数列求和与综合(讲义及答案)

n + n + k n 数列求和与综合（讲义）

知识点睛

一、数列求和 1. 公式法：

（1） 等差数列前 n 项和公式； （2） 等比数列前 n 项和公式．

2. 错位相减法：

适用于形如{a n ⋅b n }的数列，其中{a n }是公差为 d 的等差数列，

{b n }是公比 q ≠1 的等比数

列．方法：

设S n = a 1b 1 + a 2b 2 + …+ a n b n ① 则qS n = a 1b 2 + a 2b 3 +…+ a n b n +1 ②

①-②得：(1- q )S n = a 1b 1 + d (b 2 + b 3 + …+ b n ) - a n b n +1 ，转化为公

式法求和． 3. 裂项相消法：

把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法．常见类型有：

（1） 1 = 1 ( 1 - 1

) ；

n (n + k ) k n n + k （2） 1 = 1 ( 1 - 1

) ；

4n 2 -1 2 2n -1 2n +1

（3）

= 1 ( k

- n ) ； （4） log (1+ 1

) = log (n +1) - log n ．

a n

a a

4. 其他方法：

（1） 分解法：分解为基本数列求和，比如数列{a n + b n } ，其

中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．

（2） 分组法：分为若干组整体求和，经常分为偶数项之和与

奇数项之和，

比如通项公式为a n = (-1)n n 的数列{a }．

（3） 倒序相加法：把求和式倒序后两和式相加，适用于具有

对称性质的数列求和．

n + k

a n

S - 二、 数列综合

1.

已知 S n 求a n 的三个步骤：

（1） 先利用a 1 = S 1 ，求出a 1 ；

（2） 用n -1替换 S n 中的 n 得到一个新的关系式，

利用a n = S n - S n -1 (n ≥ 2) 求出当n ≥ 2 时a n 的表达式；

（3） 对n = 1时的结果进行检验，看是否符合n ≥ 2 时a n 的表

达式，

如果符合，则可以把数列的通项公式合写；

如果不符合，则应该分n = 1与n ≥ 2 两段来写，即

a = ⎧a 1 ， n = 1 ． n

⎨ ⎩ n S n -1 ，n ≥ 2 2.

非等差或等比数列的转化：

（1） 转化为{ 1

} 、 、{a 2 } 、{a - a }等形式的等差、等

a n

比数列；

n n +1 n

（2） 形如a n +1 =pa n + q ( p ≠ 0，1，q ≠ 0) 的数列，转化为等比数

列，设a

n +1 +λ=p (a n +λ) ，可解得λ= q

p -1

，则数列{a n + λ} 为 等比数列；

（3） 形如

a n +1

=pa n

+ qp n +1 ( p ≠ 0，1，q ≠ 0) 的数列，转化为等差

数列，两端同时除以 p n +1 ，即得 a n +1 - a n = q ，则数列{ a

n } 为

等差数列．

p n +1 p n p n

n 精讲精练

1. 在数列{a n } 中， a n

=

1 n (n +1)

，若它的前 n 项和为 2 014 ， 2 015

则项数 n 为（ ） A ．2 013

B ．2 014

C ．2 015

D ．2 016

2. 数列11 ， 3 1 ， 5 1 ， 7 1 ，…， (2n -1) + 1

，…的前 n 项和

2 4 8 16 2n

S n 的值等于（

）

A ． n 2 +1- 1

2n C ． n 2 +1- 1

B ． 2n 2 - n +1 - 1

2n D ． n 2 - n + 1- 1

2n -1

2n

3. 化简S = n + (n -1)

⨯ 2 + (n - 2) ⨯ 22 +…+ 2⨯ 2n -2 + 2n -1 的结果为（

）

A ． 2n +1 + n - 2 C ． 2n - n - 2

B ． 2n +1 - n + 2 D ． 2n +1 - n - 2

4. 已知{a n}是1 为首项，2 为公差的等差数列，{b n}是1 为首项，

2 为公比的等比数列．设c =a ，T =c +c +…+c(n ∈N*) ，

n b n n 1 2 n 则当T

n

> 2 013 时，n 的最小值是（）

A．11 B．10 C．9 D．7

5. 在数列{a n}中，a1 =1，a2 = 2 ，若a n+2 = 2a n+1 -a n + 2 ，则a n=

（）

A．n2 - 2n + 2

C．1

n3 -

2

n +

6

5 5 5

B．2n2 - 5n + 4

D．n3 - 5n2 + 9n - 4