1.1复数的表示及其运算

(4) z z 2 Re（z）, z z 2i Im（z）；
（5）z z z为实数
3、复数的三角形式和指数形式的乘除法
1）乘法 ⅰ）三角形式的乘法
设z1 r1(cos1 i sin1), z2 r2(cos2 i sin2 ),
则 z1 z2 r1 r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
从而
z1z2 Arg (
z1
r1r2 z1 z2 z2 ) Argz1
Argz2
说明 由于辐角的多值性, Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2
两端都是无穷多个数构成的两个数集.
对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应.
从几何上看, 两复数对应的向量分别为 z1, z2 ,
•z
记为 z r x2 y2 .
显然成立： x z, y z,
z x y,
y r
o
Pz x iy
x
x
（ⅱ）复数的辐角(argument)
在 z 0的情况下,以正实轴为始边, 以表示z 的
向量OP 为终边的角 称为 z 的辐角, 记作 Argz .
y
说明 任何一个复数z 0有 y
设 zk rk (cosk i sink ) rkeik , (k 1,2, , n)
z1 z2 zn r1 r2 rn[cos(1 2 n ) i sin(1 2 n )]
r1 r2 rnei(12 n ) .
2）除法
ⅰ）三角形式的除法
设z1 r1(cos1 i sin1), z2 r2(cos2 i sin2 ),
则复数z r(cos i sin )可以表示为：
z rei
小结
本课学习了复数的有关概念、性质、四种表 示形式及相关的运算. 重点掌握复数的四种表示 形式（代数形式、几何形式、三角形式、指数形 式），复数的模和辐角是表示后三种形式的重点.
例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
(1) z 12 2i; (2) z 12+2i;
arctan
2 12
+π
arctan（-
3)
3
5,
6
z
4
cos
5 6
i
sin
5 6
5i
4e6 .
(3) z sin i cos
5
5
显然 r z 1,
sin
5
cos
2
5
cos
3
10
,
cos
5
sin
2
5
sin
3
10
,
z cos 3 i sin 3
10
10
3 i
e10 .
说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大 小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 即
复数不能比较大小!!!
4、复数的几何表示
(1) 复数的点表示及复平面
复数 z x iy 与有序实数对 (x, y) 成一一 对应，若把 有序实数对 (x, y)作为平面上的坐标，建立直角坐标系oxy,
则可将复数与复平面上的点一一 对应起来, 建立数点等同
11 2i (2 i)(5i) 25 5i(5i)
11 2i 5 10i 25 25
16 8 i 25 25
Re（z） 16 , Im（z） 8
25
25
zz (16 8 i)(16 8 i) 64 25 25 25 25 125
例2
已知
z1
1 (1 2
3i ),
z2
sin
3
先把 z1 按逆时针方向旋转一个角2 ,
y
r
• z1
再把它的模扩大到 r2 倍, 所得向量 z就表示积 z1 z2 .
r1
1
2
•
r2
z2
o
x
两复数相乘就是把模相乘, 辐角相加.
ⅱ）指数形式的乘法
设复数z1和z2的指数形式分别为 z1 r1ei1 , z2 r2ei2 , 则 z1 z2 r1 r2ei(12 ) . 由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:
z 0 辐角的主值
arg z
arctan y , x
π , 2
arctan y π , x
π,
x 0, x 0, y 0, x 0, y 0, x 0, y 0.
(其中 arctan y )
2
x2
（ⅲ） 复数模的三角不等式
z1 z2 z1 z2 z1 z2
i
cos
3
,
求
z1
z2
和
z1 z2
.
解
Q
z1
cos
3
i
sin
3
,
z2
cos
6
i
sin
6
,
z1
z2
cos
3
Baidu Nhomakorabea
6
i
sin
3
6
i,
z1 cos i sin 3 1 i.
z2
3 6
3 6 2 2
(3)
z
(cos5 (cos 3
的观念，这称为复数的点表示法.
y
横轴即x轴上的点对应复数的实部，
虚轴
所以也称x轴为实轴；
y
纵轴即y轴上的点对应复数的虚部，
z x iy
(x, y)
所以也称y轴为虚轴；
oxx
由实轴和虚轴确定的平面称为复平面.
实轴
（2）复数的向量表示
复数z x iy也可用复平面上的向量OP 表示 向量具有两个重要的属性：长度、方向. （ⅰ）复数的模 该向量的长度称为 z 的模或绝对值, y
(2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算.
(3)虚数单位的特性:
i1 i; i2 1; i3 i i2 i; i4 i 2 i 2 1; ……
i 4n 1, i4n1 i, i4n2 1, i4n3 i.
nZ.
i:虚数单位 2. 复数的代数形式的定义:
对于 x, y R, 称 z x yi或 z x iy 为复数.
(cos i sin )n cosn i sin n . 棣莫佛公式
3）n 次方根
给定复数 z，方程 wn z 的根称为 z 的 n 次方根 ,
记为 n z . 可以推得:
wk
n
z
r
1 n
cos
2kπ n
i sin
2kπ n
( k 0, 1, 2, , n 1 )
从几何上看, n z 的 n 个值就是以原点为中心,
在运算时学会灵活选用相关形式，力求使得计算最 为简便.
