圆锥曲线问题中减少运算量的五种策略

y2 ) ( y1 + y2 ) = 0.
依题意 , x1 ≠ x2 , 所以 kAB
= - 3 ( x1 + x2 ) . y1 + y2
因为 N ( 1, 3) 是 AB的中点 , 所以 x1 + x2 =
2, y1 + y2 = 6, 从而 kAB = - 1. 又 N ( 1, 3) 在椭
圆内 , 所以 λ > 3 ×12 + 32 = 12, ∴λ的取值范
围是 ( 12, + ∞) , 直线方程为 y - 3 = - ( x -
1) , 即 x + y - 4 = 0.
(2) 略.
例 4 ( 2009年湖北高考题 ) 过抛物线 y2
= 2px ( p > 0) 的对称轴上一点 A ( a, 0) ( a >
0) 的直线与抛物线相交于 M , N 两点 ,自 M , N
(A ) 1 (B ) 2 ( C) 2 (D) 2 2
3
3
3
3
分析 如图 1,注意到 | FA | , | FB | 都 是抛物线的焦半径 , 考虑用抛物线的定义解 题. 因 为 | FA | = 2 | FB | , 故 | AA ′| = 2 | BB ′| , 所以 B 为 AC 中点 , C ( - 2, 0) , 设 B ( x0 , k ( x0 + 2) ) , 由中点坐标公式得 : A ( 2x0 + 2, 2k ( x0 + 2) ) , 又有 A, B 在 y2 = 8x上 , 代入可
=- 4
sinθ -
b 4
2 + 4 + b2 , 将其记为 f (θ) . 4
当 0 < b < 4时 , f (θ) 最大值为 4 + b2 , 当 b ≥ 4
4时 ,当 sinθ = 1时 , f (θ) 取得最大值 2b,所以
正确答案选 A.
评注 “点在曲线上 ”的条件的使用一般
有两种 :一是代数形式 ( x0 , y0 ) , 另一种是参数 形式 ,此题通过利用椭圆的参数方程 , 使运算
c
a2
2
·22·
点评 本题的关键是利用数形结合找出
a与 c的关系 ,由数想形 , 由形想数 , 数形结合
是灵活解题的一条途径.
策略 5 引入参数
适当引入参数 , 对于深入研究直线与圆
锥曲线的关系非常重要 , 选择适当的参数 , 如
点参数 、角参数 , 直线的斜率等 , 配之以相应
的数式变形 ,往往可简化运算 ,事半功倍.
②
由 ①②可得 e = 3 + 1,故选 D. 评注 遇到正三角形 、圆 、平行四边形 、
等腰梯形 、正方形等与圆锥曲线综合问题时 , 要注意利用图形的几何性质 , 以降低解题难 度 ,简化运算.
策略 3 设而不求. 用解析法处理圆锥曲线问题 , 设点的坐 标最为常见 ,但求点的坐标却不多见 , 根据点 在曲线上 ,坐标是方程解的特征 , 灵活运用方 程理论 ,通过整体思想处理坐标关系 , 是设而 不求的本质. 例 3 ( 2005年湖北高考题 ) 设 A, B 是椭 圆 3x2 + y2 =λ上的两点 , N ( 1, 3) 是线段 AB 的中点 ,线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C, D 两点. ( 1) 确定 λ的取值范围 , 并求直线 AB 的
高中数学教与学 2010年
(1) 当 a = p 时 ,点 A 2
p , 0 即为抛物线 2
的 焦 点, l 为 其 准 线 x =- p, 此 时 2
M1
-
p 2
,
y1
, N1
-
p 2
,
y2
, 并由 ①可得 y1 y2
= - p2. 因为 AM 1 = ( - p, y1 ) , AN 1 = ( - p,
π 0, 2
上为减函 数 , 从 而 对于 任意 的
x
∈
π 0,
都有
g ( x)
π >g
= 1, 所以 sin x >
2
2
4 π2
x2
,
故选
D.
第 1期 高中数学教与学
例 2 (2007年安徽高考题 ) 如图 2, F1 和
F2
分别是双曲线
解出 k = 2 3 2,故选 D. 点评 本例涉及焦半径的计算问题 , 充
分利用圆锥曲线的统一定义 , 能迅速 、简单地 解题.
策略 2 利用几何性质 解析几何是用坐标法研究几何图形的 , 在用代数方法研究曲线间的关系的同时 , 要 充分利用好图形本身所具有的平面几何性质.
g′( x)
π2 =
例 6 ( 2005年重庆高考题 ) 若动点在曲
线 x2 4
+
y2 b2
= 1 ( b > 0) 上变化 , 则 x2 + 2y的最
大值为 ( )
b2 + 4 ( 0 < b < 4) (A) 4
2b ( b ≥ 4)
b2 + 4 ( 0 < b < 2) (B) 4
2b ( b ≥ 2)
= 1 ( a > b > 0) 的焦
距为 2, 以 O 为 圆 心 , a 为 半 径 作 圆 , 过 点
P a2 , 0 作圆的两条切线互相垂直 , 则离心率 c
e=
.
解 如图 4,切线 PA, PB 互相垂直 ,又半
径 OA ⊥ PA,所以 & OA P是等腰直角三角形 ,
故 a2 = 2a, 解得 e = c = 2, 故填 2.
策略 4 数形结合 解析几 何是 以 数量 关 系研 究几 何 形状
的 ,离开图形解题无疑是纸上谈兵 , 数形结合 是解析几何的基本思想方法 , 在解题中要善 于将数形结合的思想方法用于对圆锥曲线的
性质和相互关系的研究中.
