosk P0 Pk
k 1
k 1
P0 P1 P2
可见，非正弦周期电流电路中的平均功率等于恒定分 量和各正弦谐波分量的平均功率之和。
P U0I0 Uk Ik cosk k 1
P0 P1 P2 ......
(k ku ki )
结论： 平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
由下式确定：
cos P UI
式中P是非正弦周期电流电路的平均功率，U和I是非
正弦周期电压和电流的有效值。
例题 铁心线圈是一种非线性元件，因此加上正弦电压
u 311sin 314t V 后，其中电流 i 0.8sin(314t 85)
0.25sin(942t _105) A
不是正弦量。试求等效正弦电流。
tan k
kC
R
I km
U km Zk
U km
R2 kL
1
2
kC
非正弦周期电流的线性电路的解题步骤：
（1）将非正弦周期电源电压分解成傅立叶级数，看 作由恒定分量和各次正弦谐波分量串联的结果。
（2）利用叠加原理计算电压的恒定分量和各次正弦 谐波分量单独存在时所产生的电流分量。
（3）将所得的电流分量叠加起来，即为所需的结果。
Im 2Im (sin t 1 sin 3t
2
3
1 sin t ）
5
iS
Im
t
T/2 T
等效电源
IS0 is1 is3 is5
iS
Im 2
2Im
(sin t
1 sin 3t
3
1 5
sin 5
t
)
IS0
is1
is3
is5
代入已知数据： Im 157μA , 得： T 6.28μ s
直流分量
I0
Im 2
157 2
78.5μA
基波最大值
I1m
2Im
2 1.57 3.14
100μA
三次谐波最大值 五次谐波最大值
I3m
1 3
I1m
33.3μA
I5m
1 5
I1m
20μA
角频率
2
T
2 3.14 6.28 10 6
10 6
rad/s
电流源各频率的谐波分量为： iS
Im
t
IS 0 78.5 A
0T
2I0
Ikm
k 1
sin(kt
k
)]2
dt
0
(3)
1 T
T 0
I k2m
k 1
sin 2
(kt
k
)dt
1 2
I
2 km
k 1
(4)
1 T
T
0
2 IkmIqm
k 1q 1
sin(kt
k )sin(qt
(k q)
q )dt
0
由此，可得到有效值为
I
I
2 0
1 2
I
2 km
k 1
非正弦周期交流信号举例
半波整流电路的输出信号
示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
交直流共存电路
+E
es
计算机内的脉冲信号
t
T
§5-1. 非正弦周期量的分解
一、非正弦周期量的分解
+
❖ 如图，当一个直流电源和一 e1
个正弦电源串联时，可以得
– +
到电路的总电动势为
E0 –
e E0 e1 E0 E1m sin t
I
2 0
I12
I
2 2
其中，
I1
I1m 2
,
I2
I 2m 2
,
I1，I2分别为基波、二次谐波等的有效值，它们本身都 是正弦波。可见各有效值等于其相应幅值的 1 2。
同理，非正弦周期电压的有效值为
U
U
2 0
U12
U
2 2
U
U
2 0
U 2 km
k 1 2
U
2 0
U12
U
2 2
结论：周期函数的有效值为直流分量及 各次谐波分量有效值平方和的方根。
这样，我们可以根据已学过的理论对级数各项进行讨 论。对直流量用直流电路理论；对正弦量用相量理论， 我们已经有了比较完善的理论工具。
例 ❖ (1)全波电压整流波形的傅立叶展开式为
A0
Um
0sin
tdt
Um
cos t
0
2Um
Bkm
Um
02
sin t
sin
kt d(t)
u Um
在0 区间，sin sin k d
为了便于分析与计算，通常可将非正弦周期电压和电
流用等效正弦电压和电流来代替。等效的条件是：等
效正弦量的有效值应等于已知非正弦周期量的有效值，
等效正弦量的频率应等于非正弦周期量的基波的频率，
用等效正弦量代替非正弦周期电压和电流后，其功率
必须等于电路的实际功率。这样等效代替之后，就可
以用相量表示。等效正弦电压与电流之间的相位差应
u U0 U1m sin(t 1) U2m sin(2t 2 )
那么它的作用就和一个直流电压及一系列不同
频率的正弦电压串联起来共同作用在电路中的 情况一样。电路如图所示。
图中： u0 U0 u1 U1m sin(t 1)
u2 U2m sin(2t 2 )
i
u0
R
u1
L
u2
C
这样的电源接在线性电路中所引起的电流 及电压，就可以用叠加原理来计算。
Bkm
1
02 f
(t) sin
kt
d(t)
Ckm
1
02 f (t) cos kt
d(t)
由上面得到的系数， 可求出Akm及k 。
Akm
B2km
C2km
k
arctg
Ckm Bkm
三、傅立叶展开对周期性电流量的分解
f (t) A0 Akm sin(kt k ) n0
❖ 如果一个电流量具有周期T (=2/)，就可以根据傅 立叶展开，分解得到由直流分量A0、基波 A1msin(t+1)、二次谐波A2msin(2t+2)、……等高 次谐波分量组成。
即：
i I0 i1 i2 I0 I1m sin(t 1 1) I2m sin(2t 2 2 )
式中，I0=0
I1m
U1m Z1
U1m
R2 L
1
2
C
L 1
tan 1
C
R
I2m
U2m Z2
U2m
R2 2L
1
2
2C
2L 1
tan 2
2C
R
kL 1
例 一全波可控整流电路，控制角为，正弦部分的 幅值为Im=310V， 求其电流的平均值和有效值。 i
解 由题意，知相角0~之间 电流值为零，~之间电
