欧拉方程
流体力学中三个主要力学模型
流体力学中三个主要力学模型流体力学是研究流体运动的一门学科，涉及到物理学、数学、工程学等多个领域。
在流体力学中，有三个主要的力学模型，分别是欧拉方程、纳维-斯托克斯方程和边界层方程。
这三个模型在不同的情况下有不同的应用，下面将分别介绍它们的基本原理和应用。
一、欧拉方程欧拉方程是描述流体运动的最基本的方程之一，它是由欧拉在1755年提出的。
欧拉方程是基于质点运动的牛顿第二定律得出的，它描述了流体在不受外力作用时的运动状态。
欧拉方程的基本形式如下：ρ/t + ·(ρu) = 0ρ(dv/dt) = -p其中，ρ是流体的密度，t是时间，u是流体的速度，p是压力，v是速度的随时间的变化率，是向量微分算子。
欧拉方程的应用范围很广，可以用来描述各种不可压缩流体的运动，例如水、油、气体等。
欧拉方程可以用来研究流体的基本运动规律，如速度分布、压力分布等。
欧拉方程还可以用来研究流体的力学性质，如流体的动量、能量守恒等。
二、纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的另一个重要方程，它是由纳维和斯托克斯在19世纪提出的。
纳维-斯托克斯方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在受外力作用时的运动状态。
纳维-斯托克斯方程的基本形式如下：ρ(dv/dt) = -p + μ^2v + f·v = 0其中，μ是流体的动力粘度，f是体积力，如重力、电磁力等。
纳维-斯托克斯方程适用于各种流体的运动，包括不可压缩流体和可压缩流体。
它可以用来研究流体的运动规律、流体的力学性质和流体的稳定性等问题。
纳维-斯托克斯方程还可以用来模拟流体在各种工程应用中的运动，如飞机、汽车、船舶等。
三、边界层方程边界层方程是描述流体在边界层内的运动的方程，它是由普拉特在1904年提出的。
边界层是指流体与固体表面接触的区域，它的厚度很小，但是流体的速度和压力在这个区域内发生了显著的变化。
边界层方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在边界层内的运动状态。
流体力学欧拉方程公式
流体力学欧拉方程公式流体力学中的欧拉方程公式可是个相当重要的家伙！它就像是流体世界的密码，能帮我们解开很多关于流体运动的谜团。
欧拉方程公式描述了无黏性流体的运动规律。
咱们先来说说它的表达式：$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \vec{g}$ 。
这里面的每一项都有它独特的含义。
$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}$ 这一项表示的是流体速度随时间的变化率，就好比你在操场上跑步，速度一会儿快一会儿慢，这个变化率就是在描述这种快慢的改变。
$(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}$ 这部分稍微有点复杂，它描述的是流体速度的空间变化对速度本身的影响。
想象一下河里的水，水流在不同位置速度不一样，这种速度的差异会影响整体的流动。
$-\frac{1}{\rho} \nabla p$ 这里的 $p$ 是压强，这一项表示压强梯度对流体运动的作用。
比如说，高压区的流体就会往低压区跑。
$\vec{g}$ 就是重力啦，很容易理解，在地球上，流体都会受到重力的影响。
给您讲讲我之前的一次经历，那回我去参观一个大型的水坝。
站在水坝边上，看着那汹涌奔腾的水流，我就在想，这背后不就是欧拉方程在起作用嘛！水从高处冲下来，速度越来越快，这就是重力在发挥作用。
而且不同位置的水速不同，也是因为水流所受的压力不同。
在实际应用中，欧拉方程公式可是大有用处。
比如说在航空领域，设计飞机的外形时，就得考虑空气这个流体的流动情况，通过欧拉方程来计算和优化，让飞机飞得更稳更快。
在水利工程中，像修建渠道、水闸，也得靠它来预测水流的情况，保证工程的安全和效率。
在研究气象的时候，欧拉方程也能帮上大忙。
预测风的走向、风速的变化，都离不开对流体力学的深入理解和运用欧拉方程公式进行的精确计算。
欧拉方程eix
欧拉方程eix
欧拉公式是数学中的一个重要公式，它将三角函数和指数函数联系起来。
欧拉公式的一般形式为：
e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
其中，e是自然常数，i是虚数单位，x是实数。
这个公式可以通过泰勒级数展开证明。
欧拉公式实际上是在复平面上的一个几何解释。
假设将复数z = x + yi 表示为平面上的一个点，其中x和y分别是实部和虚部，则对于任意实数x，点e^(ix)的实部是cos(x)，虚部是sin(x)。
这意味着欧拉公式将指数函数e^(ix)与以原点为中心、半径为1的单位圆上的点(cos(x), sin(x))联系起来。
