工程力学 第16章点的复合运动习题解
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v r = 2eω 0 ， v a = v e tan 30° =
2 3 4 3 eω 0 （↑） ， v r = 2v a = eω 0 3 3
3． a a = a e + a rn + a τ r + a C （图 b）
υa υe
A
υr
aC
A
aτ r
O
C
ae
n ar
C
O
(b)
习题 16-7 图
(a)
2 2 a a = (a an ) 2 + (a τ a ) = 114 m/s
16－7 图示偏心凸轮的偏心距 OC = e，轮半径 r = 3e 。凸轮以等角速度 ω 0 绕 O 轴转 动。设某瞬时 OC 与 CA 成直角，试求此瞬时从动杆 AB 的速度和加速度。 解：1．动点：A（AB 上） ，动系：轮 O，绝对运动：直线，相对运动：圆周，牵连运 动：定轴转动。 2． v a = v e + v r （图 a）
v BC
16－2 图示记录装置中的鼓轮以等角速度 ω 0 转动，鼓轮 的半径为 r。自动记录笔连接在沿铅垂方向并按 y = a sin(ω 1t ) 规 律运动的构件上。试求记录笔在纸带上所画曲线的方程。 解： x = rω 0 t （1） y = a sin(ω 1t ) （2） 由（1）
t= x rω 0
由教科书公式（15-23）
− ρϕ ϕ 2 )e ρ + ( ρϕ + 2 ρ )eϕ = 0 ar = (ρ
习题 16-9 图
— 91 —
⎧ρ = ρϕ 2 ⎪ ϕ 2ρ ⎨ = − ⎪ϕ ρ ⎩
y
证法 2：建立图（a）坐标系 Bxy，则 cos ϕ A = − ρ sin ϕ ⋅ ϕ +ρ x A = ρ cos ϕ ， x sin ϕ A = ρ cos ϕ ⋅ ϕ +ρ y A = ρ sin ϕ ， y
v e = v B sin ϕ
习题 16-5 图
υe υB υr
O
ϕ ϕ
C
ω OA =
ve v sin ϕ = B （2） OC OC v r = v B cos ϕ
aB
n ae
(c)
aτ e ar
ϕ
C
3、a 分析（图 d）
n a B = ae + aτ e + a r + a C （3）
（3）向 aC 向投影，得
υe υa υr
B A
C
x
(a) 习题 16-1 图
解：动点：A（OA 上） ，动系：BC，绝对运动：图周，相对运动：直线，牵连运动：平 移。 v a = v e + v r （图 a）
v a = rω = r ⋅ π n π × 90 = 0.2 × = 0.6πm/s 30 30 = v e = v a sin 30° = 0.3π= 0.942 m/s（↑）
2 = 2eω 0 +
16－8 机械式钟表上的曲柄 AOD 可绕轴 O 摆动，A 端销钉可在滑块 B 的滑槽内相对 滑动。滑块 B 可在固定轴上水平滑动。活塞杆 CE 的 C 端为一销钉，可在曲柄 AOD 的滑槽 内相对滑动。现已知滑块 B 以等速 υ B = 1 m/s 向右运动， θ = 30° ，尺寸如图所示。试求活塞 杆 CE 的加速度 a。 υa υ
aC
ϕ
(d)
— 88 —
− a B sin ϕ = − a τ e + aC
其中 a C = 2ω OA v r =
aτ e OC
2 vB sin 2ϕ OC
aτ e = a B sin ϕ + a C
α OA =
（b） ： 1、运动分析：动点：A（OA 上） ； 动系：B；绝对运动：圆周运动；相对 运动：直线；牵连运动：平移。 2、v 分析（图 e）
3 rω （→） 3
16－4 图示瓦特离心调速器以角速度 ω 绕铅垂轴转动。由于机器负荷的变化，调速器 重球以角速度 ω 1 向外张开。如 ω = 10 rad/s， ω 1 = 1.21 rad/s；球柄长 l = 0.5m；悬挂球柄的支 点到铅垂轴的距离 e = 0.05m；球柄与铅垂轴夹角 α = 30°。试求此时重球的绝对速度。 解： 动点： A， 动系： 固连于铅垂轴， z′ 绝对运动：空间曲线，相对运动：圆周 e 运动，牵连运动：定轴转动。
