【高中数学】MS16对数平均不等式(含答案)
对数不等式知识点总结及习题精讲
对数不等式知识点总结及习题精讲1. 设0,1,log ()log ()a a a a f x g x >≠>﹒(1) 当1a >时()()()0()0f x g x f x g x >⎧⎪⇒>⎨⎪>⎩﹒(2)当01a <<时()()()0()0f x g x f x g x <⎧⎪⇒>⎨⎪>⎩2.欲解2(log )(log )0a a p x q x r ++>型式的不等式﹐则先令log a x t =﹐代入不等式得20pt qt r ++>﹐再利用因式分解求出t 的范围﹐即可求得x 之范围3.对数函数的极值求法：(1)欲求函数2()(log )(log )a a f x p x q x r =++的极值时﹐可以先令log a t x =代入函数得二次函数2()g t pt qt r =++﹐再利用配方法求极值 (2)利用算几不等式求极值典型例题1.解下列不等式：(1)log 2(3x ) > log 2(x + 2)﹒ (2)log 3(5x ) < log 3(x + 4)﹒【解答】(1)323020x x x x >+⎧⎪>⎨⎪+>⎩﹐得x > 1﹒(2)545040x x x x <+⎧⎪>⎨⎪+>⎩﹐得0 < x < 1﹒2.解不等式：(1) log 2(x - 1) < 1 + log 4(x + 2)之解为 。
(2) log 3(log 21x ) < 1之解为 。
【解答】(1)∵ 原式有意义 ⇒ ⎩⎨⎧>+>-0201x x ⇒ x > 1……①原式化为log 2(x - 1) < log 22 +21log 2(x + 2) ⇒ x - 1 < 2 (x + 2)21⇒ (x - 1)2 < 4 (x + 2)⇒ x 2 - 6x - 7 < 0 ⇒ (x + 1)(x - 7) < 0 ⇒ - 1 < x < 7……② 由①②得1 < x < 7(2)log 3(log 21x ) < 1 ⇒ log 3(log 21x ) < log 33 ⇒ 0 < log 21x < 3⇒ log 211 < log 21x < log 21(21)3⇒ 1 > x >813.解下列各不等式：(1)132log (log )2x ≥-﹒ (2)144log (log )2x >﹒【解答】(1)2131221log (log )2log ()2x -≥-=⇒ 0 < log 3x ≤ 4⇒ log 31 < log 3x ≤ log 334 ⇒ 1 < x ≤ 81﹒ (2)2141441log (log )2log ()4x >=⇒410log 16x <<⇒116444log 1log log 4x << ⇒1812x <<﹒随堂练习.解下列各不等式：(1)log 3(x - 4) < log 9(x - 2)﹒ (2)log 0.7(x + 3) < log 0.49(x 2 + 3x + 2)﹒【解答】(1)由真数x - 4 > 0与x - 2 > 0 ⇒ 即x > 4…①log 3(x - 4) = log 9(x - 4)2 ⇒ log 9(x - 4)2 < log 9(x - 2) 又底数9 > 1⇒ (x - 4)2 < x - 2﹐可得3 < x < 6…② 由①②可知﹕4 < x < 6﹒(2)真数恒正﹕x + 3 > 0且x 2 + 3x + 2 > 0 x > - 3且（x > - 1或x < - 2） ⇒ - 3 < x < - 2或x > - 1…① log 0.49(x + 3)2 < log 0.49(x 2 + 3x + 2) 又底数0.49 < 1⇒ (x + 3)2 > x 2 + 3x + 2 ⇒ 6x + 9 > 3x + 2 73x ⇒>-…②由①②知﹕723x -<<-或x > - 1﹒随堂练习.解下列各不等式：(1)212log (log )0x > (2)212log (log )0x <﹒【解答】(1)2122log (log )0log 1x >=⇒11221log 1log 2x >=⇒102x <<﹒ (2)2122log (log )0log 1x <=⇒120log 1x <<⇒1112221log 1log log 2x <<112x ⇒>>即112x <<﹒随堂练习.解不等式2122log (log (log ))1x >﹒【解答】2122log (log (log ))1x >21222log (log (log ))log 2x ⇒>2121122211log (log )2log ()log 24x ⇒>==（因为底数2 > 1）210log 4x ⇒<<（因为底数112<﹐且真数log 2x > 0）142222log 1log log 2log x ⇒<<=1x ⇒<随堂练习.不等式log 21(3x + 1) > 2之解为 。
高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用
高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则b b m a a m +<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。
ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。
3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22Sxy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析 一、基础题型。
1.直接利用均值不等式求解最值。
例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 。
2020学年高中数学课时作业16对数北师大版必修1(2021-2022学年)
课时分层作业（十六）对数（建议用时：60分钟)［合格基础练]一、选择题１.若x=y２(y〉0，且y≠1）,则(）A．loｇ2x=y B．lｏｇ2ｙ＝xC．log x y=2 D．ｌｏg yｘ=2[答案］D2．若3lｏg３x２=9,则x＝( ）A．3 B．-3C．±3 ﻩＤ．2C［由已知得x2＝9，∴x=±3.]３.已知loｇa2＝m,log a3＝ｎ,则a２ｍ＋n=（)A.5B.7C.10 ﻩD．１2D[a２ｍ+n＝a2loｇａ2＋ｌoｇa３=aｌog a12=１２.］４.若lg２=a,ｌg 3=b，则lg错误!未定义书签。