欧拉公式在数学中有很多应用，例如在微积分、复变函数、傅里叶分析等领域中。
在计算机科学中，欧拉公式也有很多应用，例如在计算机图形学中用于旋转和缩放图形，以及在信号处理中用于分析和合成信号。
欧拉方程
Байду номын сангаас 其它
应用
泛函形式
推导过程
欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问 题转化为微分问题。
（1）最简单的欧拉方程是： 设函数F(x,y,y')是三个变量的连续函数，且点(x,y)位于有界闭区域B内，则对形如的变分，若其满足以下 条件： c)在有界闭区域B内存在某条特定曲线y(x)，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。 则函数y、(x)满足微分方程： 上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。 （2）含有自变函数高阶导数的泛函的欧拉方程 一般来说，对于下述泛函： 在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为： （3）含有多个自变函数的泛函的欧拉方程
在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简 化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。
在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别 代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维－斯托克斯方程。
欧拉在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程： a x ²D ²y + b x D y + c y = f ( x ) 其 中 a 、 b 、 c 是 常 数 ， 这 是 一 个 二 阶 变 系 数 线 性 微 分 方 程 。 它 的 系 数 具 有 一 定 的 规 律 ： 二 阶 导 数 D ²y 的 系 数 是 二 次 函 数 a x ²， 一 阶 导 数 D y 的 系 数 是 一 次 函 数 b x ， y 的 系 数 是 常 数 。 这 样 的 方 程 称 为 欧 拉 方 程 。 例 如 ： ( x ²D ²- x D + 1 ) y = 0 , ( x ²D ²- 2 x D + 2 ) y = 2 x ³- x 等 都 是 欧 拉 方 程 。 化 学 中 足 球 烯 即 C - 6 0 和 此 方 程 有 关 。
eular方程
eular方程欧拉方程是数学中的一种常见方程，也被称为常微分方程。
欧拉方程是一种特殊的二阶线性非齐次微分方程，它是由欧拉提出的，严格的说，这个方程叫做Cauchy-Euler方程。
欧拉方程是一个十分经典的方程，它用于描述物理学中很多自然现象。
如弹簧振动、电路分析、声学等等领域中的问题都可以归纳为欧拉方程的求解。
下面我们将根据欧拉方程的定义和求解方法，来一步步解析欧拉方程。
欧拉方程的标准格式为：$ax^2y''+bxy'+cy=f(x)$。
首先，我们需要知道的是欧拉方程中的各个参数含义是什么，分别是：$a，b，c$和$f(x)$。
其中，$a，b，c$都是常数，$f(x)$是欧拉方程的非齐次项。
接下来，我们来解释一下欧拉方程的求解方法。
Step 1：将欧拉方程的非齐次项$f(x)$化为初等函数。
这是欧拉方程求解的第一步。
由于欧拉方程中的非齐次项是一个函数，所以我们可以将它化为初等函数。
比较常见的情况有三类：常数项，正弦项和余弦项。
Step 2：求出欧拉方程的通解。
欧拉方程的通解有两个部分组成：一个是通解的齐次解，另一个是欧拉方程的非齐次解。
齐次解的求解过程比较简单，我们可以先假设欧拉方程的解是$y=x^r$，然后将这个解代入到欧拉方程中进行求解，得到的解为$r_1$和$r_2$。
我们可以对欧拉方程的非齐次解使用特殊方法，一般采用变易法。
变易法求解欧拉方程的非齐次解的具体步骤如下：Step 3：变易法求非齐次解的特解。
我们可以先设欧拉方程的非齐次解是一个特殊的函数，比如说$y_p=u(x)x^p$。
其中，$u(x)$是一个待求的函数。
Step 4：将$y_p=u(x)x^p$代入到欧拉方程中，求出$u(x)$和$p$的值。
Step 5：将欧拉方程的通解的齐次解和非齐次解合并，得到欧拉方程的最终解。
综上所述，欧拉方程是一种二阶线性非齐次微分方程，其标准格式为$ax^2y''+bxy'+cy=f(x)$。
第九节 欧拉方程
特征根为
例例11 求求方方程程
解 作变换 x = et ，则原方程化为
第九节* 欧拉方程
即 例例22 求求方方程程
的的通通解解. .
