第三章一维定常流的基本方程
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工程流体力学-粘性流体的一维定常流动
总结词
动量守恒方程是流体运动的基本方程之一，表示流体在运动过程中动量的增加或减少等于作用在流体 上的外力之和。
详细描述
动量守恒方程的数学表达式为ρdudt=−p+ρg+τx+F,其中p表示流体的压强，g表示重力加速度，τx表示 由于粘性作用在x方向上的应力，F表示作用在流体上的外力。
能量守恒方程
总结词
化提供了重要支持。
能源利用
能源领域如火力发电、 水力发电等涉及到大量 的流体流动问题。通过 一维定常流动理论，可 以深入理解流体在涡轮 机内的流动规律，提高
能源利用效率。
生物医学
在生物医学领域，血液 、淋巴液等生物流体也 存在着一维定常流动的 现象。研究这些流动有 助于深入了解人体生理 机制，为疾病诊断和治
边界层。
边界层的分离
当流体经过弯曲的壁面或突然扩大 的区域时，边界层可能会与壁面分 离。分离后的边界层会形成涡旋， 影响流体的流动特性。
边界层的厚度
边界层的厚度与流体的粘性、流速 和壁面的粗糙度有关。了解边界层 的厚度对于控制流体流动和减小阻 力具有重要意义。
射流流动的实例分析
射流的定义
射流是指流体从一定口径的喷嘴喷出后形成的流动。射流的特性与 喷嘴的口径、流体性质和出口压力有关。
一维定常流动的特性
01
流体参数不随时间变化而变化，只与空间位置有关。
02
流体参数沿流程方向不发生变化，只与流程位置有 关。
03
流体参数在垂直方向上均匀分布，不随高度变化而 变化。
05
粘性流体的一维定常流动 的实例分析
管道流动的实例分析
管道流动的特点
在管道中，流体受到壁面的限制，呈现出一定的流动规律。 由于粘性作用，流体的速度在靠近管壁处较小，而在中心 区域较大。
动量守恒方程是流体运动的基本方程之一，表示流体在运动过程中动量的增加或减少等于作用在流体 上的外力之和。
详细描述
动量守恒方程的数学表达式为ρdudt=−p+ρg+τx+F,其中p表示流体的压强，g表示重力加速度，τx表示 由于粘性作用在x方向上的应力，F表示作用在流体上的外力。
能量守恒方程
总结词
化提供了重要支持。
能源利用
能源领域如火力发电、 水力发电等涉及到大量 的流体流动问题。通过 一维定常流动理论，可 以深入理解流体在涡轮 机内的流动规律，提高
能源利用效率。
生物医学
在生物医学领域，血液 、淋巴液等生物流体也 存在着一维定常流动的 现象。研究这些流动有 助于深入了解人体生理 机制，为疾病诊断和治
边界层。
边界层的分离
当流体经过弯曲的壁面或突然扩大 的区域时，边界层可能会与壁面分 离。分离后的边界层会形成涡旋， 影响流体的流动特性。
边界层的厚度
边界层的厚度与流体的粘性、流速 和壁面的粗糙度有关。了解边界层 的厚度对于控制流体流动和减小阻 力具有重要意义。
射流流动的实例分析
射流的定义
射流是指流体从一定口径的喷嘴喷出后形成的流动。射流的特性与 喷嘴的口径、流体性质和出口压力有关。
一维定常流动的特性
01
流体参数不随时间变化而变化，只与空间位置有关。
02
流体参数沿流程方向不发生变化，只与流程位置有 关。
03
流体参数在垂直方向上均匀分布，不随高度变化而 变化。
05
粘性流体的一维定常流动 的实例分析
管道流动的实例分析
管道流动的特点
在管道中，流体受到壁面的限制，呈现出一定的流动规律。 由于粘性作用，流体的速度在靠近管壁处较小，而在中心 区域较大。
气体一维定常流动的基本方程
第七章
第一节 第二节 第三节
气体一维高速流动
微弱扰动波的传播 气体一维定常等熵流动 气体一维定常等熵变截面管流 正激波
第四节
前几章讨论的是不可压缩流体的流动，例如对于液体， 即使在较高的压强下密度的变化也很微小，所以在一般情况 下，可以把液体看成是不可压缩流体。对于气体来说，可压 缩的程度比液体要大得多。但是当气体流动的速度远小于在 该气体中声音传播的速度（即声速）时，密度的变化也很小。 例如空气的速度等于50m/s，这数值比常温20℃下空气中的 声速343m/s要小得多，这时空气密度的相对变化仅百分之一。 所以为简化问题起见，通常也可忽略密度的变化，将密度近 似地看作是常数，即在理论上把气体按不可压缩流体处理。 当气体流动的速度或物体在气体中运动的速度接近甚至超过 声速时，如果气体受到扰动，必然会引起很大的压强变化， 以致密度和温度也会发生显著的变化，气体的流动状态和流 动图形都会有根本性的变化，这时就必须考虑压缩性的影响。 气体动力学就是研究可压缩流体运动规律以及在工程实际中 应用的一门科学。本章中仅主要讨论气体动力学中一些最基 本的知识。
图7-1 微弱扰动波的一维传播
显然，这是不定常流动。为了得到定常流动，可以 设想观察者随波面mn一起以速度c向右运动。气体相对 于观察者定常地从右向左流动，经过波面速度由c降为 c-dv，而压强由p升高到p+dp，密度和温度由 、T 增 加到 d 、T dT 。如图7-1(b)所示，取包围压缩波的 控制面，根据连续性条件，在 d t 时间内流入和流出该 控制面的气体质量应该相等，即
2．亚声速流场(V<c)
在亚声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在3s 末的传播情况如图7-2(b)所示。由于扰动源本身以 速度运动，故微弱扰动波在各个方向上传播的绝对 速度不再是当地声速c，而是这两个速度的矢量 和。这样，球面扰动波在顺流和逆流方向上的传播 就不对称了。但是由于V<c，所以微弱扰动波仍能 逆流传播，相对气流传播的扰动波面是一串不同心 的球面波。如果不考虑微弱扰动波在传播过程中的 损失，随着时间的延续，扰动仍可以传遍整个流 场。也就是说，微弱扰动波在亚声速气流中的传播 也是无界的。
第一节 第二节 第三节
气体一维高速流动
微弱扰动波的传播 气体一维定常等熵流动 气体一维定常等熵变截面管流 正激波
