二次型的概念二次型的标准形(或法式).ppt
线性代数ppt 第五章 二次型
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a2n , a nn
x =
x1 x2 , xn
则 二 次 型 可 记 作 f = xT Ax, 其 中 A为 对 称 矩 阵 .
(3)
此时A 此时A称为二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵A 的矩阵, 称为对称矩阵A 对应的二次型. 对应的二次型. 对矩阵A的秩叫做二次型 的秩 二次型f的秩 二次型 的秩. f(x1,x2)=3x12+3x22+2x1x2 )=3x +3x +2x
k1 0 TAP = P … 0
0 k2 … 0
… … … …
0 0 … kn
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
三. 矩阵的合同 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 记为: A B. 可逆矩阵 使得P 矩阵P 记为: 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. An与Bn合同(congruent): 合同(congruent):
(1) 反身性: A A; 反身性: A; (2) 对称性: A B B A; 对称性: (3) 传递性: A B, B C A C. 传递性:
定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同. 定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
作业 P151 1. (B) 1(1), (3); 2
本章主要内容 (1) 二次型矩阵表示 (2) 标准二次型,规范二次型 标准二次型, 二次型 (3) 将二次型化为标准形 (4)二次型的正定型的判定—主要是利用顺序 (4)二次型的正定型的判定 主要是利用顺序 二次型的正定型的判定— 主子式判定 主子式判定 作业: 作业: P152 7(1); 20(1)
线性代数二次型及其标准形PPT课件
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
P1
1 3
1 2
2
P2
1 3
2 1
1
P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
2 2 1
取正交矩阵
P P1
则得所欲求的正交变换
P2
P3
1 3
1 2
2 1
2 2
即
x1 x2 x3
1 3
2 1 2
2 2 1
第3页/共50页
例如： f ( x, y) x2 4xy 5 y2
f ( x, y, z) 2x2 y2 xz yz
都是二次型。
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x1x2 x2 x3 x2 x4
f (x, y) x2 y2 5 不是二次型。
f (x, y) 2x2 y2 2x
第4页/共50页
取 aij a ji 则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 a21 x2 x1 a22 x22
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在
中取1,值的1,标0准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
称为二次型的规范形。
(注：这里规范形要求系数为1的项
排
在前面，其次排系数为-1的第项10。页/)共50页
目的： 对给定的二次型
n
f x1, x2 ,, xn aij xi x j (1)
线性代数—二次型的标准形和规范形PPT课件
题。
下面介绍二次型化为标准形的方法。
2
第2页/共33页
1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的基本步骤： 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有
x 的乘积项集中，然后配方，再对其余i 的变量同 x样进i 行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
第12页/共33页
1
2
2
1 2 , 2 1 , 3 0 ,
2
0
1
正交化，
3
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
,
再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵
1 3 2 5 2 45
P 2 3 1 5 4 45
2 3
(x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
4
第4页/共33页
f (x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 1
1 1
1
A 1 3
1
1
11 11 1 3
1
1
1
1 13 01 1
0 0
0 10
1 1 11 11
0
1 0 10
,
1
1 1 11
,
1
2
1,
E
A
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 11
0 0 0
二次型及其 标准形
1 1
| A E | (1 )2 (2 ) 0 ，
得特征值 1 2 1 ， 3 2 ．
1.3 二次型的标准形
例题
1
2
1
1
2
1 对应的特征向量为
1
1
， 2
0
，将其正交化，取
q1
1
1 ，
0
1
0
q2
2
[2 [q1
，q1 ] ，q1 ]
q1
2
0
1
2 2
3
换为 x Py ，所化二次型的标准形为 f 0 y12 3y22 3y32 ．
1.3 二次型的标准形
例题
例5
求一个正交变换 x
Py ，将二次型
f
1 2
x12
x1x2
2x1x3
1 2
x22
2x2x3
x32 化为标
准形．
1 2
1 2
1
解：二次型矩阵为
A
1 2
1 2
1 ，由
1
称为一个 n 元二次型，简称二次型，记为 f．
（6-1）
若式（6-1）中系数 aij 为复数，则 f 称为复二次型；若 aij 全为实数，则 f 称为实二次型
1.1 二次型的基本概念
定义
为了用矩阵表示二次型，若记 aij a ji ，则 2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ，式（6-1）可改写
f 1 y12 2 y22 n yn2 ．
（6-4）
1.3 二次型的标准形
化标准型
用正交变换法化二次型为标准形的步骤如下．
（1）写出二次型的矩阵 A ，求其特征值 1 ， 2 ， ， n ； （2）求出所有特征值对应的特征向量，并将它们正交单位化；
Ch5-5线性代数二次型及其标准型
2 01
0
0 0 1
可得
f
的规范形：f
=
－z
2 1
+
z
2 2
+
z
2 3
.