的的通通解解. .
亦即解 将方程化为
令 x = et ，则方程化为 特征方程为 r2 – 3r + 2 = 0 , 特征根为 r1 = 1 , r2 = 2,
则 即对应的齐次方程的通解为第九节源自 欧拉方程一、定义 二、解法
第九节* 欧拉方程
一、定义
定义 形如
x n y (n) p1x n1 y (n1) pn1xy pn y f ( x) 的方程(其中 p1 , p2 , … , pn 为常数)称为欧拉方程.
第九节* 欧拉方程 x n y (n) p1x n1 y (n1) pn1xy pn y f ( x)
二、解法
作变换 x = et , 则
类似地可得
第九节* 欧拉方程 如果采用记号 D 表示对 t 求导的运算 计算结果可以写成
那么上述
一般地，有
第九节* 欧拉方程
把它代入欧拉方程，便得一个以 t 为自变量的常系数线 性微分方程. 在求出解后，把 t 换成 ln x 即可得到原方 程的解.
第第九九节节** 欧欧拉拉方方程程
第七章欧拉方程
I1x ( I 2 I 3 ) y z M x I 2 y ( I 3 I1 )z x M y I ( I I ) M 3 z 1 2 y x z
欧拉动力学方程
I1x I 2 I3 yz M x I3z I1 I 2 xy M z
I 2y I3 I1 zx M y
机械能守恒
1 2 2 2 I1 x I 2 y I 3 z V E 2
(四) 由拉格朗日方程推导欧拉方程
M
R
P
r
O
2.加速度
dv d a r r dt dt
转动加 速度 向轴加 速度
d a r r 2 r dt d a aA r r 2 r dt
例 7-1 B当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水 平圆形轨道C转弯时，求当螺旋桨尖端B与中心A的联 线和沿垂线成θ角时，点的速度及加速度。已知螺旋桨 的长度AB ＝l，螺旋桨自身旋转的角速度为ω1。 解：这个是一般运动问题
当取惯量主轴为本体坐标系的坐标轴时,全部惯量 积便均为0,于是可以使问题的求解大为简化.
(三).欧拉方程
基本方程
dJ M dt
将坐标系固联于刚体，则
J J xi J y j J z k
但
dJ J xi J y j J z k J dt
为什么？
取惯量主轴为坐标轴，有
这就是由拉格朗日方程推导出的刚体定点运动时的欧拉动力 学方程。
欧拉方程微分方程详解
欧拉方程微分方程详解欧拉方程（Euler's equation）是一类具有特殊形式的二阶常系数线性微分方程。
它的一般形式为：ax^2 y'' + bxy' + cy = 0其中，a、b、c都是常数，且a不等于0。
欧拉方程是一种特殊的微分方程，它的解具有一定的特殊性。
下面我们将对欧拉方程的求解方法进行详细介绍。
首先，我们考虑求解形如x^m的解。
将x^m代入欧拉方程中，得到：a(m)(m-1)x^m + bm*x^m + cx^m = 0化简后得到：am(m-1)x^m + bmx^m + cx^m = 0整理得：am(m-1) + bm + c = 0这是一个关于m的二次方程，可以用求根公式来求解m的值。
当求解得到m的值时，我们就得到了一个形如x^m的解。
接下来，我们考虑求解形如x^m * ln(x)的解。
将x^m * ln(x)代入欧拉方程中，得到：a(m)(m-1)x^m * ln(x) + bmx^m * ln(x) + cx^m * ln(x) = 0将x^m分离出来，得到：x^m * [a(m)(m-1)ln(x) + bm ln(x) + c] = 0由于x不等于0，所以要使上式成立，必须有：a(m)(m-1)ln(x) + bm ln(x) + c = 0这是一个关于m的一次方程，可以用求解一次方程的方法来求解m的值。
当求解得到m的值时，我们就得到了一个形如x^m * ln(x)的解。
最后，我们考虑求解形如x^m * ln^2(x)的解。
将x^m * ln^2(x)代入欧拉方程中，得到：a(m)(m-1)x^m * ln^2(x) + bmx^m * ln^2(x) + cx^m * ln^2(x) = 0将x^m分离出来，得到：x^m * [a(m)(m-1)ln^2(x) + bm ln^2(x) + c] = 0由于x不等于0，所以要使上式成立，必须有：a(m)(m-1)ln^2(x) + bm ln^2(x) + c = 0这是一个关于m的二次方程，可以用求解二次方程的方法来求解m的值。
第十二章 欧拉方程【高等数学+同济大学】
特征方程的根为 r1 0, r2 1, r3 3.