第四节
前几章讨论的是不可压缩流体的流动，例如对于液体， 即使在较高的压强下密度的变化也很微小，所以在一般情况 下，可以把液体看成是不可压缩流体。对于气体来说，可压 缩的程度比液体要大得多。但是当气体流动的速度远小于在 该气体中声音传播的速度（即声速）时，密度的变化也很小。 例如空气的速度等于50m/s，这数值比常温20℃下空气中的 声速343m/s要小得多，这时空气密度的相对变化仅百分之一。 所以为简化问题起见，通常也可忽略密度的变化，将密度近 似地看作是常数，即在理论上把气体按不可压缩流体处理。 当气体流动的速度或物体在气体中运动的速度接近甚至超过 声速时，如果气体受到扰动，必然会引起很大的压强变化， 以致密度和温度也会发生显著的变化，气体的流动状态和流 动图形都会有根本性的变化，这时就必须考虑压缩性的影响。 气体动力学就是研究可压缩流体运动规律以及在工程实际中 应用的一门科学。本章中仅主要讨论气体动力学中一些最基 本的知识。
图7-1 微弱扰动波的一维传播
显然，这是不定常流动。为了得到定常流动，可以 设想观察者随波面mn一起以速度c向右运动。气体相对 于观察者定常地从右向左流动，经过波面速度由c降为 c-dv，而压强由p升高到p+dp，密度和温度由 、T 增 加到 d 、T dT 。如图7-1(b)所示，取包围压缩波的 控制面，根据连续性条件，在 d t 时间内流入和流出该 控制面的气体质量应该相等，即
2．亚声速流场(V<c)
在亚声速流场中，扰动源产生的微弱扰动波在3s 末的传播情况如图7-2(b)所示。由于扰动源本身以 速度运动，故微弱扰动波在各个方向上传播的绝对 速度不再是当地声速c，而是这两个速度的矢量 和。这样，球面扰动波在顺流和逆流方向上的传播 就不对称了。但是由于V<c，所以微弱扰动波仍能 逆流传播，相对气流传播的扰动波面是一串不同心 的球面波。如果不考虑微弱扰动波在传播过程中的 损失，随着时间的延续，扰动仍可以传遍整个流 场。也就是说，微弱扰动波在亚声速气流中的传播 也是无界的。
第三章 一维定常流动的基本方程 气体动力学 教学课件
立的，因为流体质点在场中的空间位置与时间 t有关，不同的时
间 t ，流体质点有不同的空间坐标 x, y, z 。因此对于任一个流体 质点的位置变量 x、 y、 z 是时间 t 的函数，即
x x(t) y y(t)
(3.4)
z z(t)
设 则Vx 、Vy 和 Vz 分别代表流体质点的速度在 x, y, z轴上的分量，
果曲线C是条封闭的非流线，则该流面形成为流管。如果流管
的横截面积足够小，则这条流管就叫基元流管。基元流管的任
一截面上流体参数都是均匀的。并且流体质点不能穿越流管。
对无粘性流体，其固体壁面即可视为流面。
例
设已知流体运动的速度分量为 Vx 求过点M（1，1）的流线方程。
x2
x
y2
，Vy
x2
y
y2
，试
Vx
dx dt
Vx
x,
y,
z, t
Vy
dy dt
Vy
x,
y,
z, t
(3.5)
Vz
dz dt
Vz
x,
y,
z, t
上式表示在空间点 x, y, z 处 t 时刻的流体速度。这个速度是某 一流体质点的速度，即在 t 时刻运动到空间点 x, y, z 处的那个
流体质点的速度。
同样，压强、温度和密度等物理量都可以表示成 x, y, z,t的函数。
2 f1(a,b, c,t) t 2
ay
Vx t
2
f2 (a,b, c,t) t 2
（3.3）
az
Vz t
2 f3(a,b, c,t) t 2
2．欧拉（Euler)法
该方法着眼点是流场中的空间点或着眼于控制体。即研究运
间 t ，流体质点有不同的空间坐标 x, y, z 。因此对于任一个流体 质点的位置变量 x、 y、 z 是时间 t 的函数，即
x x(t) y y(t)
(3.4)
z z(t)
设 则Vx 、Vy 和 Vz 分别代表流体质点的速度在 x, y, z轴上的分量，
果曲线C是条封闭的非流线，则该流面形成为流管。如果流管
的横截面积足够小，则这条流管就叫基元流管。基元流管的任
一截面上流体参数都是均匀的。并且流体质点不能穿越流管。
对无粘性流体，其固体壁面即可视为流面。
例
设已知流体运动的速度分量为 Vx 求过点M（1，1）的流线方程。
x2
x
y2
，Vy
x2
y
y2
，试
Vx
dx dt
Vx
x,
y,
z, t
Vy
dy dt
Vy
x,
y,
z, t
(3.5)
Vz
dz dt
Vz
x,
y,
z, t
上式表示在空间点 x, y, z 处 t 时刻的流体速度。这个速度是某 一流体质点的速度，即在 t 时刻运动到空间点 x, y, z 处的那个
流体质点的速度。
同样，压强、温度和密度等物理量都可以表示成 x, y, z,t的函数。
2 f1(a,b, c,t) t 2
ay
Vx t
2
f2 (a,b, c,t) t 2
（3.3）
az
Vz t
2 f3(a,b, c,t) t 2
2．欧拉（Euler)法
该方法着眼点是流场中的空间点或着眼于控制体。即研究运
《工程流体力学》第三章 流体运动研究方法及一维定常流基本方程
截面1-1和2-2：垂直于流动方向，为什么? 侧面1-2：平行于流动方向，为什么？
控制体：1-1-2-2，用I+III表示 在空间上：固定的
t时体系：1-1-2-2，t时刻占据控制体I+III的流体
t+dt时体系：1’-1’-2’-2’ dt时间后： t时体系沿流线运动到III+II
由质量守恒定律： t时体系内质量＝t+dt时体系内质量
定常流：空间中任一点参数随不随时间变化？ 不随
物理意义？
A1, r1, V1 —— 控制面1-1上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
A2, r2, V2 —— 控制面2-2上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