＝（ )A．a+3b B．错误!未定义书签。
a＋错误!bC。
错误!未定义书签。
a+b D.a＋错误!未定义书签。
ｂB [lg错误!未定义书签。
=错误!未定义书签。
lｇ 5４＝＼f（1,2)(lg 2＋ｌｇ２7)＝＼ｆ（1,2)(lg 2+3lg 3)＝错误!（ａ＋3ｂ)=错误!a+错误!ｂ。
］5.若方程（lg x)2＋（lｇ２+lg ３)lｇx+lg 2lｇ 3=０的两根为x1,x2,则x1x2＝()A．-ｌｇ 2-ｌg 3 ﻩB．lg 2ｌg3C.错误!未定义书签。
ﻩD．－6C［由根与系数的关系得lg ｘ1＋lg x2=-(lg ２+lｇ 3）,∴ｌg x1x2=－lｇ6,∴lg x１ｘ２=lg ＼f（1，6）,∴x１ｘ2=错误!未定义书签。
.]二、填空题6.若loｇ7［ｌog3(log2x)]=０,则x=_＿_＿＿＿_＿．ﻬ８[由已知得loｇ3（ｌｏｇ2x)＝7０＝1，∴lｏg2x＝31=３,∴x=23＝8.]７．lg错误!未定义书签。
-lｇ 25＝＿_＿___＿_.-2 [ｌg 错误!未定义书签。
-lg ２5＝lg＼f（１,4×２5)＝ｌg 错误!未定义书签。
＝lg 10－２＝－2ｌg １０=-２.]8.已知a错误!=错误!未定义书签。
(a〉0)，则ｌｏg错误!a=__＿_____。
2024年新高一数学初升高衔接《对数及其运算》含答案解析
第16讲 对数及其运算模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点 1 对数的概念与性质1、对数的概念：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg 自然对数以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数ln3、对数的性质（1）当0a >，且1a ≠时，x a N =⇔log a x N =；（2）负数和0没有对数，即0>N ；（3）特殊值：1的对数是0，即log 1a =0（0a >，且1a ≠）；底数的对数是1，即log 1a a =（0a >，且1a ≠）；（4）对数恒等式：log a N a N =；（5）log ba ab =．知识点 2 对数的运算性质及应用1、运算性质：0>a ,且1≠a ，0,0>>N M （1）N M MN a a a log log )(log +=；（2）N M NMa a alog log log -=；（3）M n M a na log log =2、换底公式（1）换底公式：abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．（2）可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =； ②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b n mb a ma n log log =； ⑤b b a alog log 1-=.知识点 3 对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式xyza b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y za b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解．考点一：对数的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子(31)log (2)x x --有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．123x <<C ．123x <<且23x ≠D ．2x <，【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式()()3log 5a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),35,-∞⋃+∞B ．()3,5C ．()3,4D ．()()3,44,5【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若M N =则log log a a M N =；B ．若log log a a M N =，则M N =；C ．22log log a a M N =，则M N =；D ．若M N =，则22log log a a M N =．考点二：对数式与指数式互化例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将3log 0.81x =化成指数式可表示为（ ）A ．30.81x =B ．0.813x =C ．0.813x=D ．30.81x=【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将328=化为对数式正确的是（ ）A ．2log 38=B ．2log 83=C ．8log 23=D ．3log 28=【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知)4x =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（ ）A ．0e 1=与ln1=0B ．131273-=与2711log 33=-C ．2log 42=与1242=D ．5log 5=1与155=考点三：利用对数性质解对数方程例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（ ）A ．3-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程()3log 941xx -=+的实数解为.