所以齐次方程的通解为
Y
C1
C2etC3e3t
C1
C2 x
C3x3.
设特解为 y be2t bx2 ,
代入原方程，得 b 1 . 2
即 y x2 , 2
所给欧拉方程的通解为
y
C1
C2 x
用 D 表示对自变量 t 求导的运算 d ,
dt 上述结果可以写为
xy Dy,
x2 y d 2 y dy (D2 D) y D(D 1) y, dt 2 dt
x3 y d 3 y 3 d 2 y 2 dy dt 3 dt 2 dt
(D3 3D2 2D) y D(D 1)(D 2) y,
欧拉方程
一、欧拉方程
形如
xn y(n)
p x y n1 (n1) 1
pn1 xy
pn y
f (x)
的方程(其中 p1 , p2 pn为常数) 叫欧拉方程.
特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同．
解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变 量代换可化为常系数微分方程.
一般地， xk y(k) D(D 1)(D k 1) y.
将上式代入欧拉方程，则化为以 t 为自变量
的常系数 线性微分方程. 求出这个方程的解后
把 t 换为 ln x ，即得到原方，程的解.
例 求欧拉方程
x3 y x2 y 4xy 3x2 的通解．
解 作变量变换 x et 或 t ln x,
刚体转动欧拉方程
刚体转动欧拉方程刚体的转动运动可以由欧拉方程来描述。
欧拉方程描述了刚体绕固定点的转动运动，其中包括刚体的转动惯量、角速度和力矩等因素。
欧拉方程的表示形式可以根据不同的坐标系和转动类型而有所不同，下面我将分别介绍三种常见的欧拉方程。
惯性主轴系的欧拉方程：在惯性主轴系中，刚体的转动惯量对角度的影响被消除，欧拉方程可以表示为：[I_1 \dot{\omega}_1 -(I_2 -I_3) \omega_2 \omega_3 = M_1] [I_2 \dot{\omega}_2 -(I_3 -I_1) \omega_3 \omega_1 = M_2] [I_3 \dot{\omega}_3 -(I_1 -I_2) \omega_1 \omega_2 = M_3] 其中，(I_1, I_2, I_3) 分别为刚体绕三个坐标轴的转动惯量，(\omega_1, \omega_2, \omega_3) 分别为刚体绕三个坐标轴的角速度，(M_1, M_2, M_3) 分别为绕三个坐标轴的力矩，(\dot{\omega}_1, \dot{\omega}_2, \dot{\omega}_3) 分别为角速度的时间导数。
本体固定坐标系的欧拉方程：在本体固定坐标系中，欧拉方程可以表示为：[I_1 \dot{\omega}_1 + (I_3 -I_2) \omega_2 \omega_3 = M_1] [I_2 \dot{\omega}_2 + (I_1 -I_3) \omega_3 \omega_1 = M_2] [I_3 \dot{\omega}_3 + (I_2 - I_1) \omega_1 \omega_2 = M_3]空间固定坐标系的欧拉方程：在空间固定坐标系中，欧拉方程可以表示为：[I_1 \dot{\omega}_1 -(I_2 -I_3) \omega_2 \omega_3 = M_1] [I_2 \dot{\omega}_2 -(I_3 -I_1) \omega_3 \omega_1 = M_2] [I_3 \dot{\omega}_3 - (I_1 - I_2) \omega_1 \omega_2 = M_3]这些欧拉方程描述了刚体转动运动中角速度、转动惯量和力矩之间的关系，对于研究刚体的转动运动具有重要的理论意义。
三维空间欧拉方程
三维空间欧拉方程
三维空间中的欧拉方程是指质点在三维空间中作自由刚体运动时的运动方程。
欧拉方程描述了质点受到的力矩和角速度之间的关系。
欧拉方程可以表示为：
I * α + ω × (I * ω) = M
其中，I是质点的转动惯量矩阵，α是质点的角加速度，ω是质点的角速度，M是质点所受到的外力矩。
这个方程可以理解为，外力矩M等于质点的惯性矩阵I与角加速度α的乘积，加上角速度ω叉乘（向量叉乘）惯性矩阵I 与角速度ω的乘积。
这个方程的物理意义是，外力矩M等于质点的转动惯量矩阵I 与质点的角加速度α和角速度ω的线性叠加。
通过求解这个方程，可以得到质点在三维空间中的运动状态。
欧拉方程在刚体力学和动力学中具有重要的应用。