一维定常流连续方程：在一维定常流中，通过同一流管任 意截面上的流体质量流量、重量流量保持不变。
例1：已知平面非定常流中的流速分量为：ux=x+t, uy= -y+t, 求：流线方程和迹线方程。 解：流线微分方程：
其中t为常数 积分后：
最后得：
迹线微分方程：
其中t为变量
结论：非定常流中迹线与流线不同
—— 迹线方程 ——流线方程
例2：已知平面定常流中的流速分量为：ux=x, uy= -y, 求：流线方程和迹线方程。 解：由流线微分方程：
体系动量对时间变化率：
控制体 = t时体系 环境对控制体内流体作用力 = 环境对t时体系内流体作用力
牛顿第二定律： 某瞬时作用在体系上全部外力合力 =该瞬时体系动量对时间的变化率
分量形式：
作用在控制体内流体上的外力： 1)表面力：控制体外流体或固体壁面作用在控制面上力
作用在进口截面上切向力：0 作用在出口截面上切向力：0
控制体：1-1-2-2，用I+III表示 在空间上：固定的
t时体系：1-1-2-2，t时刻占据控制体I+III的流体
t+dt时体系：1’-1’-2’-2’ dt时间后： t时体系沿流线运动到III+II
由质量守恒定律： t时体系内质量＝t+dt时体系内质量
定常流：空间中任一点参数随不随时间变化？ 不随
物理意义？
A1, r1, V1 —— 控制面1-1上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
A2, r2, V2 —— 控制面2-2上的横截面积、气流密度、速度
物理意义？
一维定常流连续方程：在一维定常流中，通过同一流管任 意截面上的流体质量流量、重量流量保持不变。
例1：已知平面非定常流中的流速分量为：ux=x+t, uy= -y+t, 求：流线方程和迹线方程。 解：流线微分方程：
其中t为常数 积分后：
最后得：
迹线微分方程：
其中t为变量
结论：非定常流中迹线与流线不同
—— 迹线方程 ——流线方程
例2：已知平面定常流中的流速分量为：ux=x, uy= -y, 求：流线方程和迹线方程。 解：由流线微分方程：
体系动量对时间变化率：
控制体 = t时体系 环境对控制体内流体作用力 = 环境对t时体系内流体作用力
牛顿第二定律： 某瞬时作用在体系上全部外力合力 =该瞬时体系动量对时间的变化率
分量形式：
作用在控制体内流体上的外力： 1)表面力：控制体外流体或固体壁面作用在控制面上力
作用在进口截面上切向力：0 作用在出口截面上切向力：0
工程流体力学 - 第3章 - M
2 、 水力半径 Rh ：在总流的过流断面上与流
体相接触的固体边壁周长称为湿周，用χ表 示。总流过流断面面积与湿周χ之比称为水 力半径R，即
R
A
3、当量直径de=4Rh
五、流量与平均流速
1、流量
单位时间内通过过流断面的流体量称为流量。 流体量可以用体积、质量和重量表示，其相应的流量 分别是体积流量qv (m3/s)、质量流量qm (kg/s)和重量 流量Qg(N/s)。
v1 A1 v 2 A 2 q v
上式为一维流动连续性方程。
§3.6理想流体一维稳定流动的伯努里方程 一、欧拉方程
如图,在微元流管中 取一圆柱流体微团, 考察理想流体在重 力场中的一维流动。
轴向长度：δs,
端面面积：δA,
端面⊥轴线,
侧面∥轴线。
流体微团受力分析： 方向：垂直向下
质量力：重力，大小：ρgδAδs 表面力：
一.拉格朗日方法
拉格朗日方法着眼于流体质点，跟踪每个 流体质点的运动全过程及描述运动过程中各质 点、各物理量随时间变化的规律。又称轨迹法。 设t=t0时，流体质点的坐标值是（a，b，c）。 流体质点的空间位置、密度、压强和温度 可表示为： r r a，b，c，t ＝ a，b，c，t p p a，b，c，t T T a，b，c，t
第三章 流体动力学
流体运动学是用几何学的观点来研究流体的运动 规律，是流体力学的一个组成部分。 掌握描述流动的两种方法（拉格朗日法及欧拉
法），结合迹线，流线，流体线等显示流动特性 的曲线图谱研究流动特性。
掌握流体动力学的基本方程，即质量守恒方程， 能量守恒方程动量定理，动量矩定理，重点是关 于控制体的欧拉型方程。
工程流体力学粘性流体的一维定常流动
Rec
Vcd
2000
Rec
Vcd
13800
无数实验证明，不管流速多少、管内径多大、也不管流体的运动 黏度如何，只要雷诺数相等，它们的流动状态就相似。所以雷诺 数是判别流体流动状态的准则数，即：
当流体流动的雷诺数 ReRec 时，流动状态为层流；当时ReRec ， 则为紊流；当 RceReRec时，流动状态可能是层流，也可能是紊 流，处于极不稳定的状态，任意微小扰动都能破坏稳定，变为紊 流。
应用此关系式计算有关工程实际问题，必须计算能量损失h w项，
由于流体流动的能量损失与流动状态有很大关系，因此，我们首 先讨论黏性流体流型。
黏性流体的流动存在着两种不同的流型，即层流和紊流，这两种 流动型态由英国物理学家雷诺（Reynolds）在1883年通过他的实 验（即著名的雷诺实验）大量观察了各种不同直径玻璃管中的水 流，总结说明了这两种流动状态。
p 2 为泵吸水口截面2—2处的绝对压强，其值为
p2pa1 3 30 0.4 05 0
将和值代入上式可得
hg 1330g0.405V 22g2 hw
1 3 30.40500.924
0.5
9 8 0 629.8 0 6
5.5 6 （mH2O）
第二节 黏性流体的两种流动型态
从上节式（6-8）的黏性流体总流的伯努利方程可以看出，要想
VB
1ddA B4
11504 300
9.53（m/s）
qVV B 4dB 29.5 3 40.125 0.16 （m83/s）
【例6-2】 有一离心水泵装 置如图6-4所示。已知该泵 的输水量 qV 60m3/h，吸 水管内径 d 150mm，吸 水管路的总水头损失
hw 0.5 mH2O，水泵入口 2—2处，真空表读数为 450mmHg，若吸水池的 面积足够大，试求此时泵 的吸水高度 h g 为多少?
