(2016-2018)数学(理科)真题分类解析:专题14-与数列相关的综合问题(含答案)
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A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
试题分析:由 S4 S6 2S5 10a1 21d 2(5a1 10d ) d ,可知当 d 0 ,则
S4 S6 2S5 0 ,即 S4 S6 2S5 ,反之, S4 S6 2S5 d 0 ,所以为充要条件,选 C.
4.【2018 年江苏卷】设
,对 1,2,···,n 的一个排列
,如果当 s<t 时,有������������ > ������������,
则称(������������,������������)是排列
的一个逆序,排列
的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如:对
1,2,3 的一个排列 231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列 231 的逆序数为 2.记 为
2
专题 14 与数列相关的综合问题
考纲解读明方向
考点
内容解读
要求
1.数列求和
掌握非等差、等比数列求和的几种常 掌握
见方法
能在具体的问题情境中识别数列的等 2.数列的综合应用 差关系或等比关系,抽象出数列的模 掌握
型,并能用有关知识解决相应的问题
高考示例
常考题型 预测热度
2017 课标全国
Ⅰ,12; 2016 课标全国
即
对 n=1,2,3,4 均成立,即 1 1,1 d 3,3 2d 5,7 3d 9,得
. 75 [,]
因此,d 的取值范围为 3 2 .
(2)由条件知:
.若存在 d,使得
(n=2,3,···,m+1)成立,即
,即
当
时,d 满足
������������ ‒ 1 ‒ 2
������������ ‒ 1
点睛:探求数列通项公式的方法有观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特
殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.寻求相邻项之间的递推关系,是求数列通项公式的一个有
效的方法. 5.【2018 年江苏卷】设{������������}是首项为������1,公差为 d 的等差数列,
是首项为 ,公比为 q 的等比
与含 n+1 个元素的集合中逆序数为 2 的个数之间的关系,再根据叠加法求得结果.
详解:解:(1)记
为排列 abc 的逆序数,对 1,2,3 的所有排列,有
,所以
.对 1,2,3,4 的排列,利用已有的 1,2,3 的排列,将数字 4 添 加进去,4 在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此,������4(2) = ������3(2) + ������3(1) + ������3(0) = 5.
数列. (1)设������1 = 0,������1 = 1,������ = 2,若
对
均成立,求 d 的取值范围;
(2)若
,证明:存在
立,并求������的取值范围(用������1,������,������表示).
,使得
对������ = 2,3,鈰?������ + 1均成
2
2
75 [,] 【答案】(1)d 的取值范围为 3 2 .(2)d 的取值范围为
2
2
������1(������������ ‒ 2) ������1������������
[
,]
������
������ .
点睛:对于求不等式成立时的参数范围问题,一般有三个方法,一是分离参数法, 使不等式一端是
含有参数的式子,另一端是一个区间上具体的函数,通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条
已知数列 1,
1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2, 4,8,16,…,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,
再接下来
的三项是 20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整
数幂.那么
该款软件的激活码是
A.440
B.330
C.220
【考点】 等差数列、充分必要性
【名师点睛】本题考查等差数列的前 n 项和公式,通过公式的套入与简单运算,可知
S4 S6 2S5 d , 结合充分必要性的判断,若 p q ,则 p 是 q 的充分条件,若 p q ,则
p 是 q 的必要条件,该题“ d 0 ” “ S4 S6 2S5 0 ”,故为充要条件.
).
3.【2018 年理数天津卷】设 是等比数列,公比大于 0,其前 n 项和为
列.已知
,������3 = ������2 + 2,������4 = ������3 + ������5,
.
(I)求 和{������������}的通项公式;
(II)设数列{������������}的前 n 项和为
,不合题意;因此
,
2
2
,选 B. 点睛:构造函数对不等式进行放缩,进而限制参数取值范围,是一个有效方法.如
2.【2018 年浙江卷】已知集合 素从小到大依次排列构成一个数列
,
.将 的所有元
.记������������为数列 的前 n 项和,则使得������������ > 12������������ + 1成立的 n
以及观察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项和求和.另外,本题的难点在于数列里面套
数列,第一个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行
判断.
2.【2017 浙江,6】已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的
解答题
★★★
Ⅱ,17 2017 山东,19; 2015 福建,8; 2013 重庆,12
选择题 解答题
★★★
分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列 的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比 数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为 12 分,难度中等.
D. ������1 > ������3,������2 > ������4
【解析】分析:先证不等式
,再确定公比的取值范围,进而作出判断.
详解:令
������'(������) 则
=
1
‒
1 ������,令������'(������)
=
0,得
,所以当������ > 1时,������'(������) > 0,当
时,������'(������) < 0,因此
, 若公比 ,则
,不合题意;若公比
,则
但������������(������1 + ������2 + ������3) = ������������[������1(1 + ������ + ������2)] > ������������������1 > 0,即
的最小值为________.