v a = ( −3, 0.520, 0.300) m/s
v e = −3i ′ m/s
y′
习题 16-4 图
x′
(a)
16－5 图 a、b 所示两种情形下， 物块 B 均以速度 vB、 加速度 aB 沿水平直 线向左作平移，从而推动杆 OA 绕点 O 作定轴转动。图（a）中，物块 B 高 h； 图（b）中，OA = r， ϕ = 40°。试问若 应用点的复合运动方法求解杆 OA 的角 速度与角加速度，其计算方案与步骤应 当怎样？将两种情形下的速度与加速度 分量标注在图上，并写出计算表达式。 解： （a） ： 1、运动分析：动点：C（B 上） ； 动系：OA；绝对运动：直线；相对 运动：直线；牵连运动：定轴转动。 2、v 分析（图 c） v B = ve + vr （1）
习题 16-6 图
=
n ae
+ a rn
cos 15° + a C cos 15° − a τ r sin 15° sin 15° + a rn
（1）
aτ a =
τ aτ e + a r cos 15° + a C
sin 15° （2）
n ⎧a e = OA ⋅ ω 2 = 4 cos 15° × 4 2 = 64 cos 15° ⎪ ⎪ n v r2 5 2 = ⎪a r = 2 r ⎪ ⎪ ⎨a C = 2ωv r = 2 × 4 × 5 = 40 ⎪ τ ⎪a r = 8 ⎪a τ = OA ⋅α = 8 cos 15° ⎪ e ⎪ ⎩
3 = 34.2 rad/s 3
2、C 端 动点：C，动系：OD，绝对运动： 直线，相对运动：直线，牵连运动：定 轴转动。 v a = v e + v r （图 c）
v e = OC ⋅ ω OA v r = v e tan θ = 1.13 m/s
n aa = ae + aτ e + a r + a C （图 d）
= − ϕ ϕ 2ρ
ρ
= rϕ 2 ，ρ
解：证法 1： vA、vB 均为常矢量，B 作惯性运动。 在 B 船上记录下的两船距离 ρ 和角 ϕ 为 A 船 相对 B 船运动的结果。以 A 为动点，B 为动系， 则牵连运动为平移，绝对运动为直线，相对运动： 平面曲线。
aa = ae + ar aa = a A = 0 ， aa = a B = 0 ar = 0
va = ve + vr
υa υe
r
υr
A
va =
vB sin ϕ v vB = a = OA r sin ϕ
ω OA
O
ϕ
(e)
3、a 分析（图 f）
n aa + aτ a = ae + ar
aτ a
ae
n aa
ar
上式向 ae 向投影，得
n aa cos ϕ + a τ a sin ϕ = a e
向垂直于 aC 方向投影，得
− a a cos θ = aτ e + aC aτ + aC OC ⋅α + 2ωv r =− aa = − e =− cos θ cos θ
0.22 × 34.2 /( 3 ) + 2 × 7.70 ×1.13 2 2 = −30.1 m/s （↑） 3 2
16－9 A、B 两船各自以等速 vA 和 vB 分别沿直线航行，如图所示。B 船上的观察者记 录下两船的距离 ρ 和角 ϕ ，试证明：
n aa = 2 2 va vB = r r sin 2 ϕ
A
n aτ a = ( a B − a a cos ϕ ) / sin ϕ
O
ϕ
(f)
α OA =
aτ aτ a = a OA r
16－6 图示圆环绕 O 点以角速度 ω = 4 rad/s，角加速度 α = 2rad/s2 转动。圆环上的套管 A 在图示瞬时相对圆环有速度 5m/s，速度数值的增长率 8m/s2。试求套管 A 的绝对速度和加 速度。 解：1、运动：动点：A，动系：圆环，牵连运 动：定轴转动，相对运动：圆周运动，绝对运动： 平面曲线。 2、速度： （图 a）
r
A
A
θ θ
υe
aτ a
θ
ar
(b)
n aa
α
ωA
ω OA
O
O
习题 16-8 图 (a)
— 90 —
υr
θ
C
υa υe
ω
O
E
解：1、A 端 动点：A（OA 上） ，动系：B，绝对运动：圆周， 相对运动：直线，牵连运动：平移。 v a = v e + v r （图 a）
