【公开课教案】高三数学： 专题一 数形结合思想

公开课教案

专题一数形结合思想

【考情分析】

在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测2020年可能有所加强。因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。考纲指出数学科的命题,在考查基础知识的基础上,注重对数学思想思想方法的考查,注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法可以有效提升思维品质和数学技能。

【知识归纳】

数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是以形作为手段，数作为目的；二是以数作为手段，形作为目的。数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围;(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围;(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系;(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式;(5)构建立体几何模型研究代数问题;(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题;(7)构建方程模型，求根的个数;(8)研究图形的形状、位置关系、性质等.

【考点例析】

要点考向1：数轴在集合中的应用

1)≥

例1：设平面点集A={(x,y)|(y-x)(y-

x

0},B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1}，则A ?B 所表示的平面图形的面积为（ ） y

（A) π4

3 (B) π53 (C) π74

(D)2π

【解析】 D 由(y-x)(y-

x 1

)≥0可知?????≥-≥-010x y x y 或??

???≤-≤-010x y x y x 在同一坐标系中做出平面区域如图，由图象可知A ?B 的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为2

π 变式训练一：设A={(x,y)|x 2+(y-1)2=1},B={(x,y)|x+y+m ≥0}，则使A B 成立的实数m 的取值范围是______.

【解析】由于集合A ，B 都是点的集合,故可结合图形进行分析、求解.集合A 是一个圆x 2+(y-1)2=1上的点的集合,集合B 是一个不等式x+y+m ≥0表示的平面区域内的点的集合, 要使A B ，则应使圆被平面区域所包含（如图），

即直线x+y+m=0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有

故m 的取值范围是m ≥

-1.

答案：m ≥

-1

要点考向2：利用数学概念或数学式的几何意义解题

例2：实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：

（1）点（a,b）对应的区域的面积；

（2）的取值范围；

（3）(a-1)2+(b-2)2的值域．

思路精析：列出a,b满足的条件→画出点(a,b)对应的区域→求面积→根据

的几何意义求范围→根据(a-1)2+(b-2)2的几何意义求值域．

解析：方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和（1，2）上的几何意义分别是：函数y=f(x)= x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0，1）和（1，2）内，

由此可得不等式组

由，解得A（-3，1）．

由，解得C（-1，0）．

∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC（不包括边界）．

（1）△ABC的面积为（h为A到Oa轴的距离）．

（2）几何意义是点(a,b)和点D(1,2)边线的斜率．

由图可知

（3）∵(a-1)2+(b-2)2表示的区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方，

注：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：（1）连线的斜率；

（2）之间的距离；

（3）为直角三角形的三边；

（4）图象的对称轴为x=．只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．

变式训练一：

变式训练二：若直线y=kx-1与曲线y=有公共点，则k的取值范围是________.

【解析】∵曲线y=的定义域为［1,3］，且其图象为圆(x-2)2+y2=1的下半圆，如图所示，

则直线y=kx-1要与曲线有公共点，则直线只能处于l1,l2之间，且可与l1、l2重合，则k的取值范围是［0，1］.

答案：［0，1］

要点考向3：用数形结合求方程根的个数，解决与不等式有关的问题例3：（1）已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时，f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是（）

(A)5 (B)7 (C)9 (D)10

(2)设有函数f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x∈[-4,0]时，恒有f(x)≤g(x)，求实数a的范围．

思路精析：（1）画出f(x)的图象→画出y=lgx的图象→数出交点个数．（2）f(x)≤g(x)变形为→画出的图象→