从刘徽到祖冲之

割圆术
• 刘徽“割圆术”的基本思想是“化圆为 方”。他指出：“割之弥细，所失弥少 ；割之又割，以至于不可割，则与圆周 合体而无所失矣。”这段注文充分说明 了刘徽对极限概念.
• 刘徽从圆的内接正六边形出发，并取 半径为1尺，一直推算到圆的内接正 192边形。得到圆周率的近似值为 π≈3.14，为分数就是157/50，这就是 著名的“徽率”。
没有圆规，如何画圆？
先在地上固定一个木棒
在绑上一条绳子
然后拉紧绳子绕木棒一圈， 就可画个圆。
没有算盘，如何计算？
• 那是算盘还未出现，人们普遍使用的计算 工具叫算筹，它是一根根几寸长的方形或 扁形的小棍子，有竹、木、铁、玉等各种 材料制成。通过对算筹的不同摆法，来表 示各种数目，叫做筹算法。如果计算数字 的位数越多，所需要摆放的面积就越大。 用算筹来计算不象用笔，笔算可以留在纸 上，而筹算每计算完一次就得重新摆动以 进行新的计算；只能用笔记下计算结果， 而无法得到较为直观的图形与算式。因此 只要一有差错，比如算筹被碰偏了或者计 算中出现了错误，就只能从头开始。
中世纪的中国数学
从刘徽到祖冲之
走近刘徽
• 刘徽，魏晋时期人，祖籍淄乡（今山东临淄或 淄川一带），生卒年月不详。魏晋期间伟大的 数学家，中国古典数学理论的奠基者之一。他 的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中 国最宝贵的数学遗产。刘徽数学成就中最突出 的是“割圆术”和“体积理论”。 • 刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高 尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华 民族留下了宝贵的财富。
这是中国数学史上第一次获得的正确的球体积公式。
阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周 率17位精确小数值，打破祖冲之保持近 千年的纪录。 德国数学家柯伦于1596 年将π 值算到20位小数值，后投入毕生 精力，于1610年算到小数后35位数，该 数值被用他的名字称为鲁道夫数。 1706年英国数学家梅钦计算π 值突破 100位小数大关。到1948年英国的弗格 森和美国的伦奇共同发表了π 的808位 小数值，成为人工计算圆周率值的最高 纪录。 2011年10月16日，日本近藤茂 利用家中电脑将圆周率计算到小数点后 10万亿位，刷新了吉尼斯世界纪录。
谢 谢 观 看
祖冲之的儿子祖暅，字景烁，也精通历法、 数学。父子俩都对《九章算术》与刘徽注有 浓厚的兴趣。祖氏父子在研究《九章算术》 及刘徽注时发现了刘徽遗留下的如何计算“ 牟合方盖”的体积问题，并开始沿着刘徽开 辟的道路继续探索，经父子两代人不懈的努 力，终于由祖暅解决了牟合方盖体积的计算 ，得到牟合方盖与其外切正方体的体积比为 2/3，解决了球体积的计算问题，得到正确的 球体积公式。
为纪念祖冲之 这位伟大的古 代科学家，人 们将月球背面 的一座环形山 命名为“祖冲 之环形山”， 把小行星1888 命名为“祖冲 之小行星”。
让我们想一想，在一千五百多年前的南朝时 代，一位中年人在昏暗的油灯下，手中不停地 算呀、记呀，还要经常地重新摆放数以万计的 算筹，这是一件多么艰辛的事情，而且还需要 日复一日地重复这种状态，一个人要是没有极 大的毅力，是绝对完不成这项工作的。 所以，这一光辉成就，也充分反映了我 国古代数学高度发展的水平。祖冲之，不仅受 到中国人民的敬仰，同时也受到世界各国科学 界人士的推崇。我们更应该纪念像祖冲之这样 的科学家，珍视他们的宝贵遗产。
机械技术方面的贡献
• 重新造出早 已失传的指 南车、千里 船、水碓磨 等巧妙机械 多种。
数学方面的贡献
圆周率
• 祖冲之继承了刘徽的思想，其最突出的成 就是对圆周率值的推算。 • 在世界数学史上第一次将圆周率（π ）值 计算到小数点后六位，即3.1415926到 3.1415927之间。由于中国古代习惯使用分 数，故祖冲之又给出了圆周率的两个分数 值：他提出约率22/7和密率355/113，这一 密率值是世界上最早提出的，比欧洲早 1100年，所以有人主张叫它“祖率”也就 是圆周率的祖先。 • 刘徽：192边形。 • 祖冲之：24576边形。
倒方锥V的体积，等于三个小立方体Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的体积之和， 因此等于从外切正方体中挖去牟合方盖的部分即Ⅰ的体积。
• 由命题Z，那么倒方锥V的体积易知是 (r是正方体边 长，也是内切球半径长)。于是牟合方盖八分之一的体积应 是 ，整个牟合方盖的体积应为 。根据刘 徽已证结果，应有： • 由此可得： • （D为直径）

刘徽在这里熟练地运用了出入相补原理和无穷分求和原理。
• “牟合方盖”：在一立方体内作两个相互垂直的内切圆柱，这两个 圆柱体相交的部分。
（2）球体积
V牟：V球=4：π
刘徽虽然没有推证出球体积公式，但他创用的特殊形式的不可分量方法，成为祖 冲之父子在球体积问题上取得突破先导。
走近祖氏父子
• 祖冲之，是我国杰出的数学家、天文学 家、文学家、地质学家、地理学家和科 学家。南北朝时齐人，汉族，字文远,祖 籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。
• 祖冲之的主要成就在数学、天文历法和 机械技术三个领域。此外祖冲之精通音 律，擅长下棋，还写有小说《述异记》 。祖冲之著述很多，但大多都已失传。 祖冲之是一位少有的博学多才的人物。
天文历法方面的贡献
• 祖冲之编制了一部新的历法《大明历》。这是当时 世界上最先进的历法。 • 第一次将“岁差”引进历法。提出在391年中设置 144个闰月。首次精密测出交点月日数（27.21223） ，回归年日数（365.2428）等数据，误差只有50秒 左右。 • 还发明了用圭表测量冬至前后若干天的正午太阳影 长以定冬至时刻的方法。
体积理论 （1）阳马术
D1 A1 C1
D1 A1 A1
D1
C1 B1
B1
D
C B
D
C B B
C
A
长方体
D1
D1 A1
A
壍堵
D1 A1
阳马
D C B
Biblioteka Baidu壍堵
A
D
C B
A A
鳖臑
B
• “阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。”（阳马的体积Y与鳖臑体积B 之比2：1，由此可推出阳马的体积公式Y=1/3abc,abc分别为长方体的 三边之长，“不易之率”意为对任意长方体都成立。）