2019-2020年高三数学公开课教案数形结合函数人教版
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教学目的:通过本节课的学习,使学生对如何寻找数学问题中内含的几何意义,充分利用几何图
形的性质,直观、简捷地帮助解决数学问题有一定的认识和体会,对数形结合解题的思想方法有一定的了解,并能用以帮助解题。 情感与技能目标:培养学生辩证的世界观和不屈不挠的探索精神。提高学生观察、分析问题能
力和实践动手能力。 教学重点:“数形结合”解题的思想方法在解决与函数有关问题中的应用。 教学难点:“数”与“形”的转化及变量与不变量之间的关系的探索。 教学手段:多媒体辅助教学
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学,数与形是数学研究的两个重要方面,在研究过程中,数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。“数”与“形”是一对矛盾,它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。在高中阶段较多的是“以形助数”。一般地说:“形”是具有形象,直观的特点,易于从整体上定性地分析问题,“由数想形”便于寻求思路,化难为易;“数”则具有严谨,准确的特点,能够严格论证和定量求解,“数形对照”可以弥补“形”难以精确的弊端。“数无形时少直观,形无数时难人微",华罗庚的诗句精辟地指出了“数形结合"对数学研究和学习的重要性。
数形结合的思想简言之就是代数问题几何化,几何问题代数化,充分体现图形的直观性,代数推理的逻辑性.
一练习:
1.(04天津)定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x ∈[0, ]时,f(x)=sinx ,则f()的值为( D )
A. - B . C. - D . 解析:依据偶函数与周期函数的特征,可以画出y=f(x)的简图
∴f(π)=f(π)= 2.设函数f(x)= ,若f(x 0)>1,则x 0
A. (-1,1)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
3.( 05上海理16) 设定义域为为R 的函数 ,则关于x 的方程 f 2(x )+bf (x )+c = 0有7个不同的实数解的充要条件是 (A) b <0且c >0; (B) b >0且c <0;
(C) b <0且c =0; (D) b ≥0且c =0。
解析:f 2
(x)+bf(x)+c = 0有7个不同的
实数解的充要条件是f 2(x)+bf(x)+c = 0有一根为04.已知a ≥0,函数f(x)=(x 2-2ax)e x
在[-1,1]上是单调函数,则a 的取值范围是________.
解析 令0)2()22()(2=-+-='x
x e ax x e a x x f ,解得 ,.
易知,.
由图可知,当时,函数在
上是单调函数的充要条件是, 即.
二.例题解析
例题1. 求函数y= 的最大值和最小值。
x
?????>≤--0
,0
,1212x x x x
解:函数 y= 可视为:点A(-2,0)与点P(sinx,cosx)的连线的斜率
则y 的最值即为k AP 的最值。而点P 为单位圆上的一个动点,则当直线Ap 与单位圆相切时k AP 取得最值。
设直线AP 的方程为:y=k(x+2),由圆心到直线的距离为1, 则有: 解之得:k=±,
故y 的最大值为: 最小值为:-
小结:从数的形和构:入手,由数想形。建立坐标系,引入参数,化静为动,以动求解。构造
几何模型来求解。
例题2.(xx 全国卷19) 已知c>0 设
P :函数y = c x
在R 上单调递减 ; Q :不等式x+∣x —2c ∣>1的解集为R. 如果P 和Q 有且仅有一个正确,求c 的取值范围。 解:
函数 y=c
在R 上单调递减 则:0
表示对任意的x∈R,函数①的图像恒在函数②的上方,在如图所示的坐标系中,作出函数①和②的图像,
如果P 不正确,且Q 正确,则 c>1
21
2
12
知 2c>1,即 c>如果P 正确,且Q 不正确,则 0 则c ∈(0, ]∪[1,+∞) 小结: 例题3:已知关于x 的方程 x 2+( -2m)x +m 2 -1=0(m 是与x 无关的实数)的两个实根在区间[0, 2]内,求m 的取值范围。 解:令f(x)= x 2+( -2m)x +m 2 -1,由f(x)=0的两根落在区间[0,2]内, x=- ∈[0,2] (对称轴) x=- ∈[0,2] (对称轴) 则有 f(- ) <0 (顶点) △>0 (判别式) f(0)≥0 (端点) f(0)≥0 (端点) f(2)≥0 (端点) f(2)≥0 (端点) 0≤- +2m ≤4 即为 -( -m)2+m 2-1<0 m 2 -1≥0 4+( -2m)2+m 2 -1≥0 解之得:{m|1≤m < } 小结: “以形辅数”,化难为易。转化为熟悉的几何模型来求解 ?????????????????????? ???????????? ? ????????? ?? 思考题:(06上海春21)设函数f(x)=|x 2 -4x-5| (1)在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图像; (2)集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2]∪[6,+∞).试判断集合A 和B 之间的关系,并给出证明; (3)当k>2时,求证在区间[-1,5]上,y=kx+3k 的图像位于函数f(x)图像的上方. 21.