2.4 欧拉运动方程及其积分

式中 V 是合速，另两个迁移加速度也可以改为类似的式子：
V 2 vx vy vz 2vz x vx z x y z y 2
vz vz vz V 2 vx vy vz 2(vx y v y x ) x y z z 2
说明在无旋流动中，沿着任意一条封闭曲线的速度环量均等于 零。但是对有旋流动，上述结论并不成立，绕任意一条封闭曲 线的速度环量一般不等于零。
§ 2.5.1 环量与涡的概念
涡量概念 是指流场中微团角速度之二倍，如平面问题中
的2ωz ， 称为涡量，涡量是个纯运动学的概念。
在三维流里，流体微团可以有三个方向的角速度 ωx ,ωy ,ωz ,三者合为一个合角速度是：
2.4 欧拉运动方程及其积分
2.4.1 欧拉运动方程 欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出 来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。 在流场中划出一块三边分别的为
y
dx，dy，dz的微元矩形六面体。不计
粘性力，表面力就没有切向力，仅有 法向力（压力）一种，而彻体力是可 以有的 。
z dx
· P
在二维流场中，任取封闭曲线，然后把该封闭曲线所围成的 面积用两组坐标的平行线分割成一系列微小面积，做每一块
微小面积的速度环量并求和，得到总的速度环量。对于微元 ABCD，速度环量为
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
d V ds
ABCDA
v y v y dy vx dx vx vy dx dy dx x 2 x y 2 v y dy vx vx dx vx y dy x 2 dx v y y 2 dy v y vx x y dxdy 2 z dxdy
x i y j z k
2 2 x y z2

涡量可写为： rotV 2 V
旋转轴线都按右手定则确定。
2.5.2 涡线与涡管
像流线一样，在同一瞬时，如在流场中有一条曲线，该 线上每一点的涡轴线都与曲线相切，这条曲线叫涡线。 涡线的微分方程是（给定时刻，t为参量）：
该形式好处是在方程中显示了旋转角速度，便于分析无旋 流动。
2.4 欧拉运动方程
例. 在海平面上，直匀流流过一个机翼，远前方直匀流的
静压 p＝p∞＝101200牛/米2，流速=100米/秒。已知A，B，
C三点的速度分别是VA=0，VB =150米/秒，VC=50米/秒， 空气在海平面的ρ=1.255千克/米3 。假设流动无旋，求A、 B、C三点的压强。
只跟围线所包含的涡量有关，无旋时涡通量为零从而沿封 闭曲线的速度环量也为零。 对于无旋流动还有：
B
n γ

A
(udx vdy wdz) B A
v

三维流中环量与涡的关系
说明速度势函数差的意义是沿线段的速度线积分。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
一条强度为Γ 的涡线的一段 dS 对线外的一点P会产生一 个诱导速度，情况正像电流会产生磁力的一样。表达涡
段所产生的诱导速度的公式是：
ds dV sin 2 4r
涡与诱导速度
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
或：
dS r dV 4 r 3
这个 dV 是一个垂直于线段 dS 与受扰点P所组成的平面 的速度（如图），其值正比于涡强 Γ和涡段长度dS，但 反比于距离 r 的平方，另外还要乘上 r 与 ds 的夹角的 θ 的正弦。这个公式在形式上和电磁学的电磁感应的比
向量形式
1 DV 2 f p V Dt
2.4.1 欧拉运动方程
理想流欧拉方程还可以有另一种表达形式。把加速度的 迁移部分改写一下，把迁移加速度部分改写一下：
v y vx vx vx v vx vy vz vy vz z x y z x x v y vx vx v y w vx vz v v v v v y z y z x x x x z x y x V 2 2v y z vz y x 2
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
如果围线内没有涡通量，那末沿围线的环量必是零。
如果把围线放大一些，尽管面积放大了，但只要包进去的
面积里没有涡通量，那么环量值并不会改变。
推广到三维空间中的封闭曲线L上，计算的速度环量 仍等于二倍角速度乘围线所包的面积，但这面积应取其在 与涡线相垂直的平面上的投影值。沿一ຫໍສະໝຸດ Baidu有限大的曲面 S