Im
流值为正弦量Imsint。 则电流的平均值为
o
2 t
I
面积 周期
1
Im
sin
t
dt
Im
(1
cos
)
电流的有效值为
I
1
I
2 m
sin
2
t
dt
i I0 Ikm sinkt k k k 1
则可得下列五项：
1T
(1) T 0 U0I0dt
(2)
1 T
T
0 U0 Ikm sin kt k k
k 1
dt
(3)
1 T
T
0 I0 U km sin kt k k 1
dt
(4)
1 T
T 0
k 1
UkmIqm sin kt k sin qt q q dt
iS
Im
T/2 T
t iS
R
C
u
L
已知： R 20、 L 1mH、C 1000pF
Im 157μ A、 T 6.28S
求： u
第一步：将激励信号展开为傅里叶级数
直流分量： I O
1 T
T
0
i
(t
)
dt
1 T
I T /2 dt
0
m
I m
2
谐波分量：
BKm
1
2
ຫໍສະໝຸດ Baidui( t)sin k td (t)
f (t) A0 [Bkm sin kt Ckm cos kt]
k 1
式中
A0 Akm sin(kt k ) k 1
Bkm Ckm
A km A km
cos k sin k
或
Akm
B2km
C2km
k
arctg
Ckm Bkm
傅立叶级数的系数
A0
1 2
02 f (t)d(t)
T/2 T
is1 100 sin106 t A
is3
100 3
sin
3106 t
A
is5
100 5
sin 5 106 t
A
第二步 对各种频率的谐波分量单独计算：
1. 直流分量 IS0 作用
IS0 78.5A
对直流，电容相当于断
路；电感相当于短路。所 IS0
以输出的直流分量为：
20Ω
R
C L u0
I m2
1
2 cos 2tdt 2
I
2 m
(
sin 2 )
I
sin 2
2
§ 5-3非正弦周期电流的线性电路的计算
电路如图所示，已知 u 为非正弦周期电 压（或电流i），如何求解电路中各电流 电压呢？
解决这个问题的方法是借助于傅立
叶级数。
u
i R L
因为非正弦周期电压可分解为下列形式：
C
2
Akm Ckm
由此：
u
Um
sin t
2Um
(1 2 cos 2t 2 cos 4t )
3
15
u Um
u Um sin t
o
t 2
§5-2. 非正弦周期量的有效值
❖ 由第三章得出的有效值公式
I
1 T i2dt
T0
不仅适用于正弦量，也适用于非正弦的周期量。
若某非正弦的周期电流已分解成傅立叶级数
解 由公式可知，等效正弦电流的有效值为
I ( 0.8)2 (0.25)2 0.593 A
2
2
平均功率为
P
U1I1
cos
1
311 2
0.8 2
cos 85
10.8
W
正弦电压与等效正弦电流之间的相位差为
arc
cos
P UI
arc
cos
10.8 311 0.593
85.2
2
例 方波信号激励的电路。
既然是非正弦的电学量，就不能用正弦交流电的 相量分析方法进行讨论分析，这里讨论对非正弦 电流量的分析方法。它是非正弦量的一种特例。
对非正弦的电学量分析的理论依据，仍然是受电 路约束方程制约的，所用的数学工具是傅立叶级 数，分析方法基本属于频域分析范畴。
非正弦周期交流信号的特点 不是正弦波 按周期规律变化
U0 RI S0
20 78 .5106
1.57 mV
IS0
R u0
2. 基波 作用 is1 100 sin106 t μ A
i I0 Ikm sin(kt k )
k 1
则其有效值为
I
1 T
T
0 [I0
Ikm sin(kt k )]2 dt
k 1
I
1 T
T
0 [I0
Ikm sin(kt k )]2 dt
k 1
❖ 上式根号中的积分式可以分解为四项：
(1)
1 T
T 0
I
02dt
I
2 0
(2)
1 T
o 2 t
1 [cos(k 1) cos(k 1)]d 2
积分后为零。故可知
u Um sin t
Bkm 0
系数
Ckm
Um
02 sin t
cos kt d(t)
Um
[0sin
t
cos kt
d(t)
2 sin
t
cos kt
d(t)]
2
Um
0sin t cos kt d(t)
0sin
cos
k
d
1 2
[sin(k
0
1)
sin(k
1)]d
1 2
[
cos(k 1) k 1
cos(k 1) k 1
]0
11 k 1 k 1
2 k2 1
即
Ckm
4Um (k2 1)
0
( k为偶数) ( k为奇数)
A0
2Um
Bkm 0
Ckm
4Um (k2 1)
( k为偶数)
可得
k
arctg Ckm Bkm
e 当电路中接入一电阻R时，电流为
i e E0 E1m sin t
E0
RR R
电路中的电流是非正弦周期量。
o
i
R
E1m
e1 t
例 周期性方波 的分解
直流分量
t
三次谐波
t
基波
t
t
五次谐波 七次谐波
直流分量+基波 直流分量 基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
二、傅立叶展开对周期量的分解
❖ 根据数学中傅立叶级数理论，任何满足狄里赫利条 件的周期函数都可以展开成三角级数。如函数 f (t) 可展开分解为
注意：感抗和容抗的变化。
X L1 L 1
X C1 C
X Lk kL 11
X Ck kC k X Ck
§5-4非正弦周期电流电路中的平均功率
计算非正弦周期电流电路中的平均功率和在正弦交 流电路中一样，也可应用下式：
P 1
T pdt 1
T
uidt
T0
T0
设非正弦周期电压和电流如下：
u U0 U km sinkt k k 1