解:(1) (2)方程f(x)=5的解分别是2-,0和2+,由于f(x)在(-∞,1]和[-1,2]和[5,+∞)上单调递增,因此A=(-∞,2-]∪[2+,+∞). 由于2+<6, 2->-2, ∴BA (3)[解法一]当x ∈[-1,5]时,f(x)=-x 2 +4x+5 g(x)=k(x+3)-( -x 2 +4x+5) =x 2 +(k-4)x+(3k-5) =(x-) 2 , ∵k>2, ∴<1 ,又-1≤x ≤5, ①当-1≤<1, 即2 取x=, g(x)min == ∵16≤(k-10)2<64 , ∴ (k-10)2 -64<0 , 则g(x)min >0 ②当<-1,既k>6时,取x= -1,g(x)min =2k>0 由①②可知,当k>2时,g(x)>0,x ∈[-1,5] 因此,在[-1,5]上,y=kx+3k 的图像位于函数f(x)图像的上方. [解法二] 当x ∈[-1,5]时,f(x)=-x 2 +4x+5 ,得x 2 +(k-4)x+(3k-5)=0, 令△= (k-4)2 -4(3k-5)=0,解得 k=2或k=18, 在区间[-1,5]上,当k=2时,y=2(x+3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1,8); 当k=18时,y=18(x+3)的图像与函数f(x)的图像没有交点。 如图可知,由于直线y=k(x+3)过点(-3,0),当k>2时,直线y=k(x+3)是由直线y=2(x+3)绕点(-3,0)逆时针方向旋转得到,因此在区间[-1,5]上,y=k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方。 小 结 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过对图形的认识、数形的转化,可以培养思维的灵活性、形象性。通过数形结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化。 一.数形结合的信息转化的三个途径: (1)建立坐标系,引入参数,化静为动,以动求解; (2)转化为熟悉的几何模型来求解; (3)构造几何模型来求解。 二.常用的数学模型: (1)一元二次函数的图像; (2)一元一次函数的图形; (3)定比分点公式; (4)斜率公式; (5)两点间的距离公式; (6)点到直线的距离公式 课后练习 1.(05福建理5) 函数f (x )a x b 的图象如图,其中 a 、b 为常数,则下列结论正确的是 ( B ) A a >1,b <0; B 00; D a >1,b >0 本题考查指数形函数的性质,分类讨论,的思想和解 决问题的能力,考查数形结合的思想,也可由图用特 值法求解。 2.(05广东9)在同一平面直角坐标系中,函数 和 的图象关于直线对称. 现将的图象沿轴向左平移2个 单位,再沿轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线(如图2所示),则函 数的表达式为( A ) A .??? ??≤<+≤≤-+=20,220 1,22)(x x x x x f B .??? ??≤<-≤≤--=20,220 1,22)(x x x x x f C .??? ??≤<+≤≤-=42,12 21,22)(x x x x x f D .??? ??≤<-≤≤-=42,32 21,62)(x x x x x f 本题主要考查分段函数的图像、图像平移、反函数、采用排除法,关键是取恰当的点,本题 取端点。 3.(05重庆3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数,在上是减函数,且f (2)0,则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( D ) A (,2); B (2,); C (,2)(2,); D ( 2,2)。 解析: 4.(05浙江理8)已知k <-4,则函数y =cos2x +k (cos x -1)的最小值是( A ) (A) 1 (B) -1 (C) 2k +1 (D) -2k +1 本题考查含参二次函数的最值、二倍角公式、换元法、转化的思想、数形结合的思想,运算能力。 5.方程sinx = 的解的个数为 ( C ) A .1 B. 2 C. 3 D. 4 6.若函数f(x)=ax 2 +bx +c , (a ≠0),若 f(x)=0的两根分别在区间(1,2)和(2,3)内,则以下不等式中正确的是( B ) A. f(1)f(2)>0 B. f(1)f(2)<0 C. f(1)f(3)<0 D. f(2)f(3)>0 7. 已知是实数集上的奇函数,且在区间上是单调递增函数,若,且 的内角满足,则的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) 解析 由于函数是一个抽象函数,因此可根据函数有关性质由题 意构造出符合条件的一个特殊函数图象,如图5所示,由图象及三角形 内角范围可知:或,故选 D. x 8.(05北京理13)对于函数f (x )定义域中任意的x 1,x 2(x 1≠x 2),有如下结论: ① f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2); ② f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2); ③ >0; ④ 1212()() ( )22 x x f x f x f ++< . 当f (x )=l gx 时,上述结论中正确结论的序号是 ②③ . 9. 