置换群的应用

按行算：每行√数是在置换g之下不变的x的个数。总数即gG|F(g)| 按列算：每列√数是保持特定x不变的置换的个数，总数即xX|Gx|
Burnside定理
xX|Gx| = t•|G| gG|F(g)| = xX|Gx| 於是：
t 1 | F (g )
| G | gG
项链问题的解
3个黑珍珠和6个白珍珠能做出多少样式不同的项链？
|X|=84, 即C93 (Why?) |G|=18 9个旋转，9个翻转
对每个翻转g, |F(g)|=4
旋转0°的|F(g)|=84; 旋转120° 和240° 的|F(g)| 各为3；
其它均为0。
结果是：
(4•9+84+3•2)/18
=⑦
翻转
顺时针旋转 80
轴
没有几何结构的例子
3个输入的逻辑电路有多少种”真正”不同的?
而对称旋转即置换群的元素。我们称“(置换) 群作用于S，也作用于C。”
比立方体简单一点的例子
3个黑珍珠和6个白珍珠能做出多少样式不同的 项链？
翻转
顺时针旋转80
轴
置换群诱导的等价关系
假设G是集合X上的置换群。定义X上的关系“”如 下：
x,yX, xy gG, 使得g(x)=y
“”是等价关系
则xX, h-1((x))=h-1(y)=x, 即h-1Gx, Gxh
轨道的大小
子群与相应的陪集等势，因此：若yGx, |G(xy)|=0。
|G(xy)|=|Gx|,
否则
对任意xX, x所在的轨道的大小与保持x不变的置换的个数的 乘积与x无关。
给定xX, 构造如下的矩阵：
y
g
√
g行y列有√表示：g(x)=y
若 hGy, 令 =h (Gy), 则 xX, (x)=(h(x))=(y)=y, G(xy)
若 G(xy), 则 yX, (h-1(y))=(x)=y, 即 h1Gy, hGy
所以，对每个轨道，yGx|Gy|=|Gx||Gx|=|G|,
yGx|Gy|是“一个轨道中保持各元素不变的置换的总数”
(001, 100, 010)与(011, 101, 110)分别构成环, 其函数值相等的函 数将分别保持它们不变, 因此,共有24个, 而这样的置换有2个. 恒等置换保持所有的256个函数不变. 因此, 不同的电路数: (256+326+224)/6=80
作业
Z5是“模5剩余加群”，(x)=2x (mod 5) 是Z5 上的一个置换。 G是以为生成元的循环置换 群，写出G中的元素，并求出G的轨道。
上一讲内容的回顾
变换和变换群 置换及其表示 置换群 任意群与变换群同构 置换群的应用
置换群的应用
置换群诱导的等价关系 轨道 轨道的大小 轨道的个数-Burnside定理 Burnside定理的应用
相同？不同？
x y z t
x y z t
4个变量, 可能的输入值有24个; f(x,y,z,t) 因此, 可以定义216(65,536)个
对√计数：按行数：每行恰有1个√。总数为|G|。按列数，若某 个yGx, 则该列恰有|G(xy)|=|Gx|个√，否则为空列。所以：
|Gx||Gx|=|G|
yGx|Gy|值与所在轨道无关
对任意的yX, 若yGx, 则|Gx|=|Gy| 实 际 上 ， G(xy) 是 Gy 的 左 陪 集 ： 即 hG(xy), G(xy)= hGy
G中所有“保持x不变”的置换的集合：
Gx={g|gG, 且g(x)=x} 注意：Gx构成子群(只需证明封闭性)。 G(xy)是Gx的右陪集：hG(xy), G(xy)=Gxh 若Gxh, 令=h(Gx),
则xX, (x) = h((x)) = h(x) =y, G(xy) 若 G(xy),
不同的函数。
但是，Biblioteka Baidu的需要这么多种电路吗？
x⋁y
由于对称性，只要调整接入线， 同样的电路可以实现不同的函
数。 f(x,y,z,t)
z⋁t
等价类计数
如果定义上述函数的集合上的关系R：函数f1, f2满足 关系关系R当且仅当它们可以用同一个电路实现(只需调 整接入方式，也可以用外部转相器)。
显然，上述关系R是等价关系。 可以用同一电路实现的所有函数包含在同一个等价类
自反性：置换群中的单位元素一定是恒等映射。 对称性：由群的逆元素性保证。 传递性：由群的封闭性保证。
将关系""所决定的等价类记为Gx:
Gx={y|yX, 且gG, 使得g(x)=y}
这样的等价类称为X上G的轨道。
保持x不变的置换构成子群
G中所有“将x变为y”的置换构成的集合：
G(xy) = {g|gG, 且g(x)=y}
可能的输入共有8个(相当与珠子). 可能的输出共有2个(相当于颜色). 由于没有几何对称的限制, 我们考虑S3上所有的置换(共6个). 对于对换(1 2), 保持不变的元素由f (0,1,x) = f(1,0,x)确定, 有26个.
而这样的对换共有3个. 对于置换(1 2 3), (000, 111)总是不变, 因此函数值可以任意设定;
中。 因此，计算需要多少种不同电路才能实现所有可能的
函数问题就转化为等价类计数问题。
对称在计数中的作用
用6种不同颜色给正方体的六个面着
色，每个面有6中选择，假如给定每
个面的编号，不同的着色序列有6！
(=720)个，但哪些是“真正”不同
的？
90
180
180
120
6种
3种
6种
8种
1种
因此：不同的着色有6!/(6+3+6+8+1)=30种
更一般的情况
如果不是每个面的着色都不同, 比如有两个面 是红的，如何判断两种着色是“真正”不同？
设着色对象的集合是S，允许使用的颜色的集 合是C(我们只考虑有限集)。一种着色方案就是一个 函数f:SC。f与f2被认为“实际上”是一样的， 当且仅当在所允许的变换(即前面例子中的对称旋转)下， f1能转变为f2或相反。
轨道的个数
令轨道数为t, 因为每个轨道中保持各元素不变的置换的总数均为 |G|, xX|Gx| = t•|G|。
F计(g算)表x示X在|G置x|容换易g之，下而保且持：不变的x的个数。计算gG|F(g)|显然比 gG|F(g)| = xX|Gx|
利用下列矩阵计数：
x
g
√ g行x列有√表示：g(x)=x