高等数学(下册)各章总复习试题和答案及解析

第八章 多元函数微分法及其应用

8.01 在“充分”，“必要”，“充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内：

（1）()y ,x f 在点()y ,x 可微分是()y ,x f 在该点连续的充 分条件；()y ,x f 在点()y ,x 连续是

()y ,x f 在该点可微分的必 要条件。

（2）)y ,x (f z =在点()y ,x 的偏导数x z ∂∂及y z

∂∂存在是()y ,x f 在该点可微分的必 要条件；

)y ,x (f z =在点()y ,x 可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及y z

∂∂存的充 分条件。

（3）)y ,x (f z =的偏导数x z ∂∂及y z

∂∂点()y ,x 存在且连续是()y ,x f 在该点可微分的充 分条

件。

（4）函数()y ,x f z =的两个二阶混合偏导数y x z 2∂∂∂及x y z

2∂∂∂在区域D 内连续是这两个二阶

混合偏导数在D 内相等的充 分条件。

8.02求函数

()()

2

2

2

y

x 1ln y x 4y ,x f ---=

的定义域，并求()

y ,x f lim 0

y 2

1x →→

。

解：1)⎩⎨⎧≤<+<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-->--≥-x

4y 1y x 01y x 10y x 10y x 4222222

22，定义域：(){}

x 4y ,1y x 0y ,x D 2

22≤<+<=

2)由初等函数的连续性知：

4

3ln 2

0211ln 02

14)0,21

(f )y ,x (f lim 2220

y 21x =

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯

==→→

+

8.03 证明极限

422

y 0x y x xy lim

+→→不存在。

证明：当点()y ,x 沿用x k y 1=趋于点()0,0时，有

2

22220x 4220

x k y 0x k 1k x k x kx lim y x xy lim 1+=+=+++→→=→，显然它是随着k 的不同而改变的，

故：极限422

y 0x y x xy lim

+→→+不存在。

8.04 设

()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x ,00

y x ,y

x y

x y ,x f 22222

22 求 ()y ,x f x 及 ()y ,x f y

解：1) 当0y x 2

2

≠+时，

()(

)

()

()

()(

)

()

()

2

222

242

22

2222y 2

2

2

3

2

22

222x y x y x x y x

y

2y x y x x y ,x f y x

xy 2y

x x 2y x y x xy 2y ,x f +-=

+⋅-+=

+=

+⋅-+= 2) 当0y x 2

2=+时， ()()0x 0,0f 0,x 0f lim 0x =∆-∆+→∆ ，故：()00,0f x = ()()0y 0,0f y 0,0f lim 0y =∆-∆+→∆ ，故：()00,0f y

= 于是：

()()

⎪⎩⎪

⎨⎧=+≠++=0y x ,

00y x ,2y x x y 2y ,x f 222223

x

()()()

⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0y x ,

00y x ,y x y x x y ,x f 22222

22222y

8.05求下列函数的一阶和二阶导数： （1）(

)2

y

x ln z +=；

解：22y x y

2y z ,y x 1

x z +=

∂∂+=∂∂

()222222y x 1y x 1x x z +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂ ，()2222y x y

2y x 1

y y x z +-=⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂∂

()()()()2222

22222y x y x 2y x y 2y y x 2y x y 2y y z +-=+⋅-+⋅=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂ （2）y x z

=.

解：x ln x y z

,

x y x

z

y 1y ⋅=∂∂⋅=∂∂-

()()()()

x ln y 1x x ln x y x x y y y x z x

x ln x ln x ln x y z x 1y y x z 1y 1y 1y 1y 2y

2y 222y 22⋅+⋅=⋅⋅+=⋅∂∂

=∂∂∂⋅=⋅⋅=∂∂⋅-⋅=∂∂-----

8.06 求函数2

2

y x x y z -=当03.0y ,01.0x ,1y ,2x =∆=∆==时的全增量和全微分。 解：1) ()()()69412.003.101.203

.101.203.1,01.22

2≈-⨯=

z ，()66667.012121,222≈-⨯=z

()()0274.066667.069412.01,203.1,01.2=-≈-=∆z z

2)

(

)

()

()

2

2

2

3

22

22

22x y x

y y x y

x

x

2xy y x y z ---=

-⋅--=