当不等式中恰好有一个解时,实数的值是____. 提示 抛物线和直线相切.方程 有相等的两实根,60632 ±=?=-=?p p . 10. 若不等式的解集是,求实数的取值范围. 解析 作函数,的图象(如图6). 由图6知,要使的解集是,应有. 11.(xx 年湖北卷)已知向量a = (x 2 , x + 1),b = (1 – x , t 若函数f (x ) = a ·b 在区间(–1, 1)上是增函数,求t 解:依定义f (x ) = x 2 (1 – x ) + t (x + 1) = –x 3 + x 2 + tx + t . = –3x 2 + 2x + t . 若f (x )在(–1, 1)上是增函数,则在(–1, 1)上可设≥0. ∵的图象是开口向下的抛物线, ∴当且仅当= t – 1≥0,且= t – 5≥0时, 在(–1, 1)上满足>0,即f (x )在(–1, 1)上是增函数. 故t 的取值范围是t ≥5. 评析:本小题通过向量的运算给出函数表达式,主要考查平面向量数量积的计算方法,利用导数研究函数的单调性,以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力. 12.已知两点P (0,1)和Q (2,3),如果二次函数f(x)=x 2 +ax +2的图象与线段PQ 有两个 不同的公共点,求实数a 的取值范围。 13.已知f (x )=2x 2 -2ax+3在[-1,1]上的最小值是f (a ). (Ⅰ)求f (a )的表达式; (Ⅱ)当a ∈[-2,0]时,求函数g (a )= 的值域. 14.(05辽宁22)函数在区间(0,+∞)内可导,导函数是减函数,且 设是曲线在点()得的切线方程,并设函数 (Ⅰ)用、、表示m ; (Ⅱ)证明:当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时; (Ⅲ)若关于的不等式),0[2 3 132 2 +∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立,其中a 、b 为实数,求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系. 解:本小题考查导数概念的几何意义,函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判 断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力. (Ⅰ)解: (Ⅱ)证明:令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则 因为递减,所以递增,因此,当; 当.所以是唯一的极值点,且是极小值点, 可知的最小值为0,因此即 (Ⅲ)解法一:,是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立. 0)1(,12 2 ≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意成立的 充要条件是 另一方面,由于满足前述题设中关于函数的条件,利用(II )的结果可知, 的充要条件是:过点(0,)与曲线相切的直线的斜率大于, 该切线的方程为 于是的充要条件是 综上,不等式对任意成立的充要条件是 ① 显然,存在a 、b 使①式成立的充要条件是:不等式 ② 有解、解不等式②得 ③ 因此,③式即为b 的取值范围,①式即为实数在a 与b 所满足的关系. (Ⅲ)解法二:是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立. 0)1(,12 2 ≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意成立的充要条件是 令,于是对任意成立的充要条件是 由.0)(33 1--==-='a x x a x 得φ 当时当时,,所以,当时,取最小值.因此成立的充要条件是,即 综上,不等式对任意成立的 充要条件是① 显然,存在a 、b 使①式成立的充要条件是:不等式 ② 有解、解不等式②得 因此,③式即为b 的取值范围,①式即为实数在a 与b 所满足的关系. 数 形 结 合(函数) 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学,数与形是数学研究的两个重要方面,在研究过程中,数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。“数”与“形”是一对矛盾,它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。在高中阶段较多的是“以形助数”。一般地说:“形”是具有形象,直观的特点,易于从整体上定性地分析问题,“由数想形”便于寻求思路,化难为易;“数”则具有严谨,准确的特点,能够严格论证和定量求解,“数形对照”可以弥补“形”难以精确的弊端。“数无形时少直观,形无数时难人微",华罗庚的诗句精辟地指出了“数形结合"对数学研究和学习的重要性。 数形结合的思想简言之就是代数问题几何化,几何问题代数化,充分体现图形的直观性,代数推理的逻辑性. 一练习: 1.(04天津)定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当 x ∈[0, ]时,f(x)=sinx ,则f()的值为( ) A. - B . C. - D . 2.设函数f(x)= ,若f(x 0)>1,则x 0的取值范围是( ) ?????