高中数学椭圆中的焦点三角形(公开课)
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考纲要求 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和
解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 3.能解决直线与椭圆的位置关系等问题. 4.理解数形结合的思想. 5.了解椭圆的简单应用.
2
定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。 其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰 三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形
1. 双曲线中的焦点三角形问题
如:
S F1 PF2
b2ctg
2
2. 椭圆的焦点改为其它的定点 (如长轴两端点)
3. 焦点弦四边形(如面积的最值)
17
归纳小结:
焦点三角形
基本概念 性质及应用
思想方法
18
19
1
2mn
2mn
2mn mn
2b2 1 2b2 1
(m n)2
a2
2
(当且仅当m n,即P点与短轴端点重合时" "成立)
7
变式:
(2004湖南卷)
F1, F2是椭圆C :
x2 8
y2 4
1的焦点,
在C上满足PF1 PF2的点P的个数为______
8
考点3 有关离心率的问题：
例3
已知椭圆 x2 a2
椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点 对椭圆两焦点所成张角中最大的角
“性质一”是为什么呢？你能证明吗？ 解三角形中我们常用的理论依据是什么？
6
cos
PF1 2
PF2 2 F1F2 2
m2 n2 4c2
2 PF1 PF2
2mn
(m n)2 2mn 4c2 4a2 2mn 4c2 4b2 2mn 2b2
y2 b2
1(a
b 0)的两焦点分别为F1, F2 ,
若椭圆上存在一点P,使得F1PF2 1200 ,求椭圆的离心率e
的取值范围。
由前面考点二的分析，你能得出cos F1PF2 与离心率e的关系吗？
9
性质二：已知椭圆方程为
x2 a2
y2
b2
1(a b 0), 两焦点分别
为 F1, F2 , 设焦点三角形 PF1F2 中 F1PF2 ,
若F1PF2
3
,则PF1F2的面积等于 _______。
怎样改动，使上面不是一个错题？
一：P是椭圆 x2 5
y2 4
1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，
若F1 PF2
6
，则
PF1
F2的面积等于
_______
。
二：P是椭圆 x2 4
y2
1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，
若F1 PF2
3
，则PF1
F2的面积等于
_______
。
12
若F1、F2是椭圆
x2 a2
+ y2 b2
= 1(a > b > 0)的两个焦点，
P是椭圆上一点，且∠F1PF2 =θ，求椭圆的面积。
解: 设 PF1 m，PF2 n，由余弦定理得 m2 n2 2mn cos F1F2 2 4c2①
由椭圆定义得m n 2a②
由①得：mn 2(a2 c2 ) 2b2
5
7
4
47
14
性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦) 最短，通径为2b2 。 a
15
(2007天津) 设椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的左、右焦点分别为F1，F2，
A是椭圆上的一点，AF2
F1F2，原点O到直线AF1的距离为
1 3
OF1
．
（Ⅰ）证明a 2b；（Ⅱ）略
16
拓展
则 cos 1 2e2.
（当且仅当动点为短轴端点时取等号）
10
uuuur uuuur 变式 :（09江西）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1 MF2 0
的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 _______
11
考点4 有关面积的问题：
例4
P是椭圆 x2 5
y2 4
1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，
2.
已知F1、F2是椭圆
x2 25
y2 9
1的左,右焦点,点P在
椭圆上运动,则 PF1 • PF2 的最大值是_______
4
考点2 有关角的问题：
例2
(2000全国)椭圆 x2 y2 94
1的焦点为Fl、F2，点P为
其上动点，当Fl PF2为钝角时，点P横坐标的取值
范围是 ________。
探究:椭圆
x2 9
y2 4
1 的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当
F1PF2 为直角时，点P的横坐标是_______。
而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？
5
性质一：当点P从右至左运动时，F1PF2由锐角变成直角， 又变成钝角,过了Y轴之后,对称地由钝角变成直角 再变成 锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时，F1 PF2 达到最大。
3
考点1 有关周长和距离问题：
例1
(08浙江)已知F1、F2为椭圆
x2 25
y2 9
1的两个焦点,过F1的直线
交椭圆于A、B两点,若 F2 A F2B 12,则 AB _______
变式：
1（. 2006四川）如图把椭圆的长轴AB分成8分， 过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分
于P1 , P2 ,P7七个点，F是椭圆的一个焦点， 则 P1F P2 F P7 F _________
1 cos 1 cos
SF1PF2
1 mn sin
2
b2 sin 1 cos
b2 tan
2
Ex.113
变式（: 04湖北）已知椭圆 x2 16
y2 9
1的左、右焦点分别是F1、F2，
点P在椭圆上. 若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，
则点P到 x 轴的距离为（ ）
A. 9 B. 9 7 C. 9 D. 9 或 9 7
考纲要求 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和
解决实际问题中的作用. 2.掌握椭圆定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 3.能解决直线与椭圆的位置关系等问题. 4.理解数形结合的思想. 5.了解椭圆的简单应用.