2
2.5 环量与涡
2.5.1 环量与涡的概念 研究流动的问题，还有两个极重要的概念:环量和涡。 环量的定义：在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭 曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。速度环量的符
号不仅决定于流场的速度方向，而且与封闭曲线的绕行方
向有关，规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所 包围的区域总在行进方向的左侧。
2.5.1 环量与涡的概念
V ds V cosds
L L
如果把一个速度向量分成三个坐标
轴方向的三个分量vx ,vy,vz ,把线段ds
也分解成dx, dy, dz 三个方向：
V ds vx dx v y dy vz dz
于是环量表达式为：
(a) 沿曲线AB作速度的线积分 (b) 沿闭曲线速度的线积分
(
S
w v u w v u )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
其实这就是是斯托克斯公式，描述曲线积分与曲面积分之间 的关系。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
表明：沿空间封闭曲线 L 的环量，等于穿过张在L上任意
曲面 S上的涡通量，涡通量的数值与所张的曲面形状无关，
v y
v y
v y
得如下形式的理想流欧拉方程称为“格罗米柯－兰 姆方程”：
2.4.1 欧拉运动方程
vx V 2 1 ( ) 2(v y z vz y ) t x 2 1 v y V 2 ( ) 2(vz x vx z ) t y 2 v V 2 1 z ( ) 2(vx y v y x ) t z 2 p fx x p fy y p fz z
2.4.1 欧拉运动方程
1 DV f p 欧拉方程的向量形式为： Dt
欧拉方程规定了理想流的压强变化与速度变化和彻体力
之间的关系。如果在欧拉运动方程中考虑粘性项
vx vx vx vx 1 p vx vy vz fx 2 v x t x y z x v y v y v y v y 1 p vx vy vz fy 2 v y t x y z y vz vz vz vz 1 p vx vy vz fz 2 v z t x y z z
的围线 L的环量仍等于 S 面上各点的二倍角速度与面积 dS
点积：
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
V ds 2 dS rot V dS
L S S
展开即：
(udx vdy wdz)
L
w v u w v u ( ) cos(n, x) ( ) cos(n, y ) ( ) cos(n, z )dS y z z x x y s
牛顿定律：x方向合外力等于质量乘以x方向加速度，得
Dv x p dxdydz f x dxdydz ( dxdydz ) x Dt
2.4.1 欧拉运动方程
两边同除以微元体积 dxdydz，令其趋于零，并代入加速度 的表达，得
vx vx vx 1 p vx fx vx vy vz x t x y z
直匀流对机翼的绕流
2.4 欧拉运动方程
解: 流动无旋，伯努利常数全流场通用。由远前方条件得：
1.225 p0 101200 (100 ) 2 107325 牛 / 米 2 2
于是：
p A p0 pB p0 pC p0

2 2
VA2 107325 牛 / 米2 VB2 107325 0.6125 22500 93825 牛 / 米2 VC2 107325 1531 105794 牛 / 米2
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
绕整个封闭曲线的速度环量为（上图中微元矩形块的重合 部分做线积分时因正负号相反而相消）
v u V ds (udx vdy) ( )dS 2z dS L x y L s s
上式即为二维问题中的格林公式。 表明：沿平面上一封闭围线 L做速度的线积分，所得的环量 等于曲线所围面积上每个微团角速度的2倍乘以微团面积之 和，即等于通过面积S的涡通量。
同理可以写出 y 和 z方向的表达：
v y v y v y 1 p v y fy vx vy vz y t x y z
fz 1 p vz v v v vx z v y z vz z z t x y z
这就是笛卡尔坐标系下理想流体的欧拉方程。


dx
x

dy
y

dz
涡线
z
涡面
给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线） 的所有涡线构成的曲面称为涡面。 由封闭涡面组成的管状涡面称为涡管。
涡管
§ 2.5.1 环量与涡的概念
涡线是截面积趋于零的涡管。涡线和涡管的强度都定义为 绕涡线或涡管的一条封闭围线的环量。 涡量在一个截面上的面积分称为涡通量，在平面问题中， 涡通量就是： n
z
中心点处沿三个方向的单位质量彻体力： fx , fy , fz
2.4.1 欧拉运动方程
x方向的表面力为：
p dx p dx p p dydz p dydz dxdydz x 2 x 2 x
x 方向的彻体力为：
f x dxdydz
dy dz x
2.4.1 欧拉运动方程
六面体体积：dτ=dxdydz
y dy dz
p dx x 2
中心点坐标： x ,y ,z
中心点速度： vx ,vy ,vz 中心点加速度： Dtx , 中心点压强：p 中心点密度：ρ
Dv
p dx p x 2
Dvy Dt
,
Dv z Dt
· P
dx
p
x
(vx dx vy dy vz dz)
L
2.5.1 环量与涡的概念
如果流动是无旋的， 存在速度势函数Φ， 那末上式中的 vx ,vy,vz都可以用Φ的偏导数表达：
vx x vy y vz z
(V ds ) ( dx dy dz) d 0 x y z L L L
z
γ
dS
2
S
z
dS
dS
S
平面问题的涡通量
空间问题的涡通量
在三维空间问题中，涡通量就是：
2 dS 2 cos dS
S S
式中的S 是任意形状空间曲面，γ是曲面上微面积 dS 的法 线和ω的轴线之间的夹角。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
在有旋流动中，速度环量与涡量存在着十分密切的联系。 为说明这个联系，首先考察二维流场。