>≤--0 ,0,1212x x x x A. (-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪(0,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 3.( 05上海理16)设定义域为为R的函数,则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c = 0有7个不同的实数解的充要条件是( ) A b<0且c>0; B b>0且c<0; C b<0且c=0; D b 0且c=0。 4.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)e x在[-1,1]上是单调函数,则a的取值范围是_____. 二.例题解析 例题1. 求函数y= 的最大值和最小值。 解: 小结: 例题2.(xx全国卷19) 已知c>0 设 P:函数y = c x在R上单调递减; Q:不等式x+∣x—2c∣>1的解集为R. 如果P和Q有且仅有一个正确,求c的取值范围。 解: 小结: 例题3:已知关于x的方程 x2+(-2m)x+m2-1=0(m是与x无关的实数)的两个实根在区间[0,2]内,求m的取值范围。 解: 小结: 思考题:(06上海春21)设函数f(x)=|x2-4x-5| (1)在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图像; (2)集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2]∪[6,+∞).试判断集合A和B之间的关系,并给出证明; (3)当k>2时,求证在区间[-1,5]上,y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方. 小 结 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合,通过对图形的认识、数形的转化,可以培养思维的灵活性、形象性。通过数形结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化。 一.数形结合的信息转化的三个途径: 二.常用的数学模型: 课后练习 1.(05福建理5) 函数f (x )a x b 的图象如图,其中a 、b 为常数,则下 列结论正确的是 ( ) A a >1,b <0; B 0 C 00; D a >1,b >0 2.(05广东9)在同一平面直角坐标系中,函数和 的图象关于直线对称. 现将的图象沿轴向左平移2个 单位,再沿轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折 线(如图2所示),则函数的表达式为 ( ) A 22,10 ()2,022 x x f x x x ?? ???+-≤≤=+<≤ B 22,10()2,022 x x f x x x ?????--≤≤=-<≤ C D 3.(05重庆3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数,在上是减函数,且f (2)0,则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( ) A (,2) B (2,) C (,2)(2,) D (2,2) 4.(05浙江理8)已知k <-4,则函数y =cos2x +k (cos x -1)的最小值是 ( ) A 1 B -1 C 2k +1 D -2k +1 5.方程sinx =的解的个数为 ( ) A .1 B. 2 C. 3 D. 4 6.若函数f(x)=ax 2 +bx +c , (a≠0),若 f(x)=0的两根分别在区间(1,2)和(2,3)内,则 以下不等式中正确的是 ( ) A. f(1)f(2)>0 B. f(1)f(2)<0 C. f(1)f(3)<0 D. f(2)f(3)>0 7. 已知是实数集上的奇函数,且在区间上是单调递增函数,若,且的 内角满足,则的取值范围是 ( ) A B C D 8.(05北京理13)对于函数f (x )定义域中任意的x 1,x 2(x 1≠x 2),有如下结论: ① f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2); ② f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2); ③ >0; ④ 1212()() ( )22 x x f x f x f ++<. 当f (x )=l gx 时,上述结论中正确结论的序号是 . 9. 当不等式中恰好有一个解时,实数的值是 ____. 10.(xx 年湖北)已知向量a = (x 2 , x + 1),b = (1 – x , t ). 若函数f (x ) = a ·b 在区间(–1, 1)上是增函数,求t 的取值范围. 11.已知两点P (0,1)和Q (2,3),如果二次函数f(x)=x 2 +ax +2的图象与线段PQ 有两个 不同的公共点,求实数a 的取值范围。 12.(05辽宁22)函数在区间(0,+∞)内可导,导函数是减函数,且 设是曲线在点()得的切线方程,并设函数 (Ⅰ)用、、表示m ; (Ⅱ)证明:当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时; (Ⅲ)若关于的不等式),0[2 3 132 2 +∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立,其中a 、b 为实数,求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系. 