常用公式：
z1
z2
r1 r2[cos(1
2 ) i sin(1
2 )]
r1
r ei(1 2 ) 2
z2 z1
r1 r2
[cos(1
2
)
i
sin(1
2
)]
r2 r1
ei (2 1 )
Euler公式
ei cos i sin ,
棣莫佛公式 (cos i sin )n cos n i sin n
等号成立的充要条件是 z1, z2位于同一直线上．
y
几何意义如图：
z2 z1 z2
z1 z2
z1
o
x
5、 复数的三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x r cos
y
r
sin
复数可以表示成
z x iy
r(cos i sin )
6、 复数的指数表示法
利用Euler公式
欧拉资料
ei cos i sin ,
实部（Real）
记做：Re(z)=x
虚部(Imaginary) 记做：Im(z)=y
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数;
当 y 0时, z x 0i x为实数.
3. 两复数相等: 当且仅当它们的实部和虚部分别相等.
即 设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , 则 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 .
Pz x iy
无穷多个辐角.
o
x
x
如果1 是其中一个辐角, 那么 z 的全部辐角为 Argz 1 2kπ (k为任意整数). 特殊地, 当 z 0时, z 0, 辐角不确定.
辐角主值的定义:
在 z ( 0) 的辐角中, 把满足 π 0 π 的 0 称为 Argz 的主值, 记作 0 arg z.
1)π
i
sin
2(n n
1)π
.
当 k 以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.
wn
r
1 n
cos
2nπ n
i sin
2nπ n
r
1 n
cos
n
i
sin
n
小结
本课学习了复数的三种表示形式对应的运算. 熟练掌握复数的各种运算，一般要区分出复数的 实部与虚部时，用代数形式比较方便.
对于复数的乘、除、幂、开方运算，一般情况下以 三角形式、指数形式来运算比较方便.
思考题1
复数为什么不能比较大小？
参考答案
观察复数 i 和 0, 由复数的定义可知 i 0, (1) 若 i 0, 则 i i 0 i, 即 1 0, 矛盾; (2) 若 i 0, 则 i i 0 i, 同样有 1 0, 矛盾. 由此可见, 在复数中无法定义大小关系.
思考题2
1） n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂,
记作 zn , zn z z z .
n个
对于任何正整数n, 有 zn rn(cosn i sin n ).
如果我们定义 zn 1 , 那么当 n 为负整数时, 上式仍成立. zn
2）棣莫佛公式
棣莫佛资料
当 z 的模 r 1,即 z cos i sin ,
第一节 复数及其表示 第二节 复变函数
一、复数的概念及其表示 二、复数的运算 三、复球面及无穷大 小结与思考
一、复数的概念及其表示
——“复合”而成的数 1. 虚数单位: 实例: 方程 x2 1在实数集中无解.
为了解方程的需要 ,引入一个新数 i, 称为虚数单位.
对虚数单位的规定: (1) i2 1; 即 i 1;
1
r n 为半径的圆的内接正 n 边形的 n 个顶点.
推导过程如下：
设 z r(cos i sin ), w (cos i sin ),
n(cosn i sin n ) r(cos i sin )
于是 n r, cosn cos , sin n sin ,
显然 n 2kπ, (k 0, 1, 2, )
(3) z sin i cos ;
5
5
解 (1) r z 12 4 4,
Q z 在第三象限,
arctan
2 12
π
arctan
3
3
5,
6
z
4
cos
5 6
i
sin
5 6
5 i
4e 6 .
(2) z 12 2i
r z 12 4 4,
Q z 在第二象限,
3）两复数的商: z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
.
说明：复数的四则运算规律与实数的四则运算规律 保持一致
2. 共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两
个复数称为共轭复数, z 的共轭复数记为z. 即：若 z x iy, 则 z x iy.
n次方根的公式
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i
sin
n
2kπ n
(k 0,1,2,
,n 1)
例1 设z 1 2i ( 2 i ) 求 Re（z）, Im（z）及z z 3 4i 5i
解：z 1 2i 2 i 3 4i 5i
(1 2i)(3 4i) 2 i (3 4i)(3 4i) 5i
是否任意复数都有辐角?
参考答案
否. 唯有 z 0的情况特殊, 它的模为零而辐角不确定.
二、复数的运算
1、复数的代数形式的四则运算
设两复数 z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 , 1） 两复数的和差: z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ). 2） 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
则
z1 z2
r1 r2
[cos(1
2
)
i
sin(1
2
)]
从而
z1 r1 z2 r2 Arg( z1 )
z2
z1 z2
Argz1
Argz2
ⅱ）指数形式的除法
设复数z1和z2的指数形式分别为 z1 r1ei1 , z2 r2ei2 ,
则 z1 r1 e . i(12 ) z2 r2
4、复数的幂与方根
共轭复数的几何性质：
一对共轭复数z 和 z 在 复平面内的位置是关于 实轴对称的.
y
z x iy
o
x
z x iy
共轭复数的运算性质:
(1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z z;
z1 z2 z1 z2 ;
z1 z1 ; z2 z2
(3) z z Re（z）2 Im（z）2 = z 2 ；
故
1
rn,
2kπ ,
n
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ n
i sin
2kπ n
(k 0, 1, 2, )
当 k 0,1,2, ,n 1时,得到 n 个相异的根 :
w0
r
1 n
cos
n
i
sin
n
,
w1
r
1 n
cos
2π n
i
sin
2π n
,
wn1
r
1 n
cos
2(n n