va = ve v 2 = B = m/s cos θ cos θ 3 v = a = 7.70 rad/s 0.15
n ae
ω OA
aτ e
ar
n aa + aτ a = a r （图 b）
C
θ
向垂直于 ar 方向投影，得
n aa sin θ − a τ a cos θ = 0
α
aτ a =
n aa
tan θ
2 lωOA ⋅ tan θ
O
θ
ω
(d)
aa
aC
α=
aτ a = l
aτ a tan θ l
=
l
= 7.702 ×
工程力学（2）习题全解
第 16 章 点的复合运动
16－1 图示正弦机构的曲柄 OA 长 200mm，以 n = 90 r/min 的等角速转动。曲柄一端用 销子与在滑道 BC 中滑动的滑块 A 相连，以带动滑道 BC 作往返运动。试求当曲柄与 Ox 轴 的夹角为 30°时滑道 BC 的速度 v。
O
ω
O ω
15o
O
ω
α
C
C
r = 2m
30o
15o n aa
n ar
n ae
A
e — —υ 89
A
υr
aτ a
(a)
aτ e
wk.baidu.com
υa
aτ r
(b)
aC
代入（1）
n aa = 116.5 cos 15° − 8 sin 15° = 110.46 m/s
2
代入（2）
2 aτ a = 16 cos 15° + 52.5 sin 15° = 29.04 m/s
习题 16-2 图
代入（2） ，得
y = a sin(
ω1 x ) ω0r
16－3 图示刨床的加速机构由两平行轴 O 和 O1、曲柄 OA 的滑道摇杆 O1B 组成。曲柄 OA 的末端与滑块铰接，滑块 已知曲柄 OA 长 r 并以等角速度 可沿摇杆 O1B 上的滑道滑动。 ω 转动，两轴间的距离是 OO1 = d。试求滑块在滑道中的相对 运动方程，以及摇杆的转动方程。 解：分析几何关系：A 点坐标 x1 cos ϕ = r cos ωt + d （1） x1 sin ϕ = r sin ωt （2） （1） 、 （2）两式求平方，相加，再开方，得： 1．相对运动方程
— 87 —
习题 16-3 图
x1 = r 2 cos 2 ωt + 2rd cos ωt + d 2 + r 2 sin 2 ωt = d 2 + r 2 + 2rd cos ωt
将（1） 、 （2）式相除，得： 2．摇杆转动方程：
tan ϕ = r sin ωt r cos ωt + d
当 ϕ = 30°时，vBC = 0 当 ϕ = 60°时， v BC = −
cos ϕ − 2 ρ ϕ A = ρ sin ϕ − ρϕ 2 cos ϕ − ρϕ sin ϕ x − ρϕ ϕ 2 ) cos ϕ − (2 ρ + ρϕ ) sin ϕ = (ρ sin ϕ + 2 ρ ϕ A = ρ cos ϕ − ρϕ 2 sin ϕ + ρϕ cos ϕ y ϕ − ρϕ + ρϕ ) cos ϕ + ( ρ 2 ) sin ϕ = (2 ρ
OA = 2r cos 15° = 2 × 2 cos 15° v e = OA ⋅ ω = 4 cos 15° × 4 = 16 cos 15°
v r = 5 m/s
2 va = ve + v r2 + 2v e v r cos 15° = 20.3 m/s
3、加速度： （图 b）
n n n τ τ aτ a + aa = ae + ae + ar + a r + aC n aa
va = ve + vr
a
v e = (e + l sin α )ω = 3 m/s v r = lω 1 = 0.605 m/s
2 va = ve + v r2 = 3.06 m/s
υe
ω1
B
ω
A
或
v r = v r cos αj ′ + v r sin αk ′ = 0.520 j ′ + 0.300k ′
向 a rn 投影，得
aa cos 30° = ae cos 30° + a rn − aC aa = ae + a rn − a C 2 v r2 2 = 2eω e + ( − 2ω 0 v r ) cos30° 3 3e 2 16 4 3 2 2 2 ( eω 0 − 2ω 0 eω 0 ) = eω 0 （↓） 3 9 3 3 3