对数函数及其性质 尤溪五中 开课班级:高一(3)开课时间:2019.10.24 一、教材分析 本节教材的地位和作用:基本初等函数是函数的核心内容,而对数函数又是重要的基本初等函数之一。在此之前,学生已经学习了指数函数及对数运算,为本节的学习起着铺垫作用,同时对数函数作为常用数学模型是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具,本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供必要的基础知识。因此本节课具有承前启后的作用。 二、三维目标 1.知识与技能: (1)理解对数函数的概念; (2)掌握对数函数的图像和性质,并在探索过程中学会运用数形结合的方法研究问题; 2.过程与方法: (1)经历对数函数概念的形成过程,学习从具体实例中提炼数学概念的方法,由形象到抽象,由具体到一般,提高学生归纳概括能力; (2)学生通过自己动手作图,分组讨论对数函数的性质,提高动手能力、合作学习能力以及分析解决问题的能力; (3)通过类比指数函数性质研究对数函数,培养学生运用类比的思想研究数学问题的素养; 3.情感、态度与价值观: 在知识形成的过程中,体会成功的乐趣,感受数学图形的美,激发学生学习数学的热情与爱国主义热情,培养学生勇于探索敢于创新的精神。 三.教学重难点 重点:本节课是新授课,,因此我把本节课重点定为对数函数的概念、图象,和性质。 难点:学生在探究对数函数性质时可能会遇到障碍,因此我把探究对数函数性质作为本节课的难点。 四、教学过程: 然后由学生讨论完成下表:(空白表,由学生填) 函数 log a y x = 的图象 特征函数 log a y x = 的性质 图象都位于y轴的右方 解斜三角形(复习)公开课教案 [教学目标] 一:巩固对正弦、余弦、面积公式的掌握,并能熟练地运用公式解决问题。 二:培养学生分析、演绎和归纳的能力。 [教学重点] 正弦、余弦、面积公式的应用。 [教学难点] 选择适当的方法解斜三角形。 [教学过程] 一:基本知识回顾: 1.1、正弦定理及其变形; 正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C ===(R 是三角形外接圆的半径) 变式一:sin 2a A R =、sin 2b B R =、sin 2c C R = 变式二:sin :sin :sin A B C ::a b c = 1.2、余弦定理及其变形; 余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc A =+-,变式:222 cos 2b c a A bc +-= 2 2 2 2cos b a c ac B =+-, 222 cos 2a c b B ac +-= 2 2 2 2cos c a b ab C =+-。 222 cos 2a b c C ab +-= 1.3、面积公式 二:例题分析: 1、正弦定理 (1)在△ABC 中,已知 ,则 sin B= ( ) (2)在△ABC 中,若a = 2 ,b =0 30A = , 则B 等于60?或120? 111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===4,303 a b A ===? 2、余弦定理 (1)在△ABC 中,满足 ,则A = 60° (2)已知△ABC 的周长为9,且4:2:3sin :sin :sin =C B A ,则cosC 的值为 A .4 1 - B .41 C .3 2 - D . 3 2 3、三角形解的个数 (1)在△ABC 中,已知 , 这个三角形解的情况是:( C ) A.一解 B.两解 C.无解 D.不能确定 (2)△ABC 中,∠A ,∠B 的对边分别为a ,b ,且∠A=60°,4,6== b a ,那么 满 足条件的△ABC ( ) A .有一个解 B .有两个解 C .无解 D .不能确定 4、判断三角形形状 (1)若c C b B a A cos cos sin = =则△ABC 为( ) A .等边三角形 B .等腰三角形 C .有一个内角为30°的直角三角形 D .有一个内角为30°的等腰三角形 (2)关于x 的方程02 cos cos cos 2 2=-??-C B A x x 有一个根为1,则△AB C 一定是 A .等腰三角形 B .直角三角形 C .锐角三角形 D .钝角三角形 5、正余弦定理的实际应用 (1)有一长为1公里的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则坡底要 伸长( ) A .1公里 B .sin10°公里 C .cos10°公里 D .cos20°公里 (2) 10105/4/o C v v B AB o 某渔船在航行中遇险发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后立即测出该渔船在方向角为北偏东45,距离海里的处,渔船沿着方位角为的方向以海里小时的速度向小岛靠拢,我海军艇舰立即以海里小时的速度前去营救。设艇舰在处与渔船相遇,求方向的方位角的正弦值 18,20,150a b A ===?222a b c bc =+- 人教版高中数学必修1精品教案(整套) 课题:集合的含义与表示(1) 课型:新授课 教学目标: (1)了解集合、元素的概念,体会集合中元素的三个特征; (2)理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系; (3)掌握常用数集及其记法; 教学重点:掌握集合的基本概念; 教学难点:元素与集合的关系; 教学过程: 一、引入课题 军训前学校通知:8月15日8点,高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题),即是一些研究对象的总体。 