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x -+=的两个实数根，则log log a b b a +=．【变式3-3】（23-24高一上·全国·练习）已知a ，b 是方程3273log log 433x x +=-的两个根，试给出关于a ，b 的一个结论．考点四：利用对数运算性质化简例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）A ．22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B ．335log 5log 2log 93⋅⋅=C．ln 2eπ+=D122.535[(0.064)]1-=【变式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭.【变式4-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算：(1)2+00.5281(log 8log 2)(3)16⋅-；(2)ln3427log 9log 8lg 4lg 25e+⋅++.【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)420.5251log log 3log 95+-；(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--．考点五：用已知对数表示其他对数例5.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若lg2a =，lg3b =，则用a ，b 表示lg12=（ ）A ．2a bB ．2abC ．2+a bD ．2a b+【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知25a=，则lg 2=（ ）A ．1aa +B ．1a a -C ．11a +D ．1a a -【变式5-2】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知2log 3a =，27b =，用a ，b 表示42log 56为（ ）A ．3b a b++B ．3b a b+C ．31b a b +++D ．31b a b ++【变式5-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知lg2,lg3a b ==，则30log 18=（ ）A ．21a bb +-B ．21a b b ++C ．21a b b --D ．21a b b -+考点六：利用换底公式证明等式例6.（23-24高一上·山东淄博·期末）设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，那么下列关系正确的是（ ）A ．2a b c+=B ．2ac bc ab+=C ．1112a b c+=D ．112a b c+=【变式6-1】（23-24高一上·全国·随堂练习）求证：28log 643log 64=．【变式6-2】（23-24高一上·全国·随堂练习）设0a >，0b >，0α≠，且1a ≠，1b ≠，利用对数的换底公式证明：(1)1log log a b b aαα=；(2)log log a a b b αββα=．【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设000a b a >>≠，，，且11a b ≠≠，，利用对数的换底公式证明：(1)log log a a b b αββα=；(2)1log log a b b aαα=；(3)计算：若2log 32x =，求33x x -+的值．一、单选题1．（23-24高一上·全国·专题练习）在()log 5a b a =-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或a<0B ．01a <<或15a <<C ．01a <<D ．15a <<2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lg a （0a >）与lgb （0b >）互为相反数，则（ ）A ．1a b +=B ．0a b -=C ．1ab =D ．1ab=3．（23-24高一上·全国·课后作业）将31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式正确的是（ ）A ．121log 38=B ．121log 38=C ．181log 32=D ．311log 28=4．（23-24高一下·陕西西安·月考）1lg 22+=（ ）A ．12B ．1C ．lg 5D．5．（23-24高一上·北京·月考）若1ab >，则下列等式中正确是的是（ ）A ．()lg lg lg ab a b=+B ．lg lg lg a a bb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()21lg()lg 2a b a b +=+D ．()1lg log 10ab ab =6．（23-24高一上·天津·期末）化简2345log 3log 4log 5log 8⨯⨯⨯的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8二、多选题7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（ ）A ．lg 2lg 3lg 5+=B ．33log 10010log 10=C ．4log 545=D ．34log 4log 31⋅=8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．已知25a=，8log 3b =，则34a b -=259B ．222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 2++-的值为1C ．若3log 41x =，则44x x -+的值为103D ．若23m n k ==且112m n+=，则k =6三、填空题9．