原函数与导函数的关系

课题：探究原函数与导函数的关系

首师大附中 数学组 王建华

设计思路

这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。

整个教学流程

1. 从经验观察发现，猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较容易上手。

2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y 轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。

3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶函数的性质拓展为关于直线x a =对称，研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类比迁移前面的方法。能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。

4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。

教学目标

在这个探究过程中

1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解；

2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力；

3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。

4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。

教学重点

以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。

教学难点

灵活运用所学知识探索未知领域。

新课引入

前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图，你能根据原函数的图像画出导函数的示意图吗？

一． 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。

问题1 已知函数()y f x =的图像，请尝试画出其导函数的图像示意图。

3()f x x = 2'()3y f x x ==

导函数的实质是原函数的瞬时变化率，导函数的正负反应了原函数的单调性，导函数的

大小反应了原函数增减的快慢。从图像的整体性质上看，你还有什么发现？

猜想p : 可导的奇函数的导函数是偶函数，猜想q: 可导的偶函数的导函数是奇函数。问题2 你能根据图象上解释一下你的猜想吗？奇函数关于原点中心对称，它的曲线在原点两侧等距离处升降速度相同，即切线斜率相等； 偶函数关于y 轴对称，它的曲线在y 轴两侧等距离处升降速度绝对值相等，即切线斜率互为相反数。

问题3尝试证明你的猜想

P : 已知()y f x =是可导的奇函数，求证'()y f x =时偶函数

分析1：欲证'()y f x =时偶函数，只需证'()'()f x f x -=

若将'()f x -理解将'()f x 中的x 替换为x -得到的函数，可以用导数定义证明。

证明：当()y f x =是奇函数时,对定义域中的任意x 都有

所以'()y f x =时偶函数

分析2.用复合函数求导

证明：当()y f x =是奇函数时，对定义域中的任意x 都有()()f x f x -=-

两边对x 求导得[()]'[()]'f x f x -=-，即'()(1)'()f x f x -⋅-=-

得'()'()f x f x -=，所以'()y f x =时偶函数

命题 q 同理可证.

思考：看来已知原函数的奇偶性，我们可以确定导函数的奇偶性，那么已知导函数的奇偶性能否推知原函数的奇偶性呢？命题p 和q 的逆命题是否成立呢？

二．探究由导函数的奇偶性能否推出原函数的奇偶性。

问题4 p 和q 的逆命题是否成立？

p 的逆命题：若'()y f x =是偶函数，则()y f x =奇函数

此命题不正确，可举出反例：如'()y f x x ==是奇函数，而原函数21()2

y f x x c ==+ 当c 不为0时，原函数不是偶函数。

这是什么原因造成的呢？因为原函数定了，导函数是唯一确定的，而同一个导函数的原函数有无穷多个。一个函数向上或向下平移后导函数是不变的，直观理解是切线的斜率不变。而函数上下平移就不能保证图象关于原点中心对称了。

q 的逆命题：若'()y f x =是奇函数，则()y f x =偶函数

证明：'()y f x =是奇函数时

x

y o

能否推出()()0f x f x --=？

只能推出()()f x f x c --=，思考c 是确定的值吗？能求吗？

问题转化为导函数是0，原函数是什么？可以举出分段的常数函数 ，为使此命题成立，我们加强一下条件，将命题改为“对于在R 上连续可导的函数，若'()y f x =是奇函数，则

()y f x =偶函数”

。 此时()y f x =在0x =处有定义，则(0)(0)0f f c --==，此时可得()()f x f x =-，原函数是偶函数。

三．探究由原函数的对称性能否推出导函数的对称性

对于连续的可导函数，原函数的奇偶性可以推出导函数的奇偶性，而逆命题中当导函数为奇函数时，原函数是偶函数，但当导函数为偶函数时，原函数不一定是奇函数，那么此时原函数虽然不是奇函数了，它是不是也有什么性质呢？它的图像应该是中心对称的。能否将刚才的结论推广一下？

问题5 奇函数图象特征是关于原点中心对称，偶函数图象特征是关于y 轴对称， 能否将上述命题推广一下？

P 的推广命题r ：若可导函数()y f x =关于(,)a b 对称，则它的导函数关于直线x a =对称。 证明：()y f x =关于(,)a b 对称，则()(2)2f x f a x b +-=，

即'()'(2)f x f a x =-，所以其导函数关于直线x a =对称。

q 的推广命题s ：若可导函数()y f x =关于x a =对称，则它的导函数关于(,)a b 对称 证明：()y f x =关于x a =对称，则()(2)f x f a x =-，

即'()'(2)f x f a x =--

所以其导函数关于(,0)a 对称导函数的对称中心在x 轴上. 修改命题s .

若可导函数()y f x =关于x a =对称，则它的导函数关于(,0)a 对称

令'()'(2)f x f a x =--中x a =可得'()0f a =，能否从图像中找到解释？

四．探究由导函数的对称性能否推出原函数的对称性

问题6 思考：命题r ，s 逆命题是否成立？

命题r 的逆命题：对于在R 上可导的函数()y f x =，若它的导函数关于直线x a =对称，则原函数关于(,)a b 对称

证明：'()y f x =关于直线x a =对称，则'()'()f a x f a x +=-