阅读课本P2-P3内容 二、新课教学 (一)集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们 能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地,我们把研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集。 3. 思考1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)大于3小于11的偶数; (2)我国的小河流; (3)非负奇数; (4)方程 的解; (5)某校2007级新生; (6)血压很高的人; (7)著名的数学家; (8)平面直角坐标系内所有第三象限的点 (9)全班成绩好的学生。 对学生的解答予以讨论、点评,进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 (1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素。 (3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 (4)集合相等:构成两个集合的元素完全一样。 5. 元素与集合的关系; (1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)A,记作:a∈A (2)如果a不是集合A的元素,就说a不属于(not belong to)A,记作:a A 例如,我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合,则有3∈A 4 A,等等。 6.集合与元素的字母表示:集合通常用大写的拉丁字母A,B,C…表示,集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。 7.常用的数集及记法: 非负整数集(或自然数集),记作N; 正整数集,记作N*或N+; 19.2.2一次函数(第3课时) 一、内容和内容解析 1.内容 待定系数法求一次函数解析式;初步应用一次函数有关知识解决现实生活中的问题.2.内容解析 在已知函数类型的情况下,可以先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而得出函数解析式,这种求函数解析式的方法,叫做待定系数法.待定系数法是求函数解析式的常用方法,在今后的二次函数和反比例函数学习中还会经常用到.根据图象求出函数解析式,可以克服由函数图象得到的结论不够精确的缺点,通过把图象特征解释为变量的对应关系,从而使得函数的变化规律和变化趋势既有直观的一面,又能精确细致地进行数量描述,体现出数形结合的强大力量. 函数的核心价值是用来描述和研究运动变化过程,在用函数研究运动变化过程中,往往是先根据运动变化过程确定变量的部分对应值,在坐标平面上画出这些对应值相应的点,用平滑的曲线连接,看看可能是什么类型的函数,再设出函数解析式,用待定系数法求出函数解析式,研究函数的图象性质并用于解决问题;或者根据具体问题中的数量关系直接写出函数解析式,研究函数的图象性质,并解决问题. 在求函数解析式的过程中,需要根据运动变化规律的不同,对函数关系分段描述,即在自变量不同的取值范围,求出不同的函数表达式,这就是分段函数. 因此,本节课的重点是学会用待定系数法求一次函数解析式,初步了解分段函数的表示及其图象在现实生活中的简单应用. 二、目标和目标解析 1.目标 (1)学会用待定系数法求一次函数解析式. (2)了解分段函数的表示及其图象.能初步应用一次函数“模型”解决现实生活中的问题,体会一次函数的应用价值. 2.目标解析 目标(1)的要求:要求学生知道确定一次函数解析式需要两个条件,确定正比例函数解析式只需一个条件,会用待定系数法求一次函数的解析式. 目标(2)的要求:知道能综合运用不同的一次函数表示对应关系分段变化时的变量变化 》教案设计《对数函数及其性质1 本节是学习指.一、教案分析1、教案内容教案内容为对数函数的概念、图象及性质数、指数函数和对数的后继内容,根据描点法,作出对数函数的图象以及得到相应的对数对数函数既是指数函数的反函数,也是高中乃至以后的数学学习中应用极为广泛.函数性质有利于进一步加深对函数.的重要初等函数之一,其研究方法以及研究的问题具有普遍意义、学生学习情.2思想方法的 理解,为进后面一步探究函数的综合应用起到承上启下的作用况分析对数函数是高中引进的第二个初等函数,学生在学习过程中,仍保留着初中生许多由于函数概.学习特点,能力发展正处于 形象思维向抽象思维转折阶段,但更注重形象思维念十分抽象,又以对数运算为基础,同时,初中函数教案要求较低,学生运算能力较弱,教师必须认识到这一点,教案中要有控制的拔高,. 这双重问题增加了对数函数教案的难度但是只要让学生类比指数函数的研究方法,通过课件演示,通过数形结合,.关注学习过程a1)a?a?0且?ylogx (取不同值时反映出不同函数图象,并让学 生观中,让其感受a察、发现、归纳出图象的特征、函数图象的规律.3、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导,以新课标基本理念为依据进行设计的,针对学生的学习背景,对数函数的教案首先要挖掘其与指数的联系,其次,激发学生的学习热情,把学习的主动权交给学生,为他们提供自主探究、合作交流的机会,改变学生的学习方式.4、教案目标4.1知识技能 (1)掌握对数函数的概念、图像及性质.