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知2log 3a =，25b =则12log 45= .（用含,a b的式子表示）10．（23-24高一下·云南昆明·期中）若4312,log 12a b ==，则11a b+=.11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设m ，n 是方程()23lg lg 10x x -+=的两个实根，则mn =．四、解答题12．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.(3)()()48392log 3log 3log 2log 2++13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若3515a b ==，求55a b+的值；（2）求值：()()22327lg 5lg 2lg 503π++⨯--.第16讲 对数及其运算模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．理解对数的概念，掌握对数的基本性质；2．掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程；3．理解对数的运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；4．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明.知识点 1 对数的概念与性质1、对数的概念：如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．2、常用对数与自然对数名称定义记法常用对数以10为底的对数叫做常用对数lg自然对数以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数ln3、对数的性质（1）当0a >，且1a ≠时，x a N =⇔log a x N =；（2）负数和0没有对数，即0>N ；（3）特殊值：1的对数是0，即log 1a =0（0a >，且1a ≠）；底数的对数是1，即log 1a a =（0a >，且1a ≠）；（4）对数恒等式：log a N a N =；（5）log ba ab =．知识点 2 对数的运算性质及应用1、运算性质：0>a ,且1≠a ，0,0>>N M （1）N M MN a a a log log )(log +=；（2）N M NMa a alog log log -=；（3）M n M a na log log =2、换底公式（1）换底公式：abb c c a log log log =(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)．（2）可用换底公式证明以下结论：①ab b a log 1log =； ②1log log log =⋅⋅a c b c b a ；③b b a na n log log =；④b n mb a ma n log log =； ⑤b b a alog log 1-=.知识点 3 对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式xyza b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y za b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解．考点一：对数的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）下列选项中错误的是（ ）A ．零和负数没有对数B ．任何一个指数式都可以化成对数式C ．以10为底的对数叫做自然对数D ．以e 为底的对数叫做常用对数【答案】BCD【解析】对于A ：由对数的定义可知：零和负数没有对数.故A 正确；对于B ：只有符合0a >，且10a N ≠>，，才有log xa a N x N =⇔=，故B 错误；对于C ：以10为底的对数叫做常用对数，故C 错误；对于D ：以e 为底的对数叫做自然对数，故D 错误.故选：BCD.【变式1-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）使式子(31)log (2)x x --有意义的x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．123x <<C ．123x <<且23x ≠D ．2x <，【答案】C【解析】由式子(31)log (2)x x --有意义，则满足31031120x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得123x <<且23x ≠.故选：C.【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式()()3log 5a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),35,-∞⋃+∞B ．()3,5C ．()3,4D ．()()3,44,5 【答案】D【解析】要使对数式()()3log 5a b a -=-有意义，需满足303150a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得34a <<或45a <<，所以实数a 的取值范围是()()3,44,5 ．故选:D.【变式1-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）A ．若M N =则log log a a M N =；B ．若log log a a M N =，则M N =；C ．22log log a a M N =，则M N =；D ．若M N =，则22log log a a M N =．【答案】B【解析】对A ，若0M N =≤，则log ,log a a M N 均无意义，故A 错；对B ，若log log a a M N =，说明0M N =>，则B 项正确；对C ，若22log log a a M N =，则22M N =，不一定能推出M N =，故C 错；对D ，若0M N ==，则22log ,log a a M N 无意义，故D 错.