牛顿—欧拉方程

(这里需要特别说明的是因为刚体质量分布不均匀的原因，角 动量的方向往往不与刚体角速度方向一致，这也是无力矩进动的 原因，即很多时候刚体角速度不守恒但刚体的角动量守恒了，宏 观来看就是因为要保证角动量和动量守恒所以才要产生内力作用 使角速度变化达到守恒的效果。) 由牛顿第三定律易知内力矩产生的角动量变化相抵，故有刚体的 角动量定理：
⃗ (I ⃗ ) ⃗= = 引入刚体坐标系的向量：
((RI )( ⃗ ) ⃗= 旋转运动时：旋转矩阵 ，刚体角速度 ⃗ 都为变量，只有I 为不变 量。 故上式为： ( ) ⃗ = ̇ ( ) I ⃗ + R(t) I ⃗̇ ( ) ⃗ = ( ) ⃗ × ( I ⃗ ) + R(t) I ⃗̇ 两边乘上 为： ⃗ = ⃗ × ( I ⃗ ) + I ⃗̇ ⃗̇ = [ ⃗ − ⃗ × ( I ⃗ )]
该式中所有量都为刚体坐标系 的量，展开即为欧拉方程， , , 都为 0 时即为前面所给出的欧拉方程，称为局部坐标系的欧拉方程。
⃗ ⃗= 其中： ⃗ 为外力矩 ⃗ = ⃗ = (⃗ × ⃗ ) = ⃗ × ⃗ × ⃗ 把上式展开有： ⃗ =I ⃗ 其中：I 称为惯性矩阵
I≝
≝+
≝+
≝+
= ≝−
= ≝−
= ≝−
刚体旋转时，I 是变化的，但刚体在刚体坐标系下 的惯性矩阵I 不 会变，且容易分析得到：
I = RI R 其中：R为刚体坐标系下 到大地坐标系 的旋转矩阵。 3. 欧拉方程的证明 在先证欧拉方程前，先给出几个刚体坐标系 下的向量： 外力矩： ⃗ ；惯性矩阵：I ；角速度： ⃗
牛顿-欧拉方程
欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运
动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世
纪后，于 1750 年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律： ⃗̇ = [ ⃗ − ⃗ × ( I ⃗ )]
该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时
故有：
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(⃗ × ⃗)
( ⃗)
= ⃗×
(⃗ × ⃗) ⃗× ⃗ =
定义角动量 ⃗ = ⃗ × ⃗，可以看出 ⃗ × ⃗为外力矩 ⃗ 故有单质点的角动量定理：
⃗ ⃗=
2. 刚体的角动量定理 定义刚体的角动量为：
⃗= ⃗
其中： ⃗ 下标 G 表示该向量为大地坐标系 下的， ⃗ 的下标 i 表示该向量为大地坐标 下各个质量元的向量。刚体旋转运动参 考的惯性系是大地坐标系 ，不能把采用刚体的本身坐标系 作 为参考系，本身坐标系 的提出只是方便我们某些量的分析与表 述，如角速度 ⃗ 、惯性张量 I 。
( )= ( ) ⃗ = ⃗ × ( I ⃗ ) + I ⃗̇ 这里对牛顿的平移运动方程不赘述，只对欧拉方程进行讨论。
1. 单质点角动量定理
质点旋转时，有动量定理：
( ⃗) ⃗=
对两边叉乘质点位置矢量 ⃗：
( ⃗) ⃗× ⃗ = ⃗×
观察：
(⃗ × ⃗)
( ⃗) ⃗
= ⃗×
+ ×⃗
因为：
⃗ × ⃗= ⃗× ⃗=0
刚体所受外力矩 与角加速度 的关系式，大多时候可简写成:
=+−
/
= +( − ) /
=+−
/
其中， , , 分别为刚体坐标系 下三个轴的所受的外力矩，
, , 分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下 )。
欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧
拉方程(Newton-Euler equations)：