通过欧拉方程，可以研究刚体在空间中的旋转运动和力矩的作用，对于理解和分析刚体的力学性质有着重要的意义。
欧拉方程-
欧拉方程欧拉方程是微积分学中经常被用到的一类常微分方程，它的形式是：y^(n) + a1y^(n-1) + ... + an-1y' + any = f(x)其中，y^(n)表示y对x的n次导数，a1,a2,...,an-1,an为常数，f(x)是已知的函数。
欧拉方程的命名来源于瑞士数学家欧拉，他在1732年的一篇论文中首次研究了这种类型的方程。
欧拉方程的求解方法通常分为两种，一种是通过设定形式解的方式求解，另一种是通过变量替换的方式将欧拉方程转化为常系数线性微分方程来求解。
下面分别介绍这两种求解方法。
一、设定形式解的方式求解欧拉方程通过设定形式解的方式，可以求出欧拉方程的通解，常见的形式解如下：1. 当方程系数满足a1=a2=...=an-1=0时，特解可设为y = C1x^n +C2x^n∙lnx + ... + Cnxln^(n-1)x。
2. 当方程系数满足an≠0时，特解可设为y = x^λ(C1cos(ωlnx) +C2sin(ωlnx))。
二、通过变量替换的方式求解欧拉方程通过对欧拉方程的变量替换，可以将欧拉方程转化为常系数线性微分方程，从而用已知的求解方式进行求解。
通常采用的变量替换方式是x=et，即令t=lnx，y(x)=u(t)∙etλ，然后将y'、y''、...、y^(n)用u(t)、u'(t)、...、u^(n)(t)进行表示，将欧拉方程中的y用u(t)∙etλ来替代，最终得到形如下式的常系数线性微分方程：u^(n) + (a1-λ)a1u^(n-1) + ... + (an-1-λan-1)u' + (an-λan)u = e^(-λt)f(et)其中，f(et)=f(x)是原方程右侧的函数经过变量替换后得到的函数。
最后，在求解出常系数线性微分方程的解后，通过将u(t)∙etλ代入y(x)=u(t)∙etλ中，再将x=et代回到原方程中，就可以得到欧拉方程的通解。
欧拉方程公式微分方程
欧拉方程公式微分方程欧拉方程是一类特殊的常系数线性微分方程，在数学和物理学等领域都有着广泛的应用。
咱先来说说欧拉方程到底是啥。
它的一般形式是 $x^n y^{(n)} +a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 x y' + a_0 y = f(x)$ ，这里面的$y^{(n)}$ 表示 $y$ 的 $n$ 阶导数。
比如说，有这么一道题：给定欧拉方程 $x^2 y'' - 3x y' + 3y = 0$ ，让咱求解。
这时候，咱们就得用一些巧妙的办法来处理它。
先做个变量替换，令 $x = e^t$ ，这样一来，就有 $y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \frac{dy}{dt}$ ，同理，$y'' = \frac{1}{x^2} (\frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt})$ 。
把这些代进原方程里，就变成了常系数线性微分方程啦。
我记得有一次给学生讲这个知识点，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这换来换去的，到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，就像咱们走路，有时候走大路走不通，就得找条小路绕一下，说不定就能到达目的地啦。
这变量替换就是咱们找的小路。
”处理完变量替换，接下来就是按照常系数线性微分方程的解法来一步步操作。
求出特征方程，解出特征根，然后根据特征根的情况写出通解。
学习欧拉方程可不是一件轻松的事儿，需要咱们有耐心，多做几道题练练手。
就像咱们学骑自行车，一开始可能摇摇晃晃的，但多骑几次，掌握了平衡的技巧，就能骑得又稳又快。
而且啊，欧拉方程在实际生活中也有不少用处呢。
比如说在研究电路中的电流变化，或者是弹性力学中的一些问题时，都可能会碰到它。
总之，欧拉方程虽然有点复杂，但只要咱们认真学，多思考，多练习，就一定能把它拿下！希望大家在学习欧拉方程的过程中，都能找到属于自己的解题“小路”，顺顺利利地解决问题，不断进步！。
欧拉方程公式
欧拉方程公式：从原理到应用欧拉方程公式，也称为欧拉等式，是数学中一条重要的公式，它涉及到自然对数、虚数单位和三角函数。
本文将从原理、推导到应用层面介绍欧拉方程公式。