第三节 气体的流动规律
气体的流动规律
一、气体流动的基本方程
1.连续性方程 气体在管道内流动，根据质量守恒，通过流管任意截面的 气体质量都相等（推导过程略） 有： ρ1v1A1＝ ρ2v2A2 2.动量方程 （根据作用在流动气体上的力对气体的冲量和流动气体动量 增量相等的动量定律可推导，过程略） 当ρ＝常数（不可压缩） → v2/2+p/ ρ＝常数 （伯努力方程） 推导中，有：欧拉运动方程：vdv+dp/ ρ=0 3.能量方程 dh＋d(v2/2)=0 kRT/(k-1)+v2/2=常数
一维定常流动管流中忽略气流横向速度的影响认为在垂直流动方向的任意截面上各点的气流参数压力温度密度速度等相同并等于该截面上各点的平均值
第三节
一维定常流动
气体的流动规律
管流中忽略气流横向速度的影响，认为在垂直流动方向 的任意截面上，各点的气流参数（压力、温度、密度、速度 等）相同，并等于该截面上各点的平均值。这种管流称为一 维流动。若截面上各点参数又不随时间而变化，则称为一维 定常流动。 流动过程的描述： 速度 密度 温度 压力 粘度 热量 求解方程组： 连续性方程 动量方程 能量方程 状态方程 牛顿内摩擦定律 热声速：声波在空气中传播的速度 声速推导过程 连续性方程（） 动量方程（） 状态方程（） → a2＝kRT 其中：k＝1.4 R＝287.1J/kgK T＝298K →a＝340m/s
气体的流动规律
2.马赫数 速度与声速之比。Ma＝ｖ/a 3.管道流动 流动参数和管道截面积变化的关系方程组（） 分析： 当M＜1 亚声速流动 A↑ → A↓ → 当M＞1 超声速流动 A↑ → A↓ → 当M＝1 → （）
风力机空气动力学5.3气体一维定熵流动5.3 气体的一维定常等熵流动
2
h0
第三节 气体的一维定常等熵流动
二、滞止状态
cp
R 1
Ma2 v2 c2
c2 RT
同理
T v2 2c p
T0
T0 T
c02 c2
1 -1 Ma2
2
1
p0 1 -1 Ma2 1
p 2
0 1 -1 Ma2 -1
2
1
-1
第三节 气体的一维定常等熵流动
五、速度系数
M v ccr
当v=vmax时
M max
vmax ccr
1 -1
M*与Ma的关系
M
2
1Ma2 2 -1Ma2
Ma2
2M
2
1
1M
2
第三节 气体的一维定常等熵流动
2
第三节 气体的一维定常等熵流动 三、极限状态
气流膨胀到完全真空所能达到的最大速度
极限速度
vmax
2R 1
T0
能量方程的另一种形式
c2
v2
v2 max
c02
1 2 2 1
第三节 气体的一维定常等熵流动
四、临界状态
ห้องสมุดไป่ตู้
ccr
2 1c0
1
v 1
用速度系数表示
T T0
c2 c02
1
-
-1 1
M
2
第三章流体流动的基本概念和方程
第三章流体流动的基本概念和方程引言：流体流动的特点1、流体的变形运动2、描述流体运动的主要物理量流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律，而流体动力学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系l 3.1研究流体运动的两种方法连续介质模型：我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。
描述流体运动的各物理量（如速度、加速度等）均应是空间点的坐标和时间的连续函数流场（flow field ）：流体质点运动的全部空间。
流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日（Lagrange ）方法，另一种是欧拉（Euler ）方法。
一、拉格朗日方法1、分析方法：又称随体法，是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。
2、位置表示：这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移，在某一时刻t ，任一流体质点的位置可表为：（velocity ）和加速度（acceleration ）为：4、密度表示：流体的密度（density ）、压强（pressure ）和温度（temperature ) 写成a 、b 、t 的函数，即ρ= ρ( a , b , c , t ) , p = p ( a , b , c , t ) , t = t ( a , b , c , t)二、欧拉法1、分析方法：又称局部法，是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手，来研究整个流体的运动的，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化规律。
2、表示：流体质点的流动是空间点坐标（x , y , z ）和时间t 的函数，流体质点的三个速度分量表示为：流体质点密度表示：（3——6）式（ 3 一 6 ）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间t 求导就可得流体质点沿运动轨的三个速度分量根据矢量分析的点积公式间的变化而产生的，即式（ 3 一 8 ）中等式右端的第一项tw t v t u ∂∂∂∂∂∂、、 ○2第二部分，迁移加速度（ acceleration of transport )：是某一瞬时由于流体质点速度随空间点的变化而引起的，即式（ 3 一 8 ）中等式右端的后三项z u w y u v x u u ∂∂∂∂∂∂、、等 当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度（ total acceleration ）5、流体质点的加速度的物理意义如图 3 一 1 所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面 2 比截面 1 小，则截面 2 的速度就要比截面 1 的速度大。
高等流体力学—流体力学基本方程组
图 3-1 流场中的微元平行六面体
4
一、直角坐标系下连续性微分方程式
先分析x轴方向，已知u和ρ都是坐标和时间的连续函数， 即u=u (x，y，z，t)和ρ = ρ (x，y，z，t)。根据泰勒级数
