整数的性质和应用

整数的性质和应用

1.1 不是质数，也不是合数；2 是唯一的偶质数。

2. 若质数p|ab, 则必有p|a

或p|b 。 3. 若正整数a, b 的积是质数p, 则必有a=p 或b=p。

4. 定理1.设a是一个大于1的正整数，则a的大于1的最小正因数p 一定是质数。

5.定理2.若p是质数，则对任一整数a,或者p|a,或者（p, a ）=1

6. 定理3. 质数有无穷多个。

7. 形如4n-1（n 为正整数）的质数有无穷多个。

8. 算术基本定理：任意一个大于1的整数N能分解成K个质因数的乘积，若不考虑质因数之间

的顺序，则这种分解是唯一的，可以写成标准分解形式:

1. 已知三个不同的质数a ,b,c 满足babe，a,2000,求a+b+c的值。

nn2.若n是大于2的正整数，求证：与中至多有一个是质数。2,12，1

3.用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm规格的地

砖，恰用n块；若选用边长为yem规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x、y、n 都是正整数，且（x, y ）=1. 试问这块地有多少平方米？

22224.设a,b,c,d 都是自然数，且a，b,c，d，证明一定是合数。a，b，c，d

5. 若n为自然数，n+3与n+7都是质数，求n除以3所得的余数。

226. 设自然数n,n,79n,nnn ，且有，试求与的值。121212

7. n是不小于40的偶数，试证明：n总可以表示成两个奇合数的和。

a8.若a,b,c是1998的三个不同的质因数，且（b，c），则的值是多少？a,b,c

14549.四个质数的倒数之和是，则这四个质数之和是多少？1995

10. 有四个数，一个是最小的奇质数，一个是偶质数，一个是小于30的最大质数，另一个是

45p，3p，3 仍是质数，求的值。大于70的最小质数，求它们的和

11. p是质数，p12.已知质数p和q满足，求的值。3p , 5q,313q , 1

1. 有三个正整数，一个是最小的奇质数，一个是最小的奇合数，另一个既不是质

数，也不是合数，求三个数的积。

2. 有三个数，一个是偶质数，一个是大于50 的最小质数，一个是1 00以内最大的质数，求这三个数的和。

3. 设m与n是两个大于2的质数，证明m+n是一个合数。

4. 若p 是一个质数，23p，3p，3 仍为质数，求证：也是一个质数。

5. 设P>5,证明：若P和2P+1均为质数，则4P+1为合数。

6. 若P与P+3都是质数，求P除以3所得的余数。（P>3

227. 若自然数n,n,2n,2n,19n,nn,n ，且，求的值。12121212

8. 有四个不同质因数的最小自然数是多少？

9. 求200 的正约数个数，并求它的所有质因数的和。

545410.若n,4，545,则n是质数还是合数？

11. 若质数m, n满足5m+7n=129,求m+n的值。

12. 一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个质数，我们称它为“无暇质

数”，则所有“无暇质数”之和是多少？

13. 机器人对自然数从1 开始由小到大按如下的规则进行染色：凡能表示为两个合数之和的

自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，求

第1992 个数是多少？

14. 证明有无穷多个n,使多项式2n, n, 41 (1)表示合数(2)为43的倍

数。

qp15.已知正整数p ,q都是质数，且7p+q与pq+11也都是质数，试求p, q的

值。

16. 1 与0交替排列,组成下面形式的一串数：101, 10101, 1010101, 101010101, , 请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论。

17.41 名运动员所穿运动衣号码是1, 2, ,, 40, 41这41个自然数,问：

( 1)能否使这41 名运动员站成一排,使得任意两个相邻运动员的号码之和是质

数？ (2)能否使这41 名运动员站成一圈,使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？若能办到,请举一例；若不能办到,请说明理由。