《微积分》各章习题及详细答案

第一章 函数极限与连续

一、填空题

1、已知x x f cos 1)2

(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)

1()34(lim

22

x x x x 。 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。 4、01sin lim 0=→x

x k x 成立的k 为 。

5、=-∞

→x e x x arctan lim 。

6、⎩

⎨⎧≤+>+=0,0

,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→x

x x 6)

13ln(lim

0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。 10、设a 是非零常数，则________)(

lim =-+∞

→x

x a

x a x 。 11、已知当0→x 时，1)1(3

12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。 12、函数x

x

x f +=13arcsin

)(的定义域是__________。

13、lim ____________x →+∞

=。 14、设8)2(lim =-+∞

→x

x a

x a x ，则=a ________。 15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞

→=____________。 二、选择题

1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的

函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。 2、x

x

x +-=

11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。 （Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

3、函数⎪⎩

⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1

11

1)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。

（Ａ）23； （Ｂ）3

2； （C ）1； （D ）0。 4、数列极限=--∞

→]ln )1[ln(lim n n n n 。

（Ａ）1； （Ｂ）1-； （C ）∞； （D ）不存在但非∞。

5、⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>=<+=0

1cos 00

0sin )(x x x x x x

x

x x f ，则0=x 是)(x f 的 。

（Ａ）连续点；（Ｂ）可去间断点；（C ）跳跃间断点；（D ）振荡间断点。 6、以下各项中)(x f 和)(x g 相同的是（ ）

（Ａ）2lg )(x x f =，x x g lg 2)(=； （Ｂ）x x f =)(，2)(x x g =； （C ）334)(x x x f -=，31)(-=x x x g ；（D ）1)(=x f ，x x x g 22tan sec )(-=。 7、 |

|sin lim

x x

x →= （ ） （Ａ） 1； （Ｂ） -1； （C ） 0； （D ） 不存在。

8、 =-→x

x x 10

)1(lim （ ） （Ａ） 1； （Ｂ） -1； （Ｃ） e ； （Ｄ） 1-e 。

9、)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0

x f x

x →存在的（ ）

（Ａ）充分必要条件；（Ｂ） 充分条件；（C ）必要条件；（D ）既不充分也不必要条件.

10、 =-+∞

→)1(lim 2x x x x （ ） （Ａ） 1； （Ｂ） 2； （C ） 2

1

； （D ） 0。

11、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞

→∞

→∞

→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则必有（ ）

（A ）n n b a <对任意n 成立； （B ）n n c b <对任意n 成立； （C ）极限n n n c a ∞

→lim 不存在 ； （D ）极限n n n c b ∞

→lim 不存在。

12、当1→x 时，函数1

1

21

1---x e x x 的极限（ ） （Ａ）等于２； （Ｂ）等于０； （Ｃ）为∞； （Ｄ）不存在但不为∞。 三、计算解答 1、计算下列极限 （1）1

2

sin

2lim -∞

→n n n x ； （2）x

x

x x cot csc lim 0-→ ；

（3）)1(lim 1

-→∞x

x e x ； （4）x

x x x 31212lim ⎪⎭

⎫

⎝⎛-+∞→ ； （5）1cos cos 21

cos 2cos 8lim 223

-+--→

x x x x x π； （6）x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→；

（7）⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n ； （8）32324arctan )21ln(lim x x x --+→。 ３、试确定b a ,之值，使2111lim 2=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x 。 ４、利用极限存在准则求极限