2 3 4 3 eω 0 （↑） ， v r = 2v a = eω 0 3 3
3． a a = a e + a rn + a τ r + a C （图 b）
υa υe
A
υr
aC
A
aτ r
O
C
ae
n ar
C
O
(b)
习题 16-7 图
(a)
2 2 a a = (a an ) 2 + (a τ a ) = 114 m/s
16－7 图示偏心凸轮的偏心距 OC = e，轮半径 r = 3e 。凸轮以等角速度 ω 0 绕 O 轴转 动。设某瞬时 OC 与 CA 成直角，试求此瞬时从动杆 AB 的速度和加速度。 解：1．动点：A（AB 上） ，动系：轮 O，绝对运动：直线，相对运动：圆周，牵连运 动：定轴转动。 2． v a = v e + v r （图 a）
v BC
16－2 图示记录装置中的鼓轮以等角速度 ω 0 转动，鼓轮 的半径为 r。自动记录笔连接在沿铅垂方向并按 y = a sin(ω 1t ) 规 律运动的构件上。试求记录笔在纸带上所画曲线的方程。 解： x = rω 0 t （1） y = a sin(ω 1t ) （2） 由（1）
t= x rω 0
由教科书公式（15-23）
− ρϕ ϕ 2 )e ρ + ( ρϕ + 2 ρ )eϕ = 0 ar = (ρ
习题 16-9 图
— 91 —
⎧ρ = ρϕ 2 ⎪ ϕ 2ρ ⎨ = − ⎪ϕ ρ ⎩
y
证法 2：建立图（a）坐标系 Bxy，则 cos ϕ A = − ρ sin ϕ ⋅ ϕ +ρ x A = ρ cos ϕ ， x sin ϕ A = ρ cos ϕ ⋅ ϕ +ρ y A = ρ sin ϕ ， y
v e = v B sin ϕ
习题 16-5 图
υe υB υr
O
ϕ ϕ
C
ω OA =
ve v sin ϕ = B （2） OC OC v r = v B cos ϕ
aB
n ae
(c)
aτ e ar
ϕ
C
3、a 分析（图 d）
n a B = ae + aτ e + a r + a C （3）
（3）向 aC 向投影，得
υe υa υr
B A
C
x
(a) 习题 16-1 图
解：动点：A（OA 上） ，动系：BC，绝对运动：图周，相对运动：直线，牵连运动：平 移。 v a = v e + v r （图 a）
v a = rω = r ⋅ π n π × 90 = 0.2 × = 0.6πm/s 30 30 = v e = v a sin 30° = 0.3π= 0.942 m/s（↑）
2 = 2eω 0 +
16－8 机械式钟表上的曲柄 AOD 可绕轴 O 摆动，A 端销钉可在滑块 B 的滑槽内相对 滑动。滑块 B 可在固定轴上水平滑动。活塞杆 CE 的 C 端为一销钉，可在曲柄 AOD 的滑槽 内相对滑动。现已知滑块 B 以等速 υ B = 1 m/s 向右运动， θ = 30° ，尺寸如图所示。试求活塞 杆 CE 的加速度 a。 υa υ
aC
ϕ
(d)
— 88 —
− a B sin ϕ = − a τ e + aC
其中 a C = 2ω OA v r =
aτ e OC
2 vB sin 2ϕ OC
aτ e = a B sin ϕ + a C
α OA =
（b） ： 1、运动分析：动点：A（OA 上） ； 动系：B；绝对运动：圆周运动；相对 运动：直线；牵连运动：平移。 2、v 分析（图 e）
3 rω （→） 3
16－4 图示瓦特离心调速器以角速度 ω 绕铅垂轴转动。由于机器负荷的变化，调速器 重球以角速度 ω 1 向外张开。如 ω = 10 rad/s， ω 1 = 1.21 rad/s；球柄长 l = 0.5m；悬挂球柄的支 点到铅垂轴的距离 e = 0.05m；球柄与铅垂轴夹角 α = 30°。试求此时重球的绝对速度。 解： 动点： A， 动系： 固连于铅垂轴， z′ 绝对运动：空间曲线，相对运动：圆周 e 运动，牵连运动：定轴转动。
v a = ( −3, 0.520, 0.300) m/s
v e = −3i ′ m/s