(2)应用对数函数性质,掌握求简单对数型函数定 义域的方法;(3)掌握三种简单的分别比较对数、真数和底数大小的方法.4.2过程与方法利用指数函数以及性质导出对数函数概念和相应的函数,在学习和应用对数函数性质的过程中,着重数学思想方法的培养.(1)类比的思想.指数函数和对数函数概念和性质的类比.(2)对称的思想.底数互为倒数的两个对数函数关于横轴对称. (3)数形结合思想.通过函数图像研究函数的代数性质,以及通过函数表达式探究函数的几何性质,学习和领会图形语言与符号语言之间的相互转化,并能运用这些语言表达有关函数的性质.(4)分类讨论的思想.根据对数函数的底数大于1或小于1的不同情况进行讨论,初步了解分类的原则,体会分类讨论的思想.4.3情感、态度和价值观通过指数函数类比引入对数函数的概念,揭示数学类比和对称的思想,使学生感受到数学中的对称美.同时使学生了解对数函数的概念来 自于实践,激发学生学习的兴趣,增强应用数学的意识. 二、教案方法与策略根据本节课的教材特点以及学生的实际情况,尝试运用“问题探究式” 教案法.采取“设问引入—类比构建—探究反馈”的方式,力图通过创设问题情境、分析问题和 解决问题的一系列过程,组织学生主动参与、主动探究有关问题,形成以学生为中心的各种形式的探索性学习活动.引导学生步步深入地参与到课堂教案活动中来,尝试探求将问题“一般化” 的方法.三、教案手段 多媒体辅助教案.利用计算机绘图的快速显示等特点对某些对数函数几何性质进行再现,运用直 观认识、操作确认、思辨论证等方法,充分提高课堂效率.四、学习指导1、学情分析 本节内容是在学习了指数、指数函数图象及其性质和对数的基础上,进一步学习对数函数图象及其性质.因此,在学生的认知结构中已有指数和指数函数及其性质和对数的知识结构,通过类比、探究等学习活动,学习对数函数图象及其性质.2、学习方式与策略2.1 设置一系列的教案活动,让学生在探究过程中,培养学生自主学习、独立思考的.自主学习. 能力.充分发挥学生学习的主动性、自觉性,在问题的解决过程中,学习分析问题、解决问题的 方法,形成良好的学习习惯和思维方式,提高学生的自学和迁移能力. 五、教案过程 等差数列及其前n 项和(二) 什邡中学数学组 廖美 重点:等差数列的判定与证明. 难点:①如何选择恰当的方法来证明或者判定等差数列; ②证明或者判定过程中如何根据已知条件化简. 教学目标:教会学生掌握简单的等差数列的证明与判定方法. 相关知识点: 1.证明等差数列的方法 ①定义法:d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数) ②等差中项法: )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 2.判定等差数列的方法 ①定义法:d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数) ②等差中项法: )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 ③通项公式法:是常数)b a b an a n ,(+= ④前n 项和公式法:是常数)b a bn an S n ,(2+= 例1.在数列{}n a 中,),2.(12,53*11N n n a a a n n ∈≥-==-,数列{}n b 满足1 1-=n n a b )(*N n ∈ (1) 求证:数列{}n b 是等差数列; (2) 求数列{}n a 中的最大项和最小项,并说明理由. 训练1.(01天津,2)设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且2 n S n =,则{}n a 是( ) A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 训练2.数列{}n a 中,),2(112.1,2*1 121N n n a a a a a n n n ∈≥+===-+, 则其通项公式为=n a _________. 训练3.数列{}n a 的前n 项和为n S ,若31=a ,点),(1+n n S S 在直线11+++= n x n n y ()*N n ∈上. (1)求证:数列? ???? ?n S n 是等差数列; (2)求n S . 近似数教学内容:北师大版四年级上册P10-11 教学目标:理解近似数在实际生活中的应用,能用四舍五入法求一个数的近似数。能根据实际情况,灵活运用不同精确值的近似数。 重点难点:能掌握精确数和近似数的特征。能根据实际情况,用四舍五入法求一个数的近似数。 教学过程: 一、谈话导入: 师:生活中,我们除了用精确数表示实际数量,还会用到近似数,来表示大约,大概的结果,今天的数学连连看出示题目后请你迅速喊出,它是近似数还是精确数。 师:数学连连看,生:由我来挑战。 板书课题:近似数 二、探究新知 1学习“四舍五入”求近似数。 接受检阅的部队官兵“近2万人”,实际人数是18000人。为什么说近2万人呢?这里的2万合理吗? 生1估算, 生2:从数线上看18000更接近于20000, 师板书:18000≈20000, 师:实际上,我们是将18000四舍五入到万位得到2万的。由于千位上的数字是8,所以更接近2万,≈是约等号,读作约等于。我们今 天学的新符号是?读作? 师:数线上还有哪些数也约等于20000呢?哪些数约等于10000呢? 师:(出示10组约等式)小组讨论:结合数线,求左边5个近似数时,有什么发现,你能得到什么结论?右边的呢? 师总结:实际上,这些近似数,也是通过四舍五入法得到的。这是一种常用的求近似数的方法。