大学物理上册(机械工业出版社 许瑞珍 贾谊明编著)第一章

第一章 质点的运动

1－1已知质点运动方程为t R x ω-=sin ，)cos 1(t R y ω-=，式中R ，ω为常量，试求质点作什么运动，并求其速度和加速度。

解：

cos ,sin x y dx dy v Rw wt v Rw wt dt dt v Rw

=

=-==-∴==

222

sin ,cos y x

x y dv dv a Rw wt a Rw wt dt dt a Rw =

===∴==

sin ,(1cos )x R wt y R wt ==-

222()x y R R ∴+-=轨迹方程为

质点轨迹方程以R 为半径，圆心位于（0，R ）点的圆的方程，即质点作匀速率

圆周运动，角速度为ω；速度v = R ω；加速度 a = R ω2

1－2竖直上抛运动的物体上升到高度h 处所需时间为t 1，自抛出经最高点再回到同一高度h 处所需时间为t 2，求证：h =gt 1 t 2/2

解：设抛出点的速度为v 0，从高度h 到最高点的时间为t 3，则

012132012221201112()0,2()/2()11

222

12

v g t t t t t v g t t t t h v t gt g t gt gt t -+=+=∴=++∴=-

=-= 1－3一艘正以v 0匀速直线行驶的汽艇，关闭发动机后，得到一个与船速反向大小与船速平方成正比的加速度，即a ＝-kv 2，k 为一常数，求证船在行驶距离x 时的速率为v=v 0e -kx .

解：取汽艇行驶的方向为正方向，则

020

0,,ln v x

v kx

dv

dx a kv v dt

dt

dv dv kvdt kdx v v dv kdx v v

kx v v v e -==-=

∴

=-=-∴=-=-∴=⎰⎰

1－4行人身高为h ，若人以匀速v 0用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为H 的光滑平台上，求小车移动的速度和加速度。

解：人前进的速度V 0，则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，

222

202

22203/2

22220()()()l v t H h dl

dt H h v d l dt H h v t =+-∴=

-=

⎡⎤-+⎣⎦

所以小车移动的速度220

2

2

0)(t

v h H t

v v --=

小车移动的加速度[]

2/3220

2

2

2)

()(t

v h H v h H a +--=

1－5一质点由静止开始作直线运动，初始的加速度a 0，以后加速度以t b

a a a 0

0+=均匀增加（式中b 为一常数），求经t 秒后，质点的速度和位移。

解：

002

00000200223000000,()()2,2226v

t

t

x a a dv a a a t dv a t dt dt

b

b

a a t dv a t dt v a t

b b

a t dx

v vdt dx

a t dt dx

dt

b a t a t a t a t dt dx x b b

=

=+

∴=+

=+∴=+

⎛⎫==∴+= ⎪⎝

⎭⎛⎫

+=∴=+

⎪⎝⎭

⎰⎰⎰⎰

1－6一足球运动员在正对球门前25.0m 处以20.0m·s －

1的初速率罚任意球，已知球门

高为3.44m 。若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢进球门，问他应在与地面成什么角度的范围内踢出足球？（足球可视为质点）

解：由运动方程2

1cos ,sin 2

x vt y vt gt θθ==-

,消去t 得轨迹方程， 22

2

(1)2g y xtg tg x v θθ=-

+ 以x ＝25.0m ，v ＝20.0ms －

1，以及3.440m y ≥≥代入后得

1269.9271.1118.8927.92

θθ≤≤≤≤

1－7一人扔石头的最大出手速率为v ＝25m/s ，他能击中一个与他的手水平距离L=50m ，高h=13m 的目标吗？在此距离上他能击中的最大高度是多少？

解：由运动方程2

1cos ,sin 2

x vt y vt gt θθ==-

,消去t 得轨迹方程 22

2(1)2g y xtg tg x v

θθ=-

+ 以x ＝05.0m ，v ＝25ms －1

代入后得

222

2250(1)50225

5020(1)5

20()11.25

4

g

y tg tg tg tg tg θθθθθ=-

+⨯⨯=-+=--+ 取g ＝10.0，则当 1.25tg θ=时，max 11.25y =〈13

所以他不能射中，能射中得最大高度为max 11.25y = 1－8质点做半径为R 的圆周运动，其路程按规律2

2

1bt ct s -

=运动，式中b 、c 为常数，求:（1）t 时刻质点的角速度和角加速度；（2）当切向加速度等于法向加速度时，质点运动经历的时间。

解：（1）质点做圆周运动的速率ds

v c bt dt =

=- /c bt

w v R R R ∴==-角速度

切向加速度

22t d s

a b dt ==- t a b

R R

β∴==-角加速度

（2）法向加速度22

n ()v c bt a R R -==

当t n a a =时，2

()c bt b R

-=-

2()c bt Rb c t b ∴-==±

1－9一质点作半径为R 的圆周运动，初速为v 0，若其加速度a 与速度v 之间的夹角