极坐标和参数方程-一轮复习

教学容

【知识结构】

知识点一：极坐标

1．极坐标系

平面的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。

2．极坐标系一点的极坐标

平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对

就叫做点的极坐标。

3. 极坐标与直角坐标的互化

当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：

直角坐标化极坐标：；

极坐标化直角坐标：.

此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.

知识点三：参数方程

1. 概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数：

，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.

相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。

知识点四：常见曲线的参数方程

1．直线的参数方程

（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：

（为参数）；

其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，，在下方时，)。

（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：

（为参数，为为常数，）；

其中的几何意义为：若是直线上一点，则。

2．圆的参数方程

（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：

（是参数，）；

特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。

（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。

（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。

3. 椭圆的参数方程

（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。

（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。

如图中，点对应的角为（过作轴，

交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。

（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。

椭圆上任意一点可设成，

为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。

4. 双曲线的参数方程

双曲线（,）的参数方程为（为参数）。

5. 抛物线的参数方程

抛物线()的参数方程为（是参数）。

参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。

【例题精讲】

类型一：极坐标方程与直角坐标方程

例1．在极坐标系中，点关于极点的对称点的坐标是_____ ，关于极轴的对称点的坐标是_____，关于直线的对称点的坐标是_______，

思路点拨:画出极坐标系，结合图形容易确定。

解析：它们依次是或；；（）.

示意图如下：

总结升华：应用数形结合，抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系，同时应注意点的极坐标的多值性。

举一反三：

【变式】已知点，则点

（1）关于对称点的坐标是_______，

（2）关于直线的对称点的坐标为________。

【答案】

(1) 由图知：,，所以；

(2) 直线即，所以或（）

例2. 化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。

(1) ；(2) ；

(3) ；(4) .

思路点拨:依据关系式，对已有方程进行变形、配凑。

解析：

（1）方程变形为,

∴或，即或，

故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。

(2) 变形得,即，

故原方程表示直线。

(3) 变形为, 即，

整理得，

故原方程表示中心在，焦点在x轴上的双曲线。

（4）变形为,

∴,即,

故原方程表示顶点在原点，开口向上的抛物线。

总结升华：极坐标方程化为直角坐标方程，关键是依据关系式，把极坐标方程中的用ｘ、ｙ表示。

举一反三：

【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线.

(1)；(2), 其中；

(3)(4)

【答案】：

(1)∵，∴即,

故原方程表示是圆.

(2)∵, ∴，

∴，∴或，

∴或

故原方程表示圆和直线.

(3)由，得即，整理得

故原方程表示抛物线.

(4)由得,

∴，即

故原方程表示圆.

【变式2】圆的直角坐标方程化为极坐标方程为_______________.

【答案】将代入方程得.

例3. 求适合下列条件的直线的极坐标方程：

（1）过极点，倾斜角是；（2）过点，并且和极轴垂直。

思路点拨:数形结合，利用图形可知过极点倾斜角为的直线为.过点垂直于极轴的直线为；或者先写出直角坐标方程，然后再转化成极坐标方程。

解析：

（1）由图知，所求的极坐标方程为；

（2）（方法一）由图知，所求直线的方程为，即.

（方法二）由图知，所求直线的方程为，即.

总结升华：抓住图形的几何性质，寻找动点的极径与极角所满足的条件，从而可以得到极坐标方程.也可以先求出直角坐标方程运用所得的方程形式，可以更简捷地求解.

举一反三：

【变式1】已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是______。

【答案】：。

（方法一）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程：，

则原点（极点）到该直线的距离是；

（方法二）直线是将直线绕极点顺时针旋转而得到，易知，

极点到直线的距离为。

【变式2】解下列各题

（1）在极坐标系中，以为圆心，半径为1的圆的方程为____，平行于极轴的切线方程为____；