五入是一种规定。四舍五入到万位,关键看的是下一位“千位”。 师:在阅兵方队中,一定会有替补队员,如果加上替补官兵,共有18020人,它约等于几万呢?18500人呢? 师总结:四舍五入到万位,除了看下一位,四舍五入,我们会发现万位以后的数字都? 生:改写为0. 师:除了受阅官兵,还有观众等各类群体,因此,参加国庆阅兵的精确人数是233482人,“约20万人”,这个数是怎么来的?请同桌合作,完成题单内容。 师:谁来汇报? 生1,233482大约在23万和24万之间,更接近20万。 高三数学第二轮专题复习:概率与统计 高考要求 概率是高考的重点内容之一,尤其是新增的随机变量这部分内容要充分注意一些重要概念的实际意义,理解概率处理问题的基本思想方法 重难点归纳 本章内容分为概率初步和随机变量两部分第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差 涉及的思维方法观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化主要思维形式有逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维 典型题例示范讲解 例1有一容量为50的样本,数据的分组及各组的频率数如下 [10,15]4 [30,35)9 [15,20)5 [35,40)8 [20,25)10 [40,45)3 [25,30)11 (1)列出样本的频率分布表(含累积频率); (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图 命题意图本题主要考查频率分布表,频率分布直方图和累积频率的分布图的画法 知识依托频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法 错解分析解答本题时,计算容易出现失误,且要注意频率分布与累积频率分布的区别 技巧与方法本题关键在于掌握三种表格的区别与联系 解 (1)由所给数据,计算得如下频率分布表 数据段频数频率累积频率 [10,15) 4 0.08 0.08 [15,20) 5 0.10 0.18 [20,25)10 0.20 0.38 [25,30)11 0.22 0.60 [30,35)9 0.18 0.78 [35,40)8 0.16 0.94 [40,45) 3 0.06 1 总计50 1 (2)频率分布直方图与累积频率分布图如下 10.2 一次函数和它地图象 学习目标: 1.结合具体情境,体会一次函数地意义,理解一次 函数和正比例函数地概念。 2.初步了解待定系数地方法,根据具体问题地条件,确定正比例函数和一次函数关系式中地未知系数。 3.经历一般规律地探索,培养抽象思维能力。 学习重点: 理解一次函数和正比例函数地概念。 学习难点: 利用待定系数地方法,根据具体问题地条件,确定 正比例函数和一次函数关系式中地未知系数。 课前准备: 多媒体课件 学习过程: 一、情境导入 一列高铁列车自北京站出发,运行10km 后,便以300km∕h地速度匀速行驶。如果从运行10km后开始计时,你能写出该列车离开浦东机场站地距离s(单位:米)与时间t(单位:秒)之间地函数关系式吗? 二、自主学习、小组合作 上节提到地函数y=x-1,y=2x-1,y=2x,s=10+300t,这些函数表达式中自变量是什么,自变量地次数是 多少,有哪些共同特征?它们地一般形式是什么? 根据以上问题能得出一次函数地定义是什么? 形如 y=kx+b(k,b是常数,k≠0) 叫做x地一次函数。特别地,当b=0时,一次函数y=kx也叫做正比例函数,k叫做比例系数。 三、精讲点拨 例1、铜地质量m(单位:g)与它地体积v(单位:cm3)是成正比例地量。当铜地体积v=3cm3时,测得它地质量是m=26.7g (1)求铜地质量m与体积v之间地函数表达式;(2)当铜块地体积为 2.5cm3时,求它地质量。解:(1)因为m与v是成正比例地量, 所以设m=kv,其中k为比例系数。 把v=3,m=26.7 代入, 得 26.7=3k,解得k=8.9. 2.1.2对数函数及其性质 教学目标 1.通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,激发学生的学习兴趣,体会对数函数是一类重要的函数模型。 2.通过对对数函数有关性质的研究,渗透数形结合、分类讨论的数学思想。培养观察、分析、归纳的思维能力和交流能力,增强学习的积极性。掌握对数函数的图象与性质,并会初步应用。 3.培养学生自主学习、数学交流能力和数学应用意识。 教学重难点 重点是掌握对数函数的图像和性质,难点是探究底数对对数函数图像的影响。 教学内容 一、新课导学 探究一:什么是对数函数? 问题引入:前面我们学习了细胞分裂次数x与所得细胞个数y之间的函数关系为 y=2x,若已知细胞个数y,如何确定分裂次数呢? 问题一:你能类比指数函数的定义给对数函数下个定义吗? 问题二:定义中需要注意什么问题? (一)函数函数的定义 一般地,函数叫做对数函数,x是自变量,函数的定义域为。 做一做下列函数是对数函数吗? y=log(3x-2) 2 y=log x (x-1)y=log x -5 y=3l o g x+5 2 探究二:对数函数的图像和性质 1.用列表、描点、连线的作图步骤,画出对数数函数、的图像。 x…… 观察图像,分析以下问题: 问题1:从图像看,两种函数的有哪些图像特征? 问题2:根据图像特征,你能分别说出函数的性质吗? 问题3:底数大小与图像有什么关系?公开课教案《对数函数及其性质》
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对数函数及其性质(公开课).