故选：B考点二：对数式与指数式互化例2.（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将3log 0.81x =化成指数式可表示为（ ）A ．30.81x =B ．0.813x =C ．0.813x=D ．30.81x=【答案】A【解析】把对数式3log 0.81x =化成指数式，为30.81x =．故选：A ．【变式2-1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）将328=化为对数式正确的是（ ）A ．2log 38=B ．2log 83=C ．8log 23=D ．3log 28=【答案】B【解析】328=化为对数式为2log 83=，故选：B ．【变式2-2】（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知)4x =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【答案】C【解析】由)4x =得42x =，即22x x =，又0x >且1x ≠，所以2x =，故选：C ．【变式2-3】（23-24高一上·江西宁冈·期中）（多选）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（ ）A ．0e 1=与ln1=0B ．131273-=与2711log 33=-C ．2log 42=与1242=D ．5log 5=1与155=【答案】ABD【解析】根据指数式与对数式的互化公式log Na ab b N =⇔=(0a >且1,0)a N ≠>可知，ABD 正确；对于C ，22log 4242=⇔=，故C 错误.故选：ABD考点三：利用对数性质解对数方程例3.（23-24高一·江苏·假期作业）方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为（ ）A ．3-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B【解析】由()()2lg 1lg 22x x -=+，得2212210220x x x x ⎧-=+⎪->⎨⎪+>⎩，即2223010220x x x x ⎧--=⎪->⎨⎪+>⎩，解得3x =，所以方程()()2lg 1lg 22x x -=+的根为3.故选：B【变式3-1】23-24高一上·山东烟台·月考）方程()3log 941xx -=+的实数解为.【答案】3log 4【解析】由()3log 941x x -=+，得()133log 94log 3x x +-=，所以1943x x +-=，即()23433x x -=⋅，即()()34310x x-+=，所以34x =或31x =-（舍去），所以3log 4x =.故答案为：3log 4.【变式3-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x -+=的两个实数根，则log log a b b a += ．【答案】52/2.5【解析】方法一：因为a ，b 是方程()22ln 3ln 10x x -+=的两个实数根，由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=，3ln ln 2a b +=，则()()()()2222ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2a b a b a b a b a b b a b a a b a b a b a b ++-⋅++=+===-=⋅⋅⋅，即5log log 2a b b a +=；方法二：因为22310t t -+=的根为1t =或12t =，不妨设ln 1a =，1ln 2b =，则e a =，b =，所以e 15log log log 222e a b b a +=+=+=．故答案为：52.【变式3-3】（23-24高一上·全国·练习）已知a ，b 是方程3273log log 433x x +=-的两个根，试给出关于a ，b 的一个结论 ．【答案】1081a b +=（答案不唯一）【解析】根据换底公式有33333log log lo 7g l 343og 32x x +=-，即33114133log log x x ++=-+，令3g 1lo x t +=，则1433t t +=-，解得1t =-或3t =-.所以31log 1x +=-或31log 3x +=-，解得19x =或181x =.故答案为：1081a b +=（答案不唯一）考点四：利用对数运算性质化简例4.（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（ ）A ．22(lg5)2lg2(lg2)1+-=B ．335log 5log 2log 93⋅⋅=C．ln 2e π+=D122.535[(0.064)]1-=【答案】A【解析】对于A 中，由2222(lg5)2lg2(lg2)(1lg2)2lg2(lg2)1+-=-+-=，所以A 正确；对于B 中，由335lg5lg22lg3log 5log 2log 93lg3lg3lg5⋅⋅=⋅⋅≠，所以B 错误；对于C中，由ln 27e log 825ππ=++-≠，所以C 错误；对于D 中，122.513551515[(0.064)](0.4)122222--=+⨯=+⨯≠，所以D错误．故选：A【变式4-1】（23-24高一下·浙江·期中）化简()2151515155log 91log 3log 5log log 155⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭.【答案】1【解析】原式()()()()22221515151515151515log 3log 9log 5log 5log 32log 3log 5log 5=+⋅+=+⋅+()21515log 3log 5=+()215log 151==.故答案为：1.