一、原理欧拉方程公式的原理基于欧拉公式 e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)，其中e代表自然对数的底数，i代表虚数单位，x为任意实数。
我们可以通过欧拉公式将三角函数和指数函数联系在一起，进而推导出欧拉方程公式。
二、推导通过欧拉公式，我们可以得到e^(-ix)=cos(x)-i*sin(x)，将e^(ix)+e^(-ix)带入等式中，得到：e^(ix)+e^(-ix)=cos(x)+i*sin(x)+cos(x)-i*sin(x)=2*cos(x)将e^(ix)-e^(-ix)带入等式中，得到：e^(ix)-e^(-ix)=cos(x)+i*sin(x)-(cos(x)-i*sin(x))=2i*sin(x)根据上两式得到欧拉方程公式：e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)三、应用欧拉方程公式在数学中有着广泛的应用，尤其在复数的运算中。
例如，可以将复数表示为 a+bi 的形式，根据欧拉方程公式，可以将其转换为 a*cos(x)+b*sin(x)+i*(b*cos(x)-a*sin(x)) 的形式，进而进行各种复数运算。
此外，欧拉方程公式还可以用于求解很多与三角函数有关的问题。
例如，可以用欧拉方程公式证明三角函数的和差角公式、倍角公式等等。
总结：欧拉方程公式在数学中有着广泛的应用，不仅在复数的运算中，还可以用于求解各种三角函数相关的问题。
其原理和推导过程清晰明了，可以为我们后续的学习提供指导。
第十二章欧拉方程
第十二章欧拉方程欧拉方程（Euler equations）是数学和物理学中的一组重要方程，用于描述一个体系在力的作用下可能发生的运动。
这些方程得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler），他在18世纪首次提出了这些方程。
欧拉方程的现代形式如下：1.角动量定理（Angular Momentum Conservation）：在牛顿物理学中，一个物体或者一个封闭系统的角动量（Angular Momentum）总是沿着其方向直线保持不变，除非外部力量作用于其上。
这可以用以下公式表示：L×p=F。
其中 L 是角动量， p 是物体的动量， F 是外部作用力。
2.能量守恒定律（Conservation of Energy）：一个封闭的物理系统，其总能量（包括动能和势能）在时间中保持不变，除非有外部能量输入或输出。
这可以用以下公式表示：dE=dQ+dW。
其中 E 是系统的总能量， Q 是系统从外部吸收的热量， W 是系统对外做的功。
3.动量守恒定律（Conservation of Momentum）：在没有外力作用的情况下，一个封闭系统的总动量保持不变。
这可以用以下公式表示：∑p=0。
其中 p 是每个粒子的动量，∑ 是对所有粒子的求和。
4.熵增加原理（Principle of Increased Entropy）：在封闭的孤立系统中，其熵（表示系统的无序程度）只能增加不会减少。
这可以用以下公式表示：dS≥0。
其中 S 是系统的熵。
这些欧拉方程都是自然界的宏观规律，它们在许多科学领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、生物学、地球科学、工程学等等。
这些规律都是由大量的实验观测总结而来，它们为我们理解和预测自然界提供了强有力的工具。
例如，在物理学中，欧拉方程可以用来描述一个理想流体在运动时的行为。
在这种情况下，流体粒子没有明确的形状或大小，而且不包含摩擦力或粘性。
在这种情况下，角动量定理导致了流体流动时的旋转中心始终保持不变。
欧拉(Euler)方程
解
作变量变换 x e t 或 t ln x,
2 2 x y x y 4 xy 3 x 3
原方程化为
D( D 1)( D 2) y D( D 1) y 4 Dy 3e 2 t ,
即 或
D3 y 2 D2 y 3 Dy 3e 2 t ,
d 用 D 表示对自变量 t 求导的运算 , dt 上述结果可以写为
xy Dy,
2 d y dy 2 2 x y 2 ( D D ) y D( D 1) y , dt dt
3 2 d y d y dy 3 x y 3 3 2 2 dt dt dt ( D 3 3 D 2 2 D ) y D( D 1)( D 2) y ,
特征方程的根为
r1 0, r2 1, r3 3.