2
定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。 其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰 三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形
1. 双曲线中的焦点三角形问题
如:
S F1 PF2
b2ctg
2
2. 椭圆的焦点改为其它的定点 (如长轴两端点)
3. 焦点弦四边形(如面积的最值)
17
归纳小结:
焦点三角形
基本概念 性质及应用
思想方法
18
19
1
2mn
2mn
2mn mn
2b2 1 2b2 1
(m n)2
a2
2
(当且仅当m n,即P点与短轴端点重合时" "成立)
7
变式:
(2004湖南卷)
F1, F2是椭圆C :
x2 8
y2 4
1的焦点,
在C上满足PF1 PF2的点P的个数为______
8
考点3 有关离心率的问题：
例3
已知椭圆 x2 a2
椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点 对椭圆两焦点所成张角中最大的角
“性质一”是为什么呢？你能证明吗？ 解三角形中我们常用的理论依据是什么？
6
cos
PF1 2
PF2 2 F1F2 2
m2 n2 4c2
2 PF1 PF2
2mn
(m n)2 2mn 4c2 4a2 2mn 4c2 4b2 2mn 2b2
y2 b2
1(a
b 0)的两焦点分别为F1, F2 ,
若椭圆上存在一点P,使得F1PF2 1200 ,求椭圆的离心率e
的取值范围。
由前面考点二的分析，你能得出cos F1PF2 与离心率e的关系吗？
9
性质二：已知椭圆方程为
x2 a2
y2
b2
1(a b 0), 两焦点分别
为 F1, F2 , 设焦点三角形 PF1F2 中 F1PF2 ,
若F1PF2
3
,则PF1F2的面积等于 _______。
怎样改动，使上面不是一个错题？
一：P是椭圆 x2 5
y2 4
1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，
若F1 PF2
6
，则
PF1
F2的面积等于
_______
。
二：P是椭圆 x2 4
y2
1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，
若F1 PF2
3
，则PF1
F2的面积等于
_______
。
12
若F1、F2是椭圆
x2 a2
+ y2 b2
= 1(a > b > 0)的两个焦点，
P是椭圆上一点，且∠F1PF2 =θ，求椭圆的面积。
解: 设 PF1 m，PF2 n，由余弦定理得 m2 n2 2mn cos F1F2 2 4c2①
由椭圆定义得m n 2a②
由①得：mn 2(a2 c2 ) 2b2
5
7
4
47
14
性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦) 最短，通径为2b2 。 a
15
(2007天津) 设椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的左、右焦点分别为F1，F2，
A是椭圆上的一点，AF2
F1F2，原点O到直线AF1的距离为
1 3
OF1
．
（Ⅰ）证明a 2b；（Ⅱ）略
16
拓展
则 cos 1 2e2.
（当且仅当动点为短轴端点时取等号）
10
uuuur uuuur 变式 :（09江西）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1 MF2 0
的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 _______
11
考点4 有关面积的问题：
例4
P是椭圆 x2 5
y2 4
1上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，
2.
已知F1、F2是椭圆
x2 25
y2 9
1的左,右焦点,点P在
椭圆上运动,则 PF1 • PF2 的最大值是_______
4
考点2 有关角的问题：
例2
(2000全国)椭圆 x2 y2 94
1的焦点为Fl、F2，点P为
其上动点，当Fl PF2为钝角时，点P横坐标的取值
范围是 ________。
探究:椭圆
x2 9
y2 4
1 的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当
F1PF2 为直角时，点P的横坐标是_______。
而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？
5
性质一：当点P从右至左运动时，F1PF2由锐角变成直角， 又变成钝角,过了Y轴之后,对称地由钝角变成直角 再变成 锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时，F1 PF2 达到最大。
3
考点1 有关周长和距离问题：
例1
(08浙江)已知F1、F2为椭圆
x2 25
y2 9
1的两个焦点,过F1的直线
交椭圆于A、B两点,若 F2 A F2B 12,则 AB _______
变式：
1（. 2006四川）如图把椭圆的长轴AB分成8分， 过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分
于P1 , P2 ,P7七个点，F是椭圆的一个焦点， 则 P1F P2 F P7 F _________
1 cos 1 cos
SF1PF2
1 mn sin
2
b2 sin 1 cos
b2 tan
2
Ex.113
变式（: 04湖北）已知椭圆 x2 16
y2 9
1的左、右焦点分别是F1、F2，
点P在椭圆上. 若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，
则点P到 x 轴的距离为（ ）
A. 9 B. 9 7 C. 9 D. 9 或 9 7