【变式4-2】（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算：(1)2+00.5281(log 8log 2)(3)16⋅-；(2)ln3427log 9log 8lg 4lg 25e+⋅++.【答案】(1)0；(2)6【解析】（1）原式=1122234937(1()1021644+-=+-=（2）原式=3+log 23⋅log 32+lg100=3+1+2=6．【变式4-3】（24-25高一上·全国·课后作业）计算：(1)420.5251log log 3log 95+-；(2)()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--．【答案】(1)0；(2)2【解析】（1）420.5251log log 3log 95+-22222251log log 95log 3log 4log 0.5=+-2225log log 3log 53=+-225log 35log 103⎛⎫=⨯÷== ⎪⎝⎭；（2）()2323223log 2log 3log 2log 3log 3log 2+--2ln 2ln 3ln 2ln 2ln 3ln 3ln 3ln 2ln 3ln 3ln 2ln 2⎛⎫=+-⋅-⋅ ⎪⎝⎭2222ln 2ln 3ln 2ln 322ln 3ln 2ln 3ln 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.考点五：用已知对数表示其他对数例5.（23-24高一下·江苏盐城·期末）若lg2a =，lg3b =，则用a ，b 表示lg12=（ ）A ．2a bB ．2abC ．2+a bD ．2a b+【答案】D【解析】由对数运算性质可得()2lg12lg 34lg3lg4lg3lg2lg32lg22a b =⨯=+=+=+=+，故选：D.【变式5-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知25a=，则lg 2=（ ）A ．1aa +B ．1a a -C ．11a +D ．1a a -【答案】C 【解析】由25a=得，2lg 51lg 2log 5lg 2lg 2a -===，则1lg 21a =+，故选：C ．【变式5-2】（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知2log 3a =，27b =，用a ，b 表示42log 56为（ ）A ．3b a b++B ．3b a b+C ．31b a b +++D ．31b a b ++【答案】C【解析】因为27b =，所以2log 7=b ，2222242222222log 56log 7log 8log 73log 23log 56log log 7742log log log l g 62o ++==+=++31+=++b b a .故选： C.【变式5-3】（23-24高一上·甘肃武威·月考）已知lg2,lg3a b ==，则30log 18=（ ）A ．21a bb +-B ．21a b b ++C ．21a b b --D ．21a b b -+【答案】B 【解析】30lg18lg2lg92log 18lg30lg311a bb ++===++，故选:B.考点六：利用换底公式证明等式例6.（23-24高一上·山东淄博·期末）设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，那么下列关系正确的是（ ）A ．2a b c +=B ．2ac bc ab+=C ．1112a b c+=D ．112a b c+=【答案】C【解析】由346a b c k ===，得3log a k =，4log b k =，6log c k =，1log 3k a=，1log 4k b =，1log 6k c =，则11log 4log 222k k b ==，根据log 3log 2log 6k k k +=可知，1112a b c+=.故选：C 【变式6-1】（23-24高一上·全国·随堂练习）求证：28log 643log 64=．【答案】证明见解析【解析】左边622log 26log 26===，右边362263log 23log 263==⨯⨯=，所以左边=右边，得证.【变式6-2】（23-24高一上·全国·随堂练习）设0a >，0b >，0α≠，且1a ≠，1b ≠，利用对数的换底公式证明：(1)1log log a b b aαα=；(2)log log a a b b αββα=．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）log 1log log log b a b b b b a aααα==，所以等式成立；（2）log log log log log log a a a a a a b b b b a a αββαββαα===，所以等式成立.【变式6-3】（23-24高一上·河北石家庄·月考）设000a b a >>≠，，，且11a b ≠≠，，利用对数的换底公式证明：(1)log log a a b b αββα=；(2)1log log a b b aαα=；(3)计算：若2log 32x =，求33x x -+的值．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)174【解析】（1）因为log log log log log a a a a a a b b b b a a αββββα===，所以命题log log a ab b αββα=得证.（2）因为log 1log log log b a a b b b b a aαα==，所以命题1log log ab b a αα=得证.（3）因为2log 32x =，所以22322log 22log 4log 3log 3x ===，故1333log 4log 4log 4117333343444x x---+=+=+=+=，即33x x -+的值为174.一、单选题1．（23-24高一上·全国·专题练习）在()log 5a b a =-中，实数a 的取值范围是（ ）A ．5a >或a<0B ．01a <<或15a <<C ．