展开式，略去高于一阶的无穷小量，得在dt时间内，沿轴 方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为
图 3-1 流场中的微元平行六面体
0.5 (m/s) 2 0 . 5 1
21
图 3-14 输水管道
22
流体流动的连续性方程推导－欧拉法
在空间取一以S面为界的有限体积τ，该面由流面及两 个非流面组成。
23
有限体积τ－流管内流体质量的变化由两部分组成：
1 通过表面S流体的进入或流出（以流入为正）
程。
11
若流体是定常流动，则
0， t
上式成为
u v w 0 x y z
(3-6)
式（3-6）为可压缩流体定常三维流动的连续 性方程。
12
对不可压缩均质流体， ρ为常数，故式(3-6)成为
u v w 0 x y z
19
【例3-2】 有一不可压缩流体平面流动，其速度分布
规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否连续。 【解】 根据式（3-8）
所以
u 2 x sin y x
v 2 x sin y y
u v 2 x sin y (2 x sin y ) 0 x y
( x, y, z, t dt ) dt t
10
则可求出在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量
dt dxdydz dxdydz dxdydzdt t t
一维流体动力学基础
❖ 由于流体做定常流动, 则根据质量守恒定律得 ❖ dM=0 则
❖ ——可压缩流1u体1d微A1小流束2u的2d连A2续性方程。
对不可压缩流体的定常流动, 1 2
dQ1 dQ2
u1dA1
u2dA2
——不可压缩流体微小流束定常流动的 连续性方程。
其物理意义是: 在同一时间间隔内流过微小流束上任一过水断面的流量均相等。或 者说，在任一流束段内的流体体积(或质量)都保持不变
（x,y,z,t）——欧拉变量
2.欧拉加速度
流体质点某一时刻处于流场不同位置, 速度是坐标及时间的函
数, 所以流速是t 的复合函数, 对流速求导可得加速度:
a
dux,
y,
z,
t
dt
如：
ax
dux dt
ux t
ux x
dx dt
ux y
dy dt
ux z
dz dt
a
dx dt
ux
du
dt
其物理意义是: 不可压缩流体做定常流动时，总流的体积流量 保持不变；各过水断面平均流速与过水断面面积成反比，即过 水断面积↑处，流速↓；而过水断面面积↓处，流速↑。
第四节 流体定常流能量方程
一、理想流体元流能量方程
从功能原理出发，取不可 压缩无黏性流体恒定流动 这样的力学模型，可以推 出元流的能量方程式:
一时段内的运动轨迹线。
图中烟火的轨迹为迹线。
2）迹线的微分方程
dx dy dz dt
ux uy uz
式中, ux,uy,uz 均为时空t,x,y,z的函数, 且t是自变量。
注意: 流线和迹线微分方程的异同点。
dx dy dz ux uy uz
❖ ——可压缩流1u体1d微A1小流束2u的2d连A2续性方程。
对不可压缩流体的定常流动, 1 2
dQ1 dQ2
u1dA1
u2dA2
——不可压缩流体微小流束定常流动的 连续性方程。
其物理意义是: 在同一时间间隔内流过微小流束上任一过水断面的流量均相等。或 者说，在任一流束段内的流体体积(或质量)都保持不变
（x,y,z,t）——欧拉变量
2.欧拉加速度
流体质点某一时刻处于流场不同位置, 速度是坐标及时间的函
数, 所以流速是t 的复合函数, 对流速求导可得加速度:
a
dux,
y,
z,
t
dt
如：
ax
dux dt
ux t
ux x
dx dt
ux y
dy dt
ux z
dz dt
a
dx dt
ux
du
dt
其物理意义是: 不可压缩流体做定常流动时，总流的体积流量 保持不变；各过水断面平均流速与过水断面面积成反比，即过 水断面积↑处，流速↓；而过水断面面积↓处，流速↑。
第四节 流体定常流能量方程
一、理想流体元流能量方程
从功能原理出发，取不可 压缩无黏性流体恒定流动 这样的力学模型，可以推 出元流的能量方程式:
一时段内的运动轨迹线。
图中烟火的轨迹为迹线。
2）迹线的微分方程
dx dy dz dt
ux uy uz
式中, ux,uy,uz 均为时空t,x,y,z的函数, 且t是自变量。
注意: 流线和迹线微分方程的异同点。
dx dy dz ux uy uz
工程流体力学 第3章 流体流动的基本方程
注意： 空间点本身不具有密度、速度等物理参数，某一时刻占 据该空间点的流体质点具有这些物理参数。 流体的任意物理量可以表示为：
B F ( x, y, z, t )
比如，流体质点的速度场：
u F ( x, y, z, t )
第3章 流体流动的基本方程
速度分布的分量可表示为：
u x F1 ( x, y , z , t ) u y F2 ( x, y , z , t ) u z F3 ( x, y , z , t )
u x 2 x 2 F1 (a, b, c, t ) ax 2 t t t 2 u y 2 y 2 F2 (a, b, c, t ) ay 2 t t t 2 u z 2 z 2 F3 (a, b, c, t ) az 2 t t t 2
教学内容
第0章 绪论
第1章 流体的主要物理性质
第2章 流体静力学
第3章 流体流动的基本方程
第4章 势流理论
第5章 相似理论与量纲分析
第6章 粘性流体管内流动
第7章 粘性流体绕物体的流动
第3章 流体流动的基本方程
流体运动——满足质量守恒、牛顿第二定律、能量守恒… 推导——连续方程，动量方程，动量矩方程，能量方程…
第3章 流体流动的基本方程
流体质点的速度和加速度
u ux i uy j uz k
x F1 (a, b, c, t ) ux t t y F2 (a, b, c, t ) uy t t z F3 (a, b, c, t ) uz t t
a ax i ay j az k
两边积分 ln x 2t C ，故 x c1e
' 1
B F ( x, y, z, t )
比如，流体质点的速度场：
u F ( x, y, z, t )
第3章 流体流动的基本方程
速度分布的分量可表示为：
u x F1 ( x, y , z , t ) u y F2 ( x, y , z , t ) u z F3 ( x, y , z , t )