用正交阵将二次型化为标准形的步骤:
正交变换法
(i) 写出 f 的矩阵 A,并求出 A所有相异特征值 1, , m;
它们的重数依次为 r1, r2 , rm ( r1 r2 rm n )
(ii) 对每个重特征值i , 求出对应的 ri 个线性无关的特征向量
二次曲线
旋转变换
ax2 bxy cy2 1
令
x y
x cos x sin
y sin y cos
, ,
二次齐次多项式
m x2 n y2 1
不改变长度、夹角
可逆线性变换 正交变换
对于n 元的二次齐次多项式，能否存在一个可逆的线性变换 将其变为只含平方项的二次齐次多项式
求可逆矩阵 C 使得 C TAC B , 称为将 A 合同(变换)为 B .
简单性质:
10 矩阵的合同关系是等价关系;
20 合同矩阵CT必A等C 秩 B; , 而 C 可逆，
30 与对称矩阵合同的矩阵也是对称阵.
A AT , C TAC B BT CT ATC CT AC B
从合同的角度看二次型的变换问题:
二次型 f xTAx 经可逆变换 x C y化成二次型 f yTB y
存在可逆阵 C 将矩阵 A合同为B, 即 A, B 满足CTAC =B, 且 B仍为对称阵,二次型 f 的秩不变.
能将二次型 f = xTA x 经过可逆线性变换化成标准形
第5章(二次型)线性代数及其应用.ppt
x1 c11 y1 c12 y2
x
2
c21 y1
c22 y2
c1n yn , c2n yn , 即 x cy
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由x1, x2, , xn到y1, y2, , yn的线性变换 .
若C可逆，称之为可逆线性变换； 若C是正交矩阵，称之为正交线性变换.
x2 ,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
1
0
1 2 3
0 3 2
x1 x2 x3
1
2
1 0 0 x1
(2)
f
(
x1
,
x2
,
x3
)
x1
,
x2
,
x3
0
1
0
x2
0 0 4 x3
问题： 如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线
f x12 3 x32 2x1 x2 4x1 x3 2x2 x3 ( x12 2x1 x2 4x1 x3 ) 3x32 2x2 x3 ( x1 x2 2x3 )2 x22 2x2 x3 7 x32
第五章5-7二次型及其标准型正定二次型
负平方项的个数r-p称为f的负惯性指数
它们差p-(r-p)=2p-r称为f的符号差.
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型 2 2 2 f x1 , x 2 ,, x n a11 x1 a 22 x 2 a nn x n
2a12 x1 x 2 2a13 x1 x 3 2a n1,n x n1 x n
取 a ji aij , 则2 aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是 2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n
对称矩阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 ;
f 叫做对称矩阵 A 的二次型 ; 对称矩阵 A 的秩叫做二次型 f 的秩 .
2 2 2 例1 写出二次型 f x1 2 x2 3 x3 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵表示式并求 f 的秩 .
解
0 x1 1 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x3 ) 2 2 3 x2 . 0 3 3 x 3
都为二次型 .
只含有平方项的二次型 2 2 2 f k1 y1 k2 y2 kn yn
称为二次型的标准形．
2 2 2 f x1 , x2 , x3 x1 4 x2 4 x3 例如
为二次型的标准形.
