复变函数第5讲.

1. 定义：记z x iy，则复指数函数为：
e e
z x iy 定义
e x (cos y i sin y)
注：这里ez没有幂的含义，仅仅是一个记号，关于 幂的意义后面再讲。 2. 性质：由定义，复指数函数有以下特性：
1 ） e z e x , Arge z y 2k ,
两端比较得： e u r u ln r, 及v 2k
至此，我们得到对数函数的计算公式：
Lnz lnr i( 2k )
ln z i(argz 2k ),(k 0,1,2,)
注: 1）对数函数 Ln z为多值函数，每两个值相差2 i
的整数倍。
e e sin z 2i
定义 iz
iz
e e , cos z 2
定义 iz
iz
***** 复三角函数是由指数函数定义的
2、三角函数性质 如此定义出来的复三角函数是否具有实三角函数的 特性，如周期性、三角恒等式？答案是基本成立
1) sin z,cos z是周期为2的函数
这可从定义看出，因 e 周期为2i
1 当b ( n为正整数）时， n
a e

n
1 n
1 Lna n
e
1 (ln a i arg a 2 k i ) n
e
1 ln z n
e
2 k i arg an
arg z 2k arg z 2k z (cos i sin ) n n
n z
m 当b ( n 1, m与n为互质自然数)时, n m
这个性质是实变指数函数所没有的！ 容易得出如下结论
e z1 e z2的充要条件是z1 z2 2k i , k为整数.
映射的几何特点
w ez
带形区域
y y2
w ez
角形区域
v (w)
y
( z)
y2 y1
y y1
x
u
特点: 把夹在y y1和y y2(0 y1 y2 2 )之间的 水平带形域映成平面的顶点在原点夹角为y2 -y1 的角形域, 因此若需把
z
2) sin z是奇函数， cos z是偶函数。，
如 sin( z )
e
iz
e sin z 2i
iz
3) sin z,cos z在复平面上处处解析，且
(sin z) cos z， (cos z) sin z
4) sin z零点为k，cos z零点为k

证：代入验证即可。
eiiy e iiy e y e y 例如： sin iy （当y 时） 2i 2 同理有 cos iy （当y 时）
6) sin z,cos z在复平面上无界
注：无界性是复三角函数与实三角函数的本质差异。
7) 类似可定义其它三角函数，如
Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 , z1 Ln Lnz1 Lnz2 z2
应当注意，由于对数函数的多值性，对于上述等式的 理解应与复数的乘积和商中关于辐角的等式一样。
（2） 特别注意：对正整数n，Lnz n nLnz，
实际上，由于对数函数的多值性，即使考虑Lnz 2 Lnz Lnz，因为是二集合相加，都不能简单的合并为2 Lnz。
例 1：Ln(1) ln1 ( 2k )i (2k 1) i
Ln(3 4i ) ln 3 4i [arg( 3 4i ) 2k ]i 4 ln 5 ( arctan 2k )i 3
例2：解方程 （） 1 ez i, （2） ez ei
z z
n n
m
---- n值函数
3. 幂函数及其性质
1）当a z为一复变量时，可得到一般幂函数w z 。
b
不 难 证 明 ， 幂 函 数 运满 算足 z z z
b1 b2 b1 b2
, z
b
百度文库
1 b z
2） zn在复平面内是单值解析函数；z 具有n个分支； 一般幂函数w z b是多值函数，它的各个分支在 除去原点和负实轴的复平面内是解析的，并且有
记为：w Lnz
即对数函数是指数函数的反函数。
2、计算公式：
给定一复数z，如何计算其对数Lnz ? 记 z r (cos i sin ), w Lnz u iv,
则由对数定义： w u e e (cos v i sin v) z r (cos i sin )
sin z cos z 1, cos sin z cos2z,
2 2 2 2
sin 2 z 2 sin z cos z
cos(z1 z 2 ) cos z1 cos z 2 sin z1 sin z 2
sin(z1 z 2 ) sin z1 cos z 2 cos z1 sin z 2
2
例1 求thz的零点：
shz e z e z e2 z 1 thz z z 2z 0, e2 z 1 chz e e e 1
a e
b
p p ln|a| i (arg a 2 k ) q q
e
p ln|a| q
p p cos q (arg a 2k ) i sin q (arg a 2k )
3) b为其他值时ab为无穷多个值。
4) 特别地，当b为正整数n时，
a n enLna en(lna+i2k ) enlna elna elna elna =a a a (n个a相乘）
1 解：(1 ）z Lni ln1 ( 2k )i ( 2k ) i 2 2 (2) 注意到ez为周期函数，故有z i 2k i
或者