u x 2 x 2 F1 (a, b, c, t ) ax 2 t t t 2 u y 2 y 2 F2 (a, b, c, t ) ay 2 t t t 2 u z 2 z 2 F3 (a, b, c, t ) az 2 t t t 2
教学内容
第0章 绪论
第1章 流体的主要物理性质
第2章 流体静力学
第3章 流体流动的基本方程
第4章 势流理论
第5章 相似理论与量纲分析
第6章 粘性流体管内流动
第7章 粘性流体绕物体的流动
第3章 流体流动的基本方程
流体运动——满足质量守恒、牛顿第二定律、能量守恒… 推导——连续方程，动量方程，动量矩方程，能量方程…
第3章 流体流动的基本方程
流体质点的速度和加速度
u ux i uy j uz k
x F1 (a, b, c, t ) ux t t y F2 (a, b, c, t ) uy t t z F3 (a, b, c, t ) uz t t
a ax i ay j az k
两边积分 ln x 2t C ，故 x c1e
' 1
第三章一维定常流的基本方程
2 1 x 2x 1x y 2y 1y z 2z 1z
例：水在水平放置的U 型管内流动如图所示，U 型管的截面
积为A 。进、出口的压强均为P，流速为V 。不计粘性摩 擦，求水对管子的作用力。
解：取U 型管的侧壁和进、出口截面为控制体。作用在控
制体上流体的力沿y方向的力抵消；沿 x方向的力有 Fx，假设 向右为正；作用在进、出口截面上的力为 pA，方向指向作 用面。沿x方向的动量方程为 Fx 2 p A V A V V 即
k
const
k 即 RT1 k 1
p2 p1
k 1 k
2 2 c c 1 1 2 0 2
（ 1）对于等熵加速流动 p和C的关系 气体在一维定常绝能流动中
对于气体在喷管中的加速流动
c2 2 c12 k RT1 1 2 k 1
气体动力学 通常采用的 简化条件
一维流假设 无彻体力 理想气体模 型
引言
0 流动定常假设 t 大多数真实流动一般都伴随有湍流和旋涡，所以流动本质上是非定常的，只有 当流体的质点沿着流线运动（迹线与流线重合）时才可能存在定常流。
对非定常程度不大或可以忽略非定常影响的流动有其合理性。 流动定常假设是对控制方程组而言的，忽略方程中的所有时间偏导数项。
③
微分形式
c2 q d dh ws 2
再对定比热
对绝能流动
c2 dh d 0 2
c2 c p dT d 0 2
2 c2 c12 体系能量变化dm , dmg z2 z1 , dm u2 u1 2 2
方程推导
例：水在水平放置的U 型管内流动如图所示，U 型管的截面
积为A 。进、出口的压强均为P，流速为V 。不计粘性摩 擦，求水对管子的作用力。
解：取U 型管的侧壁和进、出口截面为控制体。作用在控
制体上流体的力沿y方向的力抵消；沿 x方向的力有 Fx，假设 向右为正；作用在进、出口截面上的力为 pA，方向指向作 用面。沿x方向的动量方程为 Fx 2 p A V A V V 即
k
const
k 即 RT1 k 1
p2 p1
k 1 k
2 2 c c 1 1 2 0 2
（ 1）对于等熵加速流动 p和C的关系 气体在一维定常绝能流动中
对于气体在喷管中的加速流动
c2 2 c12 k RT1 1 2 k 1
气体动力学 通常采用的 简化条件
一维流假设 无彻体力 理想气体模 型
引言
0 流动定常假设 t 大多数真实流动一般都伴随有湍流和旋涡，所以流动本质上是非定常的，只有 当流体的质点沿着流线运动（迹线与流线重合）时才可能存在定常流。
对非定常程度不大或可以忽略非定常影响的流动有其合理性。 流动定常假设是对控制方程组而言的，忽略方程中的所有时间偏导数项。
③
微分形式
c2 q d dh ws 2
再对定比热
对绝能流动
c2 dh d 0 2
c2 c p dT d 0 2
2 c2 c12 体系能量变化dm , dmg z2 z1 , dm u2 u1 2 2
方程推导
第3章流体运动的基本概念与方程
位时间内通过控制面的该物理量的净通量。
定常流动：
dN dt
vndA
CS
在定常流动条件下，整个系统内部的流体所具有 的某种物理量的变化率只与通过控制面的流动有 关，而不必知道系统内部流动的详细情况。
§3.6 连续方程
一、连续方程（积分形式）
本质：质量守恒定律
单位质量
1
dm 0
dt
系统的质量 N dV m
x
nv
z
III
v II ' n
I
o y
N : t时刻该系统内流体所具 有的某种物理量（如质量、 动量等）
t时刻
系统所占有 的空间体积
II
t+t时刻
n : 单位质量流体所具有的物 理量
II’+III
控制体所占有 的空间体积
II
II’+I
§3.5 系统与控制体
二、输运公式（续）
推导过程（续）：
dN dt
2.控制体
流场中某一确定的空间区域，欧拉法研究流体运动的研究对象。
➢ 控制体的周界称为控制面
➢ 一旦选定后，其形状和位置就固定不变
§3.5 系统与控制体
一、系统 控制体 （续）
z
II
o y
x t时刻
nv
z
III
v II ' n
I
o y
x
系统 控制体
t+t时刻
§3.5 系统与控制体
二、输运公式
将拉格朗日法求系统内物理量的时间 变化率转换为按欧拉法去计算的公式 推导过程： (1)符号说明
V
vdV
V
dv dt
dV
V
第三章 流体流动的基本概念与基本方程
第三章流体流动的基本概念与方程质量守恒定律、牛顿第二定律、能量守恒定律等是物质运动的普遍原理，流体作为一类物质也应该遵循这些原理。
这些原理刚体运动的方程式在物理学和理论力学中大家已经学习过，适用于流体运动的方程式将在本章讨论。
本章首先介绍描述流体流动的一些基本概念，然后推导出流体流动的基本方程，即连续方程、动量方程、能量方程等。
这些基本概念与方程在流体运动学中的研究中是十分重要的。
3.1 描述流体流动的方法在流体力学的研究中，描述流体的运动一般有两种方法，即拉格朗日法与欧拉法。
3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法着眼于单个流体质点是怎样运动的，以及流体质点的特性是如何随时间变化的。
为了区别流体质点，使用某特定质点在某瞬时的坐标(a, b, c)是比较方便的，坐标(a, b, c)描述的只是某一特定的质点。
在任何瞬时质点的位置可表示为(3.1)对于一给点的坐标(a, b, c)，上述方程组代表的是一特定流体质点的轨迹。