只含有平方项的二次型 f k1 y k2 y kn y 称为二次型的标准形（或法式）．
5.5二次型及其标准形
相似矩阵及二次型二次型的定义及表示方法22212111222(,,,)n nn nf x x x a x a x a x =++++121213131,1222n n n na x x a x x a x x --+++1、二次型的定义12,,,n x x x 的二次齐次多项式含有n 个变量称为二次型，21211(,,,)2nn ii iij i j i i j nf x x x a x a x x =≤<≤=+∑∑或记为注当常数项为实数时，称为实二次型.2、二次型的矩阵表示()11111221n n x a x a x a x =+++()22112222n n x a x a x a x +++++()1122n n n nn n x a x a x a x ++++()1112112122221212n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭T f x Ax=A 为对称矩阵.12(,,,)n f x x x 121213131,1222n n n na x x a x x a x x --+++222111222nn n a x a x a x =++++A例如， 用矩阵记号写出来，就是()1201,,2021032x f x y z y z ⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭. 二次型2234f x z xy yz =--+任一二次型f 3、二次型的矩阵及秩对称矩阵A −−→任一对称矩阵A 二次型f −−→⎫⎬⎭一一对应f 称为对称矩阵A 的二次型；A 称为二次型f 的矩阵；对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩．合同矩阵矩阵的合同1. 定义 设A 和B 是n 阶矩阵，若有可逆矩阵C ， 使TB C AC ， 则称矩阵A 与B 合同.2. 性质 (1). 合同关系为等价关系(2). 与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵(3). 合同矩阵具有相同的秩.二次型标准化定义只含有平方项的二次型222121122(,,,)n n nf x x x x x xλλλ=+++称为二次型的标准形．定义22221211(,,,)()n p p p qf x x x x x xxp q n ++=++--+≤为二次型的规范形．1n λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11110⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二次型的标准化问题主要问题： x Cy =寻可逆变换，使得()T T Tf x Ax y C AC y==只含平方项.(二次型标准化)要使二次型f 经可逆变换x Cy =变成标准形， 就是要使2221122T Tn ny C ACy k y k y k y =+++()111,,n n n k y y y k y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 也就是要使TC AC 成为对角阵.主要问题是： 对称矩阵A 合同对角化.用正交变换将二次型标准化任给对称矩阵A ， 总有正交矩阵P ， 使1TP AP P AP -==Λ. 定理 任给二次型(),1niji j ij ji i j f ax x a a ===∑，总有正交变换x Py =，使f 化为标准形2221122n nf y y y λλλ=+++， 其中12,,,n λλλ是f 的矩阵()ij A a =的特征值.推论 任给n 元二次型()Tf x x Ax=()TAA =，总有可逆变换x Cz =，使()f Cz 为规范形.证 ()2211=T n n f Py y y y yλλΛ=++，设二次型f 的秩为r , 则特征值i λ中恰有r 个不为0， 不妨设1,,r λλ不等于0，10r n λλ+===， 令1n k K k ⎛⎫ ⎪=⎪⎪⎝⎭， 其中1,,1,,i i i r k i r λ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩则K 可逆， 变换y Kz =把()f Py 化为()TTTTTf PKz z K P APKz z K Kz ==Λ,而11=diag ,,,0,,0Tr rK K λλλλ⎛⎫Λ ⎪ ⎪⎝⎭， 记C PK =， 可逆变换x Cz =把f 化成规范形()22111=r r rf Cz z z λλλλ++.用正交变换化二次型为标准形的具体步骤1. ,;T f x Ax A =将二次型表成矩阵形式求出122. ,,,;n A λλλ求出的所有特征值123. ,,,;n ξξξ求出对应于特征值的特征向量()1212124. ,,,,,,,,,,,,;n n n p p p P p p p ξξξ=将特征向量正交化单位化得记22115. ,.n nx Py f f y y λλ==++作正交变换则得的标准形例 求一个正交变换x Py =，把二次型化为标准形,其中121323222f x x x x x x =-++解 二次型f 的矩阵为11132611132612036P ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭， 011101110A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，有正交阵 特征值为2,1,1-使211TP AP -⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， 于是有正交变换 11223311132611132612036x y x y x y ⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪- ⎪⎝⎭把二次型f 化成标准形 2221232f y y y =-++.如果要把二次型f 化成规范形， 只需令1122331,2,,y z y z y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 即得f 的规范形222123f z z z =-++.谢谢。
二次型的标准型
xx年xx月xx日
目 录
• 引言 • 二次型的表示 • 二次型的变换 • 二次型的标准型 • 结论
01
引言
什么是二次型
二次型定义
二次型是一种由实数变量和二次形式构成 的数学对象，一般形式为 $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$，其中$x_i$是实 数变量。
VS
二次型的变量
二次型的向量表示
二次型的向量表示法中，向量是单位向量。
二次型的向量表示法可以用来计算向量的长度，以及求解向 量的加法和数量积。
二次型的几何意义
二次型的几何意义可以表示为平面上一个点的轨迹。 二次型的几何意义可以用来求解最短路径问题，以及计算点到直线的距离。
03
二次型的变换
合同变换
1 2
定义
合同变换是在线性代数中，通过非奇异线性变 换将一个二次型化为标准型。
弹性力学
在弹性力学中，物体的应变能密度通常表示为应变向量的二次型。通过将应 变能密度表示为标准型，可以简化弹性力学问题的求解过程，并得到一些有 用的物理性质。
二次型的表示
二次型的矩阵表示
二次型的矩阵表示法中，矩阵是实对称矩阵 。
二次型的矩阵表示法可以用来求解线性方程 组，以及判断线性变换是否可逆。
二次型标准型的计算和模拟需要大量的计算资源和时间 ，对于大规模高复杂度的系统可能存在计算效率低下的 问题。
THANKS
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应用
相似变换在矩阵的分解和化简、 特征值求解等领域有着广泛的应 用。
位似变换
定义
位似变换是在复数域上的一种线性变换，通过位似变换可以将一个复二次型化为具有相同主轴长度的复二次型。
过程
《二次型及其标准型》PPT课件
2x22 5x32 6x2 x3
去掉配方后多出来的项
2x22 5x32 6x2 x3
第二十三页，共49页。
x1
x2
x3
2
x2 2
4
x2 3
4x2
x3
x1 x2 x3 2 x2 2x3 2.
