计算公路匝道点位坐标的复化辛普森公式及利用

计算公路匝道点位坐标的复化辛普森公式及利用

FX-4500P计算器编程计算坐标

一、引言

匝道是组成高等及公路立交的基本单元，其形式千变万化，就线形而言，也是由直线段、回旋曲线段、圆曲线段组成。但是，组成立交的匝道涉及线形的曲率变化特点，利用复化辛普森公式导证了计算公路匝道点位坐标的通用公式。并利用卡西欧FX-4500P 计算器编程计算公路匝道点位坐标。

二、公路匝道点位坐标计算

1.公路匝道中线形式

公路匝道中线是由直线—回旋曲线—圆曲线（R1）—回旋曲线—圆曲线（R2）—回旋曲线—直线的顺序组成的，其中R1¹R2。

2.回旋曲线上点位坐标方位角的计算

如图1，设回旋曲线起点A的曲率为r A，其里程为DK A；回旋曲线终点B的曲率为，其里程为DK B，Ax¢y¢为以A为坐标原点，以A点切线为x¢轴的局部坐标系；AXY为线路坐标系。

由此回旋曲线上各点曲率半径为R i和该点离曲线起点的距离ﺎi成反比，故此任意点的曲率

为（=R0为常数）（1）

由式（1）可知，回旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此回旋曲线上里程为DK i点的曲率为

（2）

当曲线右偏时，取正；当曲线左偏时取负。在图1中有

（3）

将式（2）代入式（3）得

（4）

若已知回旋曲线起点A在线路坐标系下切线坐标方位角αA，则里程为Dk i点切线坐标方位角为

（5）

将式(4)代入式(5)得

（6）

对于式(6)，当，时，，则a i=a A，式 (6)变成计算直线段上任意点切线坐标方位角计算公式；当，时，，，则式(6)代表圆曲线上任意点切线坐标方位角计算公式。

可见，若已知曲线段起点和终点的曲率及起点的切线坐标方位角，式(6)便能计算任意线型点位切线坐标方位角。

3、回旋曲线点位坐标计算

由图1可得回旋曲线上点位在坐标系下坐标计算公式：

（7）

（8）

设回旋曲线起点A在线路坐标系下的坐标为将式(6)替代式(8)中的，便得回旋曲线上任意点在线路坐标系下的坐标：

（9）

对于式(9)的解算，由于后半部分是定积分，我们引入复化辛普森公式对其进行解算。

首先将积分区间[DK A，DK i]划分为n等份，步长为H=（DK i-DK A）/n，分点里程DX K=DK A+KH，K=0，1，2，×××，n，记子区间[DX K，DX K+1]的里程为DX K+1/2，则DX K+1/2=（DX K+DX K+1）/2，K=0，1，2，×××，n-1。

由此式(9)用复化辛普森公式表示为

n-1n-1

X=X A+H/6´（cosa A+4∑cosa K+1/2+2∑cosa K +cosa i）

K=0k=1

n-1n-1

Y=Y A+H/6´（sina A+4∑sina K+1/2+2∑sina K +sina i）（10）

K=0k=1

式中：a A为回旋曲线起点A的切线方位角；a K+1/2为里程DX K+1/2点切线方位角；a K为里程DX K 点切线方位角；a i为里程DK i点切方位角。

对于式(10)，虽然是由回旋曲线导出的，但该式也适用直线段和圆曲线段。

三、复化辛普森公式的使用说明

为满足点位坐标计算精度，经验算取n=2。无论是直线段、圆曲线段、回旋曲线段，只要将各曲线段中的起点、终点的曲率和里程以及解求点里程Dki和各分点里程代入式

(2)、(6)、(10)便可获得待求点Dki的坐标。在计算时，要注意曲线的偏向。

四、公路匝道坐标计算源程序

L1 Lbl0：T“X1”U“Y1”C“AT”D“PA”E“PB”A“CH0”B“CHN”G“X0”I“Y0”：M：Lbl1：N=0：P=0：O=0：Q=0：S=0：{J}：J“CHI”

L2 Lbl2：N=N+1：H=2（J-A）/M：F=NH/2+A：R=C+180/p´（D+（E-D）/2（B-A）´（F-A））（F-A）：Int（N/2）=N/2=>O=O+cosR：P=P+sinR：¹>Q=Q+cosR：S=S+ sinRD

L3 N=M=>Goto3：¹>Goto2DLbl3：X=G+H/6´（cosC+4Q+2O-cosR：Y=I+H/6´（sinC+4S+2P-sinR）：X：“X=”ùY：“Y=”ù Pol（X-T，Y-U：Vù W<0=>W=W+360ù¹>WùDGoto1 X1----测站点X坐标

Y1----测站点Y坐标

AT----曲线起点方位角

PA----曲线起点曲率（当曲线右偏时，ρA取正；当曲线左偏时ρA取负。）

PB----曲线终点曲率（当曲线右偏时，ρB取正；当曲线左偏时ρB取负。）

CH0----曲线起点里程

CHN----曲线终点里程

X0----曲线起点X坐标

Y0----曲线起点Y坐标

M----求和累积次数n的2倍

CH----曲线待测点里程

X----曲线待测点X坐标

Y----曲线待测点Y坐标

V----测站至待测点间的距离

W----测站至待测点间的方位角

其中R=C+180/p´（D+（E-D）/2（B-A）´（F-A））（F-A）为（2）、（6）式的合并式，计算切线坐标方位角；O=O+cosR、P=P+sinR、Q=Q+cosR、S=S+ sinR、X=G+H/6´（cosC+4Q+2O-cosR、Y=I+H/6´（sinC+4S+2P-sinR）计算点位坐标。由于累计时O=O+cosR、P=P+sinR分别多累加了一个cosR、sinR，所以在程序中（10）式最后一项前为负号。五、坐标计算算例