此时，质点是速度可以通过将质点是位置矢量对时间求导数得到。
在笛卡尔坐标系中，质点的速度可表示为(3.2)加速度为(3.3)3.1.2欧拉法流体是由无数流体质点组成的连续介质，充满流动流体的空间称为流场。
表示流体速度的一种方法就是着眼于空间的某一点，观察流经该点的流体质点随时间的运动。
这种研究流体质点运动的方法称为欧拉法。
在更一般的意义上，欧拉法可以通过以下方面描述整个流场：(1)在空间某一点流动参数，如速度、压强等，随时间的变化；(2)这些参数相对于空间邻近点的变化。
此时，流动参数是空间点的坐标与时间的函数：(3.4)或(3.4a)(3.5)流体质点随时间将从一点运动到另一点，这意味着流体质点的位置也是时间的函数。
利用多元函数的微分连锁律，可将流体质点在x方向的加速度表示为：(3.6a)同样(3.6b)(3.6c)或写成矢量的形式(3.7)式中称为梯度，或∇运算符。
方程(3.6)右端包含两种不同类型的两项：速度关于位置的变化与速度关于时间的变化。
气体的一维定常流动
c
vmax c0 c v 1 2 2 1
2
2
2
2
c0
vmax v
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
临界状态
流体等熵膨胀时，当 v=c 时， Ma=1 ，该状态称 为临界状态。
2 1 ccr c0 vmax 1 1 2RT0 ccr RTcr 1
基本假设： 完全气体一维定常流动； 截面积变化是影响流动变化的唯一因素； 忽略摩擦、传热、质量力等因素； 流动是等熵流动。
微弱扰动的传播
若气体静止，而扰动源以亚声速、声速、超声 速运动，则扰动波的传播规律仍是类似的。 微弱扰动在亚声速流动中可以传遍全流场，而 在超声速流中只能向下游传播，并被限制在马 赫锥之内，这是两者的最重要区别。
§6-2 微弱扰动在气体中的传播
第六章 气体的一维定常流动
第三节 气体一维定常流动 的基本方程
§6-1 气体一维流动的基本概念
气体的比热容
比热容：单位质量物质温度升高 1K 或 1 ℃ 时所 吸收的热量。 单位质量气体升高 1K 或 1 ℃ 时所吸收的热量与 热力学过程有关，故气体的比热容不唯一。 定容比热容cV：容积不变条件下的比热容。 定压比热容cp：压强不变条件下的比热容。 比热比γ：定压比热与定容比热的比值。
速度系数
马赫数与速度系数的关系
2 2 M* 1 Ma 2 1 2 1 M* 1
M* < 1 M* = 1 M* > 1
1 1
亚声速流动 声速流动 超声速流动
M*
1
M*
2
1
1
2
2
Ma 2 Ma
2
1
可压缩一维定常流动
气压力
；若喷管出口之后接一个体积很大的容器或者接真空的
气罐，则背压就等于此容器压力或者真空罐的压力。
（2） 或 ，它表示出口截面压力即喷管出口截面上（不包括出
口截面以外）的压力。另外，凡带有下标 或 的参数都叫出口截
面参数，例如
等。值得注意的是，一般说出口截面参数并
不一定等于环境参数。
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在喉部一定会出现这种过渡。由式（3-4-26）可知，如果在喉部
的
，则加速度必为零，这就意味着在收敛段中的亚声速流动在
扩张段内将继续保持亚声速流动状态。
1 dV 1 dA V dx M 2 1 Adx
（3-4-26）
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图3.12 从亚声速到超声速流的过渡
返回
3.5.1 等截面绝热摩擦管任意两个截面上气 流参数间的关系式
的
，则有两个对应的马赫数 ：一个是亚声速的，另一个是
超声速的。
2. 状态Ⅱ——正激波刚好位于出口截面 激波前压力与波后压力间的正激波关系为
上一页 下一页
图3.7 等熵流动时喷管的 A 与M间的关系
A*
返回
3. 状态Ⅰ——出口截面既无激波，又无膨胀波
（1）如果
，则这时喉部截面马赫数刚好为1，其余截
一、收缩喷管或者高压气罐（如图3.15所示）之后接一个等截面绝 热摩擦管
1. 给定 以及 值
值，并按设计的需要给定出口马赫数 ，求
2. 给定
值，并按设计要求给定出口马赫数 （这里 ），
求
及值
3. 给定
以及
值，试确定
值。
二、超声速Laval喷管的出口之后接一个等截面直管（如图3.16所 示）
第三章定常一维流动1
dT (k − 1) M 2 dA = T 1− M 2 A
p = ρRT
M =V a =V
dp dρ dT − − =0 p T ρ
1 dV dA ) = −( V 1− M 2 A
dM =− M 1+ k −1 2 M dA 2 2 A 1− M
kRT
dM dV dT − + =0 M V 2T
V 2 V 2 a *2 M 2 = 2 = *2 ⋅ 2 a a a
M2 λ = k −1 1+ ( M 2 − 1) k +1
2
沿流线的等熵关系式
V2 k k + RT = RT0 k −1 2 k −1
τ (λ ) ≡
T = T0 k −1 2 1 = 1− λ k −1 2 k +1 M 1+ 2
气体以低M数（M是小量）作定常等熵流动
1 k −1
ρ ⎛ k −1 2 ⎞ = ⎜1 + M ⎟ ρ0 ⎝ 2 ⎠
−
M2 = 1− + …… 2
k ⎡ ⎤ ⎞ p0 − p p ⎢⎛ k − 1 2 ⎞ k −1 ⎥ p ⎛ p0 ⎜ M ⎟ −1 = ⎜1 + ⎜ p − 1⎟ = 1 ⎟ 1 1 ⎥ 2 2 2 ⎝ 2 ⎢⎝ ⎠ ⎠ ρV ρV ρV ⎣ ⎦ 2 2 2 p 2k ⎞ ⎤ 1 ρ ⎡⎛ kM 2 k 4 ⎜1 + = + M + ……⎟ − 1⎥ = 1 + M 2 + …… ⎢ ⎟ 2 8 4 kV 2 ⎣⎜ ⎝ ⎠ ⎦
V2 cpT + = const 2
a2 V 2 + = const k −1 2
k p V2 + = const k −1 ρ 2
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定常假设
气体动力学 通常采用的 简化条件
一维流假设 无彻体力
理想气体模 型
流场中任何一点的所有流动参数均不随时间发生 变化
流道横截面积不沿流动方向变化或变化很缓慢； 流道曲率很小，或流道曲率半径比流道半径足够 大。
气体彻体力（重力）的影响通常不重要