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
y3 x3
x1 x2
y1 y2
其中一组变量(biànliàng)可以写成另外一组变量(biànliàng)的线性 组合，即有：
x1 c11 y1 c12 y2
x2
c21 y1
c22 y2
xn cn1 y1 cn2 y2
c1n yn c2n yn
cnn yn
（6.3）
第九页，共49页。
则称上式为由 x1, x2 , 到, xn
项，而含有交叉项 x，1 x为2 了利用上面配方时所用
的方法，先作可逆线性变换：
x1 x2
y1 y1
y2
x3
y3
（6.6）
第二十六页，共49页。
f x1, x2 , x3 y1 y1 y2 y1 y3 y1 y2 y3
y12 y1 y2 2 y1 y3 y2 y3
第三十一页，共49页。
思考题
P155例6.4（试用不同(bù tónɡ)的变换）
化二次型
f x1 , x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
为标准形,并写出所作的可逆线性变换 .
第三十二页，共49页。
思考题解答(jiědá)
解 由于所给二次型不含平方项,故令
x1 x2
第六页，共49页。
例1
第五章二次型--精品PPT课件
定义: A , B∈Kn×n , A与B称为合同的,如果存 在n阶可逆阵C, 使B = C’AC.
注 1: K上n阶方阵的合同关系是等价关系. 注 2: 若A与B合同, A’= A, 则B’=B.
p=n.
f (x1 … xn)是半正定型
f (x1 … xn)的正惯性指数
p=r ≤ n.
f (x1 … xn)是负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数q=n.
f (x1 … xn)是半负定型
f (x1 … xn)的负惯性指数
q=r ≤ n.
正定二次型与正定矩阵_3
定理: A’ =A∈Rn×n, 则下列条件等价: (1).A是正定阵. (2).对任意0≠X∈Rn×1, 有X’AX > 0. (3).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得P’AP = In. (4).存在可逆阵P∈Rn×n, 使得A = P’P. (5).A的正惯性指数p = n. (6).A的所有主子式 > 0. (7).A的所有顺序主子式 > 0. (8).A的所有特征值 > 0.
注 2 : R上n阶对称阵，按合同关系分类共有
(n+1)(n+2)/2类
正定二次型与正定矩阵_1
设f (x1 … xn)是R上n元二次型,如果对
(a1,a2,…,an)≠0，恒有：
(1).f (a1 … an) > 0, 则称 f (x1 … xn)是正定二次型. (2).f (a1 … an)≥0,则称 f (x1 … xn)是半正定二次型. (3) .f (a1 … an) < 0,则称 f (x1 … xn)是负定二次型. (4) . f (a1 … an)≤0, 则称 f (x1 … xn)是半负定二次型.
第6章二次型及其标准型
推论 任给 n 元二次型 f = xTAx (AT = A),
总有可逆变换 x = Pz，使 f(Pz) 为规范形.
黄凤英 二次型
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 写出二次型 f 2, , n. 3. 对每个 =i 求出对应方程(AE)x=0的基础
对 2 = 3= 5,
对 1= 4,
4 2 4 由A 5 E 2 1 2 4 2 4
黄凤英 二次型
1 r 0 0
1 1 2 0 0 , 0 0
1 0 得 : 2 2 , 3 2 , 0 1 1 2 2 2 , 正交化得： 0 4 1 3 2 5 5
2 2 2
如果标准形的系数只在 1 , -1 , 0 三个数中 取值，则称之为规范形.