01a <<D ．15a <<【答案】B【解析】由对数的定义可知5001a a a ->⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得05a <<，且1a ≠，故选：B ．2．（23-24高一下·湖南株洲·月考）若lg a （0a >）与lg b （0b >）互为相反数，则（ ）A ．1a b +=B ．0a b -=C ．1ab =D ．1a b=【答案】C【解析】因为lg a （0a >）与lg b （0b >）互为相反数，所以lg lg lg 0a b ab +==，所以1ab =.故选：C.3．（23-24高一上·全国·课后作业）将31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式正确的是（ ）A ．121log 38=B ．121log 38=C ．181log 32=D ．311log 28=【答案】B【解析】31128⎛⎫= ⎪⎝⎭化为对数式：121log 38=，故选：B 4．（23-24高一下·陕西西安·月考）1lg 22+=（ ）A ．12B ．1C ．lg 5D．【答案】A【解析】11111lg 2lg 2lg 5lg(25)22222+=+=⨯=.故选：A5．（23-24高一上·北京·月考）若1ab >，则下列等式中正确是的是（ ）A ．()lg lg lg ab a b=+B ．lg lg lg a a bb ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()21lg()lg 2a b a b +=+D ．()1lg log 10ab ab =【答案】D【解析】当0,0a b <<时，ABC 均不成立，由换底公式知D 正确．故选：D ．6．（23-24高一上·天津·期末）化简2345log 3log 4log 5log 8⨯⨯⨯的值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．8【答案】B【解析】由题意可得：2345ln 3ln 4ln 5ln 8ln 83ln 2log 3log 4log 5log 83ln 2ln 3ln 4ln 5ln 2ln 2⨯⨯⨯=⨯⨯⨯===.故选：B.二、多选题7．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列运算正确的有（ ）A ．lg 2lg 3lg 5+=B ．33log 10010log 10=C ．4log 545=D ．34log 4log 31⋅=【答案】CD【解析】对A ，lg 2lg 3lg 6+=，故A 错误；对B ，33log 1002log 10=，故B 错误；对C ，4log 545=正确；对D ，34log 4log 31⋅=正确.故选：CD8．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．已知25a=，8log 3b =，则34a b -=259B ．222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 2++-的值为1C ．若3log 41x =，则44x x -+的值为103D ．若23m n k ==且112m n+=，则k =6【答案】ABC 【解析】因为25a=，则2log 5a =，且821log 3log 33b ==，则22253log 5log 3log 3a b -=-=则()22252log 253log 9332542229a b a b--====，故A 正确；()()222(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)lg 22lg 2lg 5lg 2lg 5lg 22lg 2lg 5lg 2++-=++-=+-lg 2lg 51=+=，故B 正确；由3log 41x =可得431log 3log 4x ==，则44log 3log 31104444333x x --+=+=+=，故C 正确；因为23m n k ==，则23log ,log m k n k ==，则11log 2,log 3k k m n==，所以11log 2log 3log 62k k k m n+=+==，所以k =D 错误；故选：ABC 三、填空题9．（23-24高一下·上海嘉定·月考）已知2log 3a =，25b =则12log 45=.（用含,a b的式子表示）【答案】22a b a ++【解析】因为25b =，所以2log 5b =，又2log 3a =，所以()()2222122222log 59log 45log 5log 9log 45log 12log 34log 3log 4⨯+===⨯+222222log 52log 3log 32log 2a ba ++=++=.故答案为：22a b a ++10．（23-24高一下·云南昆明·期中）若4312,log 12ab ==，则11a b +=.【答案】1【解析】因为312a =，所以3log 12a =，所以121212341111log 3log 4log 121log 12log 12a b +=+=+==.故答案为：1.11．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）设m ，n 是方程()23lg lg 10x x -+=的两个实根，则mn =．【答案】1000【解析】()23lg lg 10x x -+=，即()2lg 3lg 10x x -+=，设lg t x =，由题意lg lg m n ，是方程2310t t -+=的两个根，由根与系数关系得lg lg 3m n +=，即lg 3mn =，所以1000mn =.故答案为：1000.四、解答题12．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)0113410.027167-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)ln 2145log 2lg 4lg e 2+++.