y′
习题 16-4 图
x′
(a)
16－5 图 a、b 所示两种情形下， 物块 B 均以速度 vB、 加速度 aB 沿水平直 线向左作平移，从而推动杆 OA 绕点 O 作定轴转动。图（a）中，物块 B 高 h； 图（b）中，OA = r， ϕ = 40°。试问若 应用点的复合运动方法求解杆 OA 的角 速度与角加速度，其计算方案与步骤应 当怎样？将两种情形下的速度与加速度 分量标注在图上，并写出计算表达式。 解： （a） ： 1、运动分析：动点：C（B 上） ； 动系：OA；绝对运动：直线；相对 运动：直线；牵连运动：定轴转动。 2、v 分析（图 c） v B = ve + vr （1）
习题 16-6 图
=
n ae
+ a rn
cos 15° + a C cos 15° − a τ r sin 15° sin 15° + a rn
（1）
aτ a =
τ aτ e + a r cos 15° + a C
sin 15° （2）
n ⎧a e = OA ⋅ ω 2 = 4 cos 15° × 4 2 = 64 cos 15° ⎪ ⎪ n v r2 5 2 = ⎪a r = 2 r ⎪ ⎪ ⎨a C = 2ωv r = 2 × 4 × 5 = 40 ⎪ τ ⎪a r = 8 ⎪a τ = OA ⋅α = 8 cos 15° ⎪ e ⎪ ⎩
3 = 34.2 rad/s 3
2、C 端 动点：C，动系：OD，绝对运动： 直线，相对运动：直线，牵连运动：定 轴转动。 v a = v e + v r （图 c）
v e = OC ⋅ ω OA v r = v e tan θ = 1.13 m/s
n aa = ae + aτ e + a r + a C （图 d）
= − ϕ ϕ 2ρ
ρ
= rϕ 2 ，ρ
解：证法 1： vA、vB 均为常矢量，B 作惯性运动。 在 B 船上记录下的两船距离 ρ 和角 ϕ 为 A 船 相对 B 船运动的结果。以 A 为动点，B 为动系， 则牵连运动为平移，绝对运动为直线，相对运动： 平面曲线。
aa = ae + ar aa = a A = 0 ， aa = a B = 0 ar = 0
va = ve + vr
υa υe
r
υr
A
va =
vB sin ϕ v vB = a = OA r sin ϕ
ω OA
O
ϕ
(e)
3、a 分析（图 f）
n aa + aτ a = ae + ar
aτ a
ae
n aa
ar
上式向 ae 向投影，得
n aa cos ϕ + a τ a sin ϕ = a e
向垂直于 aC 方向投影，得
− a a cos θ = aτ e + aC aτ + aC OC ⋅α + 2ωv r =− aa = − e =− cos θ cos θ
0.22 × 34.2 /( 3 ) + 2 × 7.70 ×1.13 2 2 = −30.1 m/s （↑） 3 2
16－9 A、B 两船各自以等速 vA 和 vB 分别沿直线航行，如图所示。B 船上的观察者记 录下两船的距离 ρ 和角 ϕ ，试证明：
n aa = 2 2 va vB = r r sin 2 ϕ
A
n aτ a = ( a B − a a cos ϕ ) / sin ϕ
O
ϕ
(f)
α OA =
aτ aτ a = a OA r
16－6 图示圆环绕 O 点以角速度 ω = 4 rad/s，角加速度 α = 2rad/s2 转动。圆环上的套管 A 在图示瞬时相对圆环有速度 5m/s，速度数值的增长率 8m/s2。试求套管 A 的绝对速度和加 速度。 解：1、运动：动点：A，动系：圆环，牵连运 动：定轴转动，相对运动：圆周运动，绝对运动： 平面曲线。 2、速度： （图 a）
r
A
A
θ θ
υe
aτ a
θ
ar
(b)
n aa
α
ωA
ω OA
O
O
习题 16-8 图 (a)
— 90 —
υr
θ
C
υa υe
ω
O
E
解：1、A 端 动点：A（OA 上） ，动系：B，绝对运动：圆周， 相对运动：直线，牵连运动：平移。 v a = v e + v r （图 a）
va = ve v 2 = B = m/s cos θ cos θ 3 v = a = 7.70 rad/s 0.15