二次型的秩的意义： 一个二次型
的标准形中所含的项数即为该二次型的秩.
黄凤英 二次型
合同矩阵
定义 3 设 A 和 B 是 n 阶方阵，若有可逆
矩阵 C，使 B = CTAC，则称矩阵 A 与 B 合同.
可逆矩阵C称为合同变化矩阵.
二次型及其标准形
主要内容
二次型的概念
合同矩阵
化二次型为标准型
黄凤英 二次型
二、二次型的概念
定义 1 称 n 个变量的二次齐次多项式
f(x1 , x2 , · · · , xn ) = a11x12 + a22x22 + · · · + annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + · · · + 2an-1,nxn-1xn 为二次型. 取 aij = aji , 则 2aijxixj = aijxixj + ajixjxi , 于是 (2) 式可写成
第5章二次型资料
B CT AC, RB RAC RA,
又 A CT 1 BC 1, RA R BC 1 RB.
RA RB.
定义5.2 对于n阶矩阵A和B，如果存在n阶可逆矩 阵C，使B=CTAC，就称B合同于A，记着A≌B。 也称“对A进行合同变换变为B”。
矩阵间的合同关系也具有反身性、对称性 和传递性
例１ 写出二次型
f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
1 2 0 A 2 2 3.
0 3 3
5.2.2 化二次型为标准形
第5章 二次型
5.1 二次型的概念
定义1 含有n个变量 x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
化二次型为标准型的两种方法： （1）正交变换法 （2）配方法
由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵P , 使 P1 AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次 型,有
n
定理5.1 任给二次型 f aij xi x j aij a ji ,总有
i , j1
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
n
aij xi x j .
二次型的基本概念ppt课件
x2 ,
x3 )
( x1 ,
x2 ,
x3
)
2
1
0
3 5
5 2
x1 x2 x3
1
2
2
8
1 －1 3
例3
设A
3
3
－1
，则X
T
AX
是一个
6 2 －1
二次型。
解：实际上，我们只需要判断X T AX是否 是一个二次齐次多项式。
9
1 －1 3 xΒιβλιοθήκη ( x1x2x3
)T
3
3
－1
15
X CY
证明：f ( x1 , x2 ,L, xn ) X T AX (CY )T A(CY ) Y T (CT AC )Y，
令B CT AC， 由于BT (C T AC )T C T AT (C T )T C T AC B 以及C可逆，所以，B是对称矩阵。
L
ann xn
4
a11 a12 L a1n
x1
令A
a21 M
a22 M
L M
a2n M
,
X
x2 M
an1
an2
L
ann
xn
则
f ( x1, x2 ,L, xn ) X T AX , A AT ................(6.2) 称(6.2)式为二次型f ( x1, x2 ,L, xn )的矩阵表示， 对称矩阵A为f 的矩阵，A的秩为f 的秩。
a11 x1 a12 x2 L a1n xn
(
x1 ,
x2
,L,
xn
)
a21 x1
a22
x2 M
二次型ppt课件
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这相当于用
T1
j
(
a1 j a11
)
右乘A，用
T j1(
a1 j a11
)
T1
j (
a1 j a11
)
左乘A。这样，总可以选取初等矩阵 E 1 , E 2 , , E s , 使得
a11 0 0
E s E2 E1 AE1 E2 E s
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定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分 条件是它们的矩阵合同。
等价的二次型具有相同的秩。
定理9.1.4 令 A ( a ij ) 是数域F上的一个n阶对称矩
阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得
c1
0
P A P
c2
0
cn
即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合
9.1 二次型和对称矩阵
一.内容分布 9.1.1 二次型及矩阵 9.1.2 线性变换 9.1.3 矩阵的合同 9.1.4 二次型的标准形
二.教学目的 1.掌握二次型及其矩阵的定义 以及矩阵的合同 2.理解关于二次型的线性变换 3.了解二次型的标准形
三.重点难点: 合同、线性变换、二次型的标准形
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为二次型 q ( x 1 , x 2 , , x n ) 的矩阵。因为 a ij a ji ,
所以A是F上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘
法，（2）式可以写成
（3）
x1
q(
x1
,
x2
,
,
xn
)
(
x1
,
x2
,