旋转曲面的参数方程(利用正交变换作旋转)

旋转曲面的参数方程

---------利用正交变换作旋转

众所周知，yOz 坐标面上的曲线(,)0F y z =绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为

()0F z = （1）

（见同济大学《高等数学》（5版上册），313页）。

如果以上曲线的方程能写成显函数()y f z =（a z b ≤≤），则该旋转曲面的方程为

()f z =或 2

2

2

[()]x y f z += （2）

这个方程的几何意义是：对曲线上的每一点(0,,)P y z ，这个方程给出圆心在(0,0,)z ，半径为

()f z 的一个垂直于z 轴的圆。当z 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。

如果曲线的方程是显函数()y f z =（a z b ≤≤），我们也可以用参数方程来表示这个旋转面：

()cos ()sin x f z y f z z z θ

θ⎧=⎪

=⎨⎪=⎩

（02θπ≤≤，a z b ≤≤） （3）

这个方程的几何意义是：对每一个[,]z a b ∈，参数方程给出一个半径为()f z 的垂直于z 轴的圆。当z 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。

如果曲线的方程能写成参数方程()

()

y f t z g t =⎧⎨

=⎩（a t b ≤≤），则旋转曲面的参数方程为：

()cos ()sin ()x f t y f t z g t θθ⎧=⎪

=⎨⎪=⎩

（02θπ≤≤，a t b ≤≤） （4） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]t a b ∈，参数方程给出一个半径为()f t 的垂直于z 轴的圆。当t 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。

推而广之，如果该曲线是空间曲线，其参数方程为()()()x h t y f t z g t =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

（a t b ≤≤），则此曲线绕z

轴旋转而成的旋转曲面的参数方程为：

2222

[()][()]cos [()][()]sin ()x h t f t y h t f t z g t θθ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩

（02θπ≤≤，a t b ≤≤） （5） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]t a b ∈，参数方程给出一个半径为22[()][()]h t f t +的垂直于z 轴的圆。当t 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。（见同济大学《高

等数学》（5版上册），322页））。

例1 yOz 坐标面上的圆222

()y b z a -+= （0a b <<）绕z 轴旋转而成的旋转曲面为一圆

环面。为了得到圆环面的参数方程，先将圆用参数方程表示为cos sin y b a t

z a t =+⎧⎨=⎩

（02t π≤≤），

再用方程（4）得到圆环面的参数方程：

cos cos cos sin sin x b a t y b a t z a t θθ⎧=+⎪

=+⎨⎪=⎩

（02θπ≤≤，02t π≤≤） 如图1（取1,3a b ==）。

图1 圆环面

绘制图1的Mathematica 程序： a=1;b=3;

xx[t_]:=0;yy[t_]:=b+a Cos[t];zz[t_]:=a Sin[t]; r[t_]:=Abs[yy[t]];

x[t_,theta_]:=r[t] Cos[theta];y[t_,theta_]:=r[t] Sin[theta];z[t_,theta_]:=zz[t];

Quxian=ParametricPlot3D[{xx[t],yy[t],zz[t]},{t,0 ,2 Pi},PlotStyle ->{Red,Thickness[0.02]}];

Qumian=ParametricPlot3D[{x[t,theta],y[t,theta],z[t,theta]},{t,0,2 Pi},{theta,0,2 Pi},PlotPoints ->40];

X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-5,5},PlotStyle ->AbsoluteThickness[3]];

Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-5,5},PlotStyle ->AbsoluteThickness[3]];

Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyle ->AbsoluteThickness[3]];

XYZ=Show[X,Y,Z];

Show[Qumian,Quxian,XYZ,PlotRange ->{{-5,5},{-5,5},{-3,3}},Boxed ->Fals e,Axes ->False,ViewPoint ->{5,4,3}]

例2 空间直线12x y t z t =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

（a t b <<）绕z 轴旋转而成的旋转曲面为一单叶双曲面。用方程

（5）得到单叶双曲面的参数方程：

22

1cos 1sin 2x t y t z t θθ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩

（02θπ≤≤，a t b ≤≤） （见同济大学《高等数学》（5版上册），322页））。如图2

图2 单叶双曲面

绘制图2的Mathematica 程序：

xx[t_]:=1;yy[t_]:=t;zz[t_]:=2t; r[t_]:=Sqrt[xx[t]^2+yy[t]^2];