所以齐次方程的通解为
C2 Y C1 C2e C3e C1 C3 x 3 . x
t 3t
设特解为 y be 2 t bx2
1 代入原方程，得 b . 2
2 x 即 y , 2
C2 1 2 3 所给欧拉方程的通解为 y C1 C 3 x x . x 2
一般地， x k y ( k ) D( D 1)( D k 1) y.
将上式代入欧拉方程， 则化为以 t 为自变量
的常系数线性微分方程. 求出这个方程的解后， 把 t 换为 ln x ， 即得到原方程的解.
例 求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 3 x 2 的通解．
Hale Waihona Puke d3y d2y dy 2t 2 3 3 e . 3 2 dt dt dt
高等数学第12章第10节欧拉方程
于是欧拉方程
x n y ( n) p1 x n 1 y ( n 1) pn 1 x y pn y f ( x)
转化为常系数线性方程:
D n y b1D n 1 y bn y f (et )
即 dn y d n 1 y t b1 n 1 bn y f (e ) n dt dt
机动
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思考: 如何解下述微分方程
提示: 原方程
直接令
d 记D dt [ D( D 1) p1D p2 ] y f (e t a)
d 记D dt
作业
P319 2 ; 6; 8
第11节 目录 上页 下页 返回 结束
第十节 欧拉方程
欧拉方程
x y
n ( n)
第十二章
p1 x
n 1 ( n 1)
y
pn 1 x y pn y f ( x)
( pk 为常数 )
令 x et , 即 t ln x
常系数线性微分方程
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欧拉方程的算子解法:
x n y ( n) p1 x n 1 y ( n 1) pn 1 x y pn y f ( x)
则方程化为
即 特征根:②来自设特解: y A t 2 et , 代入 ② 解得 A = 1, 所求通解为
机动
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例3.
解: 由题设得定解问题 ③
④
d 令 x e , 记 D , 则③化为 dt [ D( D 1) D 4] y 5e t
t
( D 2 4) y 5e t
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泛函的欧拉方程(by zhengpin1390)
(二)、泛函的欧拉方程
欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题。
（1）最简单的欧拉方程：
设函数F(x,y,y') 是三个变量的连续函数，且点(x,y)位于有界闭区域B
内，则对形如
的变分，若其满足以下条件：
c) 在有界闭区域B内存在某条特定曲线y。
(x) ，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。
则函数y。
(x) 满足微分方程：
上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。
（2）含有自变函数高阶倒数的泛函的欧拉方程
一般来说，对于下述泛函：
在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为：
（3）含有多个自变函数的泛函的欧拉方程
对于下述泛函：
其欧拉方程组为：
（4）多元函数的泛函及其欧拉方程
此处仅考虑二元函数的情况，对如下所示多元函数的泛函：
其欧拉方程为：
泛函分析
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和
代数条件的映射的分支学科。
它是20世纪30年代形成的。
从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。
泛函分析的产生
十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。
这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。
这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。
随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。
到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。
由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。
比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。
这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。
泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。
因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。
非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。
这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。
这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。
这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。
现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。
这里我们先介绍一下算子的概念。
算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。
在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。
泛函分析的特点和内容
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。
比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。
它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。
n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。
比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。
一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。
现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。
正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。
因袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。
古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。
泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。
他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。
半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。
它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。
今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。
泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。
近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。
它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。