将大多数气体的流动当成理想气体处理不会引起 太大 的误差。理想气体模型有简单的解析表达式，能 反映真实气体流动的一般特征。
k
k
1
p2
2
p1
1
k
k
1
R
T2
T1
k k 1
RT1
p2 p1
k 1 k
1
即
k
k
1
RT1
p2 p1
k 1 k
1
c22
2
c12
0
（气1体）在对一于维等定熵常绝加能速流流动动中p和C的关系
引入焓的定义，经过整理 h u pv H U P V
q 1 2
c22 c12
h2 h1 ws
适用条件：
因未涉及气体在控制体内流动的具体情况，故对可逆/不可逆 流动均适用
一维定常流动，在控制面边界上粘性力做功为零
③
微分形式
q
d
c2 2
积为A 。进、出口的压强均为P，流速为V 。不计粘性摩 擦，求水对管子的作用力。
解：取U 型管的侧壁和进、出口截面为控制体。作用在控
制体上流体的力沿y方向的力抵消；沿 x方向的力有Fx，假设 向右为正；作用在进、出口截面上的力为 pA，方向指向作
用面。沿x方向的动量方程为
Fx 2 p A V A V V
例题:3-3
因此可得： Finx=- P1A1- W C1
Finy= -P2A2- W C2
又由连续方程：W= ρ А1C1 = ρ А2C2
得： C1=W / ρА1
C2=W / ρ А2
Finx=- P1A1- W2 / ρ А1
Finy=- P2A2 -W2 / ρ А2
带入已知数据求得： Finx=-4639（N） Finy=-3331.62（N)
A1
A2
各截面上流动参数均匀
由此得一维定常流动的连续方程
3.2 动量方程
① 牛顿第二定律
F
d (mc) dt
② 积分形式
F W c2 c1
F x
W c2x
c1x
F y
W
c2 y
c1y
F z
W c2z
c1z
例：水在水平放置的U 型管内流动如图所示，U 型管的截面
➢ 一维流动假设的两个含义
① 流道的横截面积不沿流动方向变化或变化很缓慢；
② 流道的曲率很小，或者流道的曲率半径与流道本身的半径相比足够的大。
➢ 根据一维流假设，流动参数的变化只发生在流动方向上，而在其它方向上 的变化小得可以忽略不计；
➢ 因此在流道的每一个横截面上，所有流动参数都是均匀的，且在该截面上 为一常数；
2
1
r A3
r A2
r A1
图3-1一维定常流的流管
3.1 连续方程
定常→第一项为零
Ω
t
dΩ
A
c
dA
0
A
c
dA
0
展开
c
dA
c
dA
c
dA
c
dA
0
A
A1
A2
A3
r
r
面积 A3 垂直于V
cdA cdA 0
引言
一般情况下，流体流动的控制方程组（欧拉方程组）是一组三个空间变量和一个 时间变量的高度非线性方程；
除了少数几个特例外，一般化的控制方程组没有解析解，而只能借助于流场数值 计算，称为计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，简称CFD）
本章引入四个主要假设，对流动模型和流动的控制方程组进行简化，从而求解流 动控制方程组，使之能应用于解决工程问题。
③
微分形式的动量方程
无粘性流体一维定常流动的运动微分方程
dp cdc gdH 0
对于气体，忽略重力
dp cdc 0
压力增大，流速减小，反之亦然
④ 伯努利方程
对微分动量方程沿流线积分
dp VdV gdz 0
1②
①1 不可压流
dp
V2 2
gz
const
2 p1 p2
A12 A22
m A2c2 A1 A2
2 p1 p2
A12 A22
② 可压流
重力影响忽略不计取流管两个任意截面积分
2 dp c22 c12 0
1
2
必须知道流动的热力过程，例如对于等熵过程 p
k
const
2
1
dp
引言
流动定常假设
0
t
➢大多数真实流动一般都伴随有湍流和旋涡，所以流动本质上是非定常的，只有
当流体的质点沿着流线运动（迹线与流线重合）时才可能存在定常流。
➢对非定常程度不大或可以忽略非定常影响的流动有其合理性。
➢流动定常假设是对控制方程组而言的，忽略方程中的所有时间偏导数项。
一维流动假设
对于气体在喷管中的加速流动
c22 c12 2
k
k
1
RT1
1
p2 p1
k 1 k
等熵膨胀，压力降低，流速增大； 反之在扩压器中，流速减小，压力增大
k
k
1
RT1
p2 p1
k 1 k
1
c12
c22 2
3 能量方程
① 能量守恒定律
3.1 连续方程
一维定常流动是第二章所述一般流动的特殊情况，其控制方程组可直 接从一般形式的控制方程组中推导出来。
根据定义，一维定常流动包含了截面积的变化，因此必须从积分形式 的控制方程组出发进行推导。
3.1 连续方程
在一维定常流动中，取一段流管 （管流时取一段管道）作为控制 体，如图3-1所示。控制面A由进 口截面A1、出口截面A2和侧表面 A3三部分所组成
q de w
② 方程推导
①
体系能量变化dm
c22 2
c12 2
,
dmg z2
z1 ,
dm u2
u1
②
功量变化
轴功 ws
表面力做功流动功p2 A2dx2
p1 A1dx1
dm
p2
2
p1
1
切应力做功，为0
v
即
Fx 2 A p V 2
v
因此，水对管子的作用力为
R Fx 2 A p V 2
作用力的方向沿x方向。
例题:3-3
设有水在弯曲成900的收敛形管道中流动如图 所示。在弯管进、出口截面处水流的压力分别 为4.91X105Pa、 4.19X105Pa，水的流量为 78.5kg/s。管道进出、口截面积分别为： 78.5cm2、50.24cm2。设水流为不可压缩流动， ρ=1000kg /m2,忽略水流本身的重量。试求水 流对管内壁的的作用力。
const
const
p
V2
2
const
p V 2 z const
2g
p 1 V 2 const
2
例 文方丘程利的管推测导速、测流量原理
c1A1 c2 A2
p1
1 2
c12
p2
1 2
c22
c2 A1
dh
ws
对绝能流动
再对定比热
dh
d
c2 2
0
c p dT
d
c2 2
0
解：取控制体如图中得虚线所示，体系所受的各种力和所用的坐标也示于图中
设Finx、Finy 分别为弯管内壁对控制体内水流的作用力Fin在x、y 坐标方向上的分量，并设Finx、Finy 沿坐标系正方向
对所取控制体在x、y轴分别应用动量方程，则有
Finx+P1A1=W(0-C1)
Finy+P2A2=W(-C2-0)