z Lne Ln(cos1 i sin1)
i
ln1 i(1 2k ) i(1 2k )
3、运算性质 （ 1）
（3） 可以证明，如下等式成立
1 Ln z Lnz n
n
4、分析性质
考虑其主值分支
ln z ln | z | i arg z
容易看出，除去原点与负实轴外，lnz在其它点处处连续
在区域 - argz< 内，w ln z 是单值函数，其导数 可由反函数得求导法则给出：
dw d ln z 1 1 1 w w de dz dz e z dw
1 n
( z b ) (ebLnz ) (ew )w
1 b 1 b 1 e b z bz bz z
w
wbLnz
注：a z ezLna 称为一般指数函数
例题
(1) 1 e
2 3
2 Ln1 3
e
2 [2 k i ] 3
4i 3
e
4 k i 3
（k 0,1, 2）
显然， lnz在除去原点与负实轴的复平面解析，Lnz的其 它分支也是如此，且它们有相同的导数值。今后我们在 应用Lnz时，总是指它在除去原点和负实轴的平面内的 某一分支。
思考
e
Lnz
? Lne ?
z
三、幂函数
1. 定义：复乘幂 ab ebLna , 其中，a, b为复数 且 a 0。
2
e iz e iz 证 ： 如cos z 0,即e iz e iz 0 2 e 2iz 1 0, 移项，取对数，
2iz Ln(1) ln 1 i( 2k ) (2k 1)i 1 z (k ) 2
5）三角恒等式
实三角函数恒等式对复三角函数也成立，如
即x, y分别决定ez的模和辐角，并且显然有ez 0。
2) 加法定理: ez1 ez2 ez1 z2
3) ez处处解析，且(ez ) ez
以上三条性质与实指数函数相同
4) 欧拉公式 eiy cos y isin y
5) e 为周期函数，周期为2 i,
z
因为e z 2ki e x( y 2k )i e xiy e z
有三个值 1, e
(2) 1
2
,e
8i 3
e
2Ln1
e2
2ki
cos2 2k i sin2 2k ,
k 0,1,2,, 无穷多值
四、三角函数，双曲函数
1、定义：由欧拉公式
e iy cos y i sin y, e iy cos y i sin y
eiy eiy eiy eiy 得 cos y ,sin y 2 2i 据此，我们上述公式推广到复三角函数如下：
3. 复双曲函数定义同实的一样：
e z e z e z e z shz shz , chz , thz 2 2 chz
由e z 性质不难得到shz , chz的性质，如 (1) shz和chz二者皆为周期函数，周期2 i； （2）chz为偶函数，shz为奇函数，都为复平面内 的解析函数；且有如下等式 ch 2 z sh 2 z 1，( shz ) chz，(chz ) shz , chz cos iz，shz i sin iz 五、反三角函数，反双曲函数
eiw eiw 由定义，z sin w , 整理，即 2i (eiw ) 2 2izeiw 1 0, 由求根公式，
2 2 iz ( 2 iz ) 4 iw e iz 1 z 2 , 取对数，整理即得 2
w A rcsin z iLn(iz 1 z ）
2）特别的，当k 0时，称 ln z ln | z | i arg z 为Lnz主值。显然有 Lnz ln z 2k i
上式中，对于每一个固定的k，称为Lnz的一个单值分支。
3) Lnz的定义域为z 0，即任意非零复数皆有对数。
4）特别地，当z x 0时，Lnz ln x i (0 2k ), ln z ln x。 这正说明了复变数对数函数是实变数对数函数 的推广。
显然这一定义是由实数公式 x y e y ln x推广而来。
2. 计算公式：
a e
b
b[ln a i arg a 2 k i ]
e
b[ln a i arg a ] 2 k bi
e
说明
1) b为整数时a 为单值， a e
b b
b ln a
。
p 2) b ( p和q为互质整数，q 0) 时, a b具有q个值： q
1.定义：指三角函数、双曲函数的反函数
需要指出的是，因三角函数、双曲函数都是通过 指数函数来表示的，故此，它们的反函数最终都可通 过对数函数表示，且一般为多值函数。
它们分别记为 Arcsin z, Arc cos z, Arc tan z, Arcc tan z, Arshz, Archz等等。
例如考虑函数w arcsin z，我们来推导w关于 z的显式表达式。
§3 五类初等解析函数 本节内容：介绍几类基本初等函数，应注意各类
函数的定义及特性。
一、 指数函数 思想：在复平面内，定义一个类似于实函数中 ex的函数，使它满足下列条件
i）f ( z )在复平面内处处解析； ii）f ( z ) f ( z ) iii) 当 Im( z ) 0时，f ( z ) e x , 其中，x Re( z )
带形域映射成角形域常用指数函数.
例题
1 e z. e ( 2) 证 明 ： ez ez .
z
(1) e z e z e z z e 0 1,
e z e x (cos y i sin y ) e x iy e z .
二、对数函数
1、定义：若 e w z, 则称w为z的对数函数
tan z sin z cos z , cot z , cos z sin z
1 1 sec z ，csc z cos z sin z
应用sin z,cos z的性质不难得到这些函数的性质，
如导数公式 (tan z) sec2 z，(cot z) csc2 z
(sec z ) sec z tan z, (csc z) csc z cot z