例 5 ( 2008年江苏高考题 ) 在平面直角
坐标系中
, 椭圆
x2 a2
y2 + b2
从而有
y1 + y2 = 2m p, y1 ·y2 = - 2ap,
①
于是 , x1 + x2 = m ( y1 + y2 ) + 2a
= 2 (m2 p + a).
②
又因为 y21 = 2px1 , y22 = 2px2 , 可得
x1 x2
=
( y1 y2 ) 2 4源自文库p2
= a2.
③ ·21·
向直线 l: x = - a作垂线 , 垂足分别为 M 1 , N 1.
(1) 当
a
=
p 2
时
, 求证
: AM 1
⊥ AN 1;
( 2) (略 ) .
分析 如图 3, 依题意 , 可设直线 MN 的
方程为 x = m y + a, M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 则有 M 1 ( - a, y1 ) , N 1 ( - a, y2 ) , 由 x = m y + a, y2 = 2px, 消去 x, 可得 y2 - 2pm y - 2ap = 0,
4
·x2 co s
x
x4
2x sin
x
=
π2 co s 4 x3
x
(
x
-
2 tan
x) .
因为 x ∈
π 0,
时,
tan
x
>
x sin
x
> 0,
2
所以 x - 2 tan x < 0.
所以 g′( x)
< 0, 故 g ( x) 在
0,
π 2
上为减
·20·
函数 , 又 g ( x) 在 x = π处连续 , 所以 g ( x) 在 2
方程 ;
( 2) 试判断是否存在这样的 λ,使得 A, B ,
C, D 四点在同一个圆上 ?并说明理由.
分析 ( 1) 设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 则有
3x21 + y21 = λ,
①
3x22 + y22 = λ.
②
① - ②, 得 3 ( x1 - x2 ) ( x1 + x2 ) + ( y1 -
( C) b2 + 4 (D ) 2b 4
分析 可以利用椭圆的参数方程 , 令 x = 2co sθ, y = bsinθ(θ为参数 ) , 则 x2 + 2y转
化为以 sinθ为主元含参变量 b的一元二次函
数. 下面对 b进行分类讨论就可得出答案. x2 +
2y = 4co s2θ+ 2bsinθ = - 4 sin2θ+ 2bsinθ+ 4
性质 , 可 知 F1 F2 ⊥ AB , | OA | = | O F1 | ,
∠F1OA = 60°. 所以 , 点 A坐标为 - c , 3 c . 22
又因为点
A 在双曲线
x2 a2
-
y2 b2
= 1上 ,将点 A坐
标代入双曲线方程 ,得
c2 4 a2
-
3 c2 4 b2
= 1.
①
又 b2 = c2 - a2.
x2 a2
-
y2 b2
= 1 ( a > 0, b > 0) 的
两个焦点 , A和 B 是以 O为圆心 ,以 | O F1 | 为半
径的圆与该双曲线左支的两个交点 ,且 & F2AB
是等边三角形 ,则双曲线的离心率为 ( )
(A) 3 (B) 5 (C) 5 (D) 1 + 3 2
分析 根据正三角形的性质及圆的几何
较为简便.
总之 , 在解决圆锥曲线有关问题时 , 要努
力克服重思路方法 , 轻运算技巧的顽症 , 要有
求简意识. 事实上 , 这些策略不是孤立的 , 在
具体解题过程中 , 往往需要综合考虑 , 穿插运
用 ,相互补充 , 才能达到变难为易 , 化繁为简 ,
左右逢源 ,相得益彰的效果.
y2 ) , 所以 , AM 1 ·AN 1 = p2 + y1 y2 = p2 - p2 = 0, 即 AM 1 ⊥ AN 1.
(2) 略.
评注 涉及直线与圆锥曲线交点的坐标
问题 ,可不求出交点的坐标 , 而是转化为利用 韦达定理解决. 若涉及中点弦的问题 , 可用 “点差法 ”解决 , 也就是把弦的两端点坐标分 别代入曲线方程后相减 , 则弦的斜率可用中 点坐标来表示. 这种方法在解决有关中点弦 问题时较为常用.
策略 1 回归定义 波利亚说 :“当你不能解决一个问题时 , 不妨回到定义去 ! ”定义是解决问题的原生力 量. 圆锥曲线的定义是灵魂 , 圆锥曲线的问题 往往可以从定义入手 , 有效借助定义 , 不但使 问题的解决变得容易 , 而且还可以避免大量 的计算 ,切不可忽视定义在解题中的作用. 例 1 ( 2009年全国高考题 ) 已知直线 y = k ( x + 2) ( k > 0) 与抛物线 C: y2 = 8x交于 A, B 两点 , F为 C的焦点. 若 | FA | = 2 | FB | , 则 k = ( )
高中数学教与学 2010年
圆锥曲线问题中减少运算量的五种策略
肖 健
(安徽省固镇县石湖中学 , 233706)
圆锥曲线内容是高考的必考内容之一 , 其中运算能力是其最突出的特点. 用解析法 解关于圆锥曲线的问题 , 思路比较简单 , 规律 性较强. 但是 ,这种方法运算过程往往比较繁 复. 因此 , 设计合理的运算途径 , 选择适当的 数学方法 ,是简化运算过程而达到迅速 、准确 解题的关键问题. 本文就圆锥曲线问题中如 何减少运算量从五个方面来谈一下解题策 略 ,但愿能抛砖引玉 ,给读者以启迪.