n ae
ω OA
aτ e
ar
n aa + aτ a = a r （图 b）
C
θ
向垂直于 ar 方向投影，得
n aa sin θ − a τ a cos θ = 0
α
aτ a =
n aa
tan θ
2 lωOA ⋅ tan θ
O
θ
ω
(d)
aa
aC
α=
aτ a = l
aτ a tan θ l
=
l
= 7.702 ×
工程力学（2）习题全解
第 16 章 点的复合运动
16－1 图示正弦机构的曲柄 OA 长 200mm，以 n = 90 r/min 的等角速转动。曲柄一端用 销子与在滑道 BC 中滑动的滑块 A 相连，以带动滑道 BC 作往返运动。试求当曲柄与 Ox 轴 的夹角为 30°时滑道 BC 的速度 v。
O
ω
O ω
15o
O
ω
α
C
C
r = 2m
30o
15o n aa
n ar
n ae
A
e — —υ 89
A
υr
aτ a
(a)
aτ e
wk.baidu.com
υa
aτ r
(b)
aC
代入（1）
n aa = 116.5 cos 15° − 8 sin 15° = 110.46 m/s
2
代入（2）
2 aτ a = 16 cos 15° + 52.5 sin 15° = 29.04 m/s
习题 16-2 图
代入（2） ，得
y = a sin(
ω1 x ) ω0r
16－3 图示刨床的加速机构由两平行轴 O 和 O1、曲柄 OA 的滑道摇杆 O1B 组成。曲柄 OA 的末端与滑块铰接，滑块 已知曲柄 OA 长 r 并以等角速度 可沿摇杆 O1B 上的滑道滑动。 ω 转动，两轴间的距离是 OO1 = d。试求滑块在滑道中的相对 运动方程，以及摇杆的转动方程。 解：分析几何关系：A 点坐标 x1 cos ϕ = r cos ωt + d （1） x1 sin ϕ = r sin ωt （2） （1） 、 （2）两式求平方，相加，再开方，得： 1．相对运动方程
— 87 —
习题 16-3 图
x1 = r 2 cos 2 ωt + 2rd cos ωt + d 2 + r 2 sin 2 ωt = d 2 + r 2 + 2rd cos ωt
将（1） 、 （2）式相除，得： 2．摇杆转动方程：
tan ϕ = r sin ωt r cos ωt + d
当 ϕ = 30°时，vBC = 0 当 ϕ = 60°时， v BC = −
cos ϕ − 2 ρ ϕ A = ρ sin ϕ − ρϕ 2 cos ϕ − ρϕ sin ϕ x − ρϕ ϕ 2 ) cos ϕ − (2 ρ + ρϕ ) sin ϕ = (ρ sin ϕ + 2 ρ ϕ A = ρ cos ϕ − ρϕ 2 sin ϕ + ρϕ cos ϕ y ϕ − ρϕ + ρϕ ) cos ϕ + ( ρ 2 ) sin ϕ = (2 ρ
OA = 2r cos 15° = 2 × 2 cos 15° v e = OA ⋅ ω = 4 cos 15° × 4 = 16 cos 15°
v r = 5 m/s
2 va = ve + v r2 + 2v e v r cos 15° = 20.3 m/s
3、加速度： （图 b）
n n n τ τ aτ a + aa = ae + ae + ar + a r + aC n aa
va = ve + vr
a
v e = (e + l sin α )ω = 3 m/s v r = lω 1 = 0.605 m/s
2 va = ve + v r2 = 3.06 m/s
υe
ω1
B
ω
A
或
v r = v r cos αj ′ + v r sin αk ′ = 0.520 j ′ + 0.300k ′
向 a rn 投影，得
aa cos 30° = ae cos 30° + a rn − aC aa = ae + a rn − a C 2 v r2 2 = 2eω e + ( − 2ω 0 v r ) cos30° 3 3e 2 16 4 3 2 2 2 ( eω 0 − 2ω 0 eω 0 ) = eω 0 （↓） 3 9 3 3 3