【答案】27
【解析】分析:先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围,再列不
等式求满足条件的项数的最小值.
点睛:本题采用分组转化法求和,将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法
求和的常见类型主要有分段型(如
),符号型(如
),周期型(如
D.110
【答案】A
【解析】试题分析:由题意得,数列如下:
1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4,, 2k1 则该数列的前1 2 k k(k 1) 项和为
2
S
k
(k 2
1)
1
(1
2)
(1
2
2k
)
2k
1
k
2
要使 k(k 1) 100 ,有 k 14 ,此时 k 2 2k1 ,所以 k 2 是之后的等比数列1, 2,, 2k1 的部 2
1.【2018 年浙江卷】已知
2018 年高考全景展示
成等比数列,且������1 + ������2 + ������3 + ������4 = ������������(������1 + ������2 + ������3).若
,
则 A. ������1 < ������3,������2 < ������4 B. ������1 > ������3,������2 < ������4 C. 【答案】B
������������ ‒ 1 ‒ 2
������������ ‒ 1 ‒ 2
������������ ‒ 2
{
}
{
}
������ ‒ 1 单调递增,故数列 ������ ‒ 1 的最大值为 ������ .
②设������(������) = 2������(1 ‒ ������),当 x>0 时,
件.二是讨论分析法,根据参数取值情况分类讨论,三是数形结合法,将不等式转化为两个函数,
通过两个函数图像确定条件.
2017 年高考全景展示 1.【2017 课标 1,理 12】几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习
数学的兴
趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:
������ ‒ 1
������1鈮?,������
‒
1������1
>
0 ,对
均成立.
.因为
,则
均成立.因此,取 d=0 时,
,从而 对
Leabharlann Baidu
下面讨论数列
的最大值和数列
的最小值(
).
①当2鈮鈮时,
,
当
时,有
,从而������(������������ ‒ ������������ ‒ 1) ‒ ������������ + 2 > 0.因此,当2鈮鈮 + 1时,数列
,则������������
=
2������
‒
1
.结合等差数列通
项公式可得
(II)(i)由(I),有
,则
.
(ii)因为
,裂项求和可得
详解:(I)设等比数列{������������}的公比为 q.由������1 = 1,������3 = ������2 + 2,可得
,故������������ = 2������ ‒ 1.设等差数列{������������}的公差为 d,由������4 = ������3 + ������5,可得
,证明见解析。
【解析】分析:(1)根据题意结合
并分别令 n=1,2,3,4 列出不等式组,即可解得
公差 d 的取值范围;(2)先根据绝对值定义将不等式转化为
,根据条件易
得左边不等式恒成立,再利用数列单调性确定右边单调递增,转化为最小值问题,即得公差 d 的取
值范围.
详解:解:(1)由条件知:
.因为
对 n=1,2,3,4 均成立,
,所以������(������)单调递减,
从而������(������)<f(0)=1.当
时,
,因此,当
������������ ‒ 1
������������ ‒ 1
������������
{}
{}
2鈮鈮 + 1时,数列 ������ ‒ 1 单调递减,故数列 ������ ‒ 1 的最小值为 ������ .因此,d 的取值范围为
. .因为 ,可得
由
,
可得3������1 + 13������ = 16, 从而 通项公式为
故
所以数列{������������}的通项公式为
,数列 的
(II)(i)由(I),有
,故
(ii)因为
. ,
所以
.
点睛:本题主要考查数列通项公式的求解,数列求和的方法,数列中的指数裂项方法等知识,意在
考查学生的转化能力和计算求解能力.
1,2,···,n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数.
(1)求������3(2),������4(2)的值;
2
2
(2)求
的表达式(用 n 表示).
【答案】(1)2 5 2)n≥5 时, 【解析】分析:(1)先根据定义利用枚举法确定含三个元素的集合中逆序数为 2 的个数,再利用
枚举法确定含四个元素的集合中逆序数为 2 的个数;(2)先寻求含 n 个元素的集合中逆序数为 2
,
2
,{������������}是等差数
2
(i)求������������;
(ii)证明
【答案】(Ⅰ)������������
=
2������
‒
1
,
. ;(Ⅱ)(i)������������ = 2������ + 1 ‒ ������ ‒ 2.(ii)证明见解析.
【解析】分析:(I)由题意得到关于 q 的方程,解方程可得
分和,即 k 2 1 2 2t1 2t 1,
2
2
所以 k 2t 3 14 ,则 t 5 ,此时 k 25 3 29 ,
对应满足的最小条件为 N 29 30 5 440 ,故选 A. 2
【考点】等差数列、等比数列的求和.
【名师点睛】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,