(3)()()48392log 3log 3log 2log 2++【答案】(1)53-；(2)52；(3)2【解析】（1）()()()111113443344410.027160.32147--⎛⎫⎡⎤-+=-+- ⎪⎣⎦⎝⎭10521433=-+-=-（2）2ln 221245log 2lg 4lg e log 2lg 2lg 5lg 222-+++=++-+13352lg 2lg 5lg 22lg 2lg 512222=-++-+=++=+=（3）()()()()232483932232log 3log 3log 2log 22log 3log 3log 2log 2++=++223311log 3log 3log 2log 232⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2343log 3log 2232⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（1）若3515a b ==，求55a b+的值；（2）求值：()()22327lg 5lg 2lg 503π++⨯--.【答案】（1）5；（2）13π-【解析】（1）因为3515a b ==，所以35log 15,log 15==a b ，3551,1lo 1g 15l g 1o 1a b ==，则()()15151535551155log 3log 55log 355log 15log 15a b ⎛⎫+=+=+=⨯= ⎪⎝⎭；（2）()()()()()22223331027lg 5lg 2lg 503π3lg 5lglg 105π35++⨯--=++⨯⨯-+()()()()()22223lg 51lg 51lg 5π312πlg 51lg 513π=++-⨯+-+=-++-=-．。
高中数学不等式练习题及参考答案2023
高中数学不等式练习题及参考答案2023不等式是高中数学中重要的概念之一，也是很多考试中必考的内容。
为帮助大家复习巩固，本文整理了十道高中数学不等式练习题及参考答案，供大家练习参考。
1. 已知 $x>0$，求证：$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}>1$【参考答案】$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+x}+\frac{x}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$。
2. 解不等式 $\frac{2-x}{x+1}\geq 1$。
【参考答案】$\frac{2-x}{x+1}\geq 1$，移项得 $\frac{1-x}{x+1}\geq 0$，即$\frac{x-1}{x+1}\leq 0$。
因此，$x\in(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$。
3. 解不等式 $\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$。
【参考答案】$\log_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+2)<2$，移项得 $x^2-3x+2>4$。
解得 $x\in(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$。
4. 已知 $a+b=1$，$a>0$，$b>0$，求证：$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。
【参考答案】By Jensen 不等式，$\frac{1}{2}(a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}) \geq\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}(a+b))=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{ 2} =1$。
所以，$a\cdot\log_{\frac{1}{a}}+b\cdot\log_{\frac{1}{b}}>2$。
对数不等式习题及答案
对数不等式习题及答案对数不等式是数学中的一种常见类型的不等式，它涉及到对数函数的性质和运算规则。
解决对数不等式的关键是要理解对数函数的性质，并运用这些性质来推导不等式的解集。
首先，我们来回顾一下对数函数的定义和性质。
对数函数是指以某个正数为底数的对数函数，常见的对数函数有以10为底数的常用对数函数和以自然常数e 为底数的自然对数函数。
对于任意正数a和正数x，我们有以下性质：1. 对数函数的定义：对于正数a和正数x，如果a^x=b，则称x为以a为底数的对数函数，记作log_a(b)。
2. 对数函数的基本性质：对于任意正数a、b和正数x，有以下运算规则：a) log_a(a)=1，即以a为底数的a的对数等于1。
b) log_a(1)=0，即以a为底数的1的对数等于0。
c) log_a(a^x)=x，即以a为底数的a的x次幂的对数等于x。
d) log_a(b)+log_a(c)=log_a(b*c)，即以a为底数的b和c的乘积的对数等于b 和c的对数之和。
e) log_a(b)-log_a(c)=log_a(b/c)，即以a为底数的b和c的商的对数等于b和c的对数之差。
f) log_a(b^x)=x*log_a(b)，即以a为底数的b的x次幂的对数等于x乘以以a 为底数的b的对数。
了解了对数函数的定义和性质之后，我们可以开始解决对数不等式。
对数不等式的解集可以通过以下步骤来确定：步骤1：将对数不等式转化为指数形式。
对于以a为底数的对数不等式log_a(f(x))<g(x)，我们可以将其转化为指数形式a^(log_a(f(x)))<a^(g(x))。
步骤2：利用指数函数的性质进行化简。
根据指数函数的性质，我们可以将上述不等式化简为f(x)<a^(g(x))。
步骤3：求解不等式。
根据化简后的不等式f(x)<a^(g(x))，我们可以通过分析函数f(x)和g(x)的性质，结合对数函数的性质，来确定不等式的解集。
高考数学培优专题(1)——对数平均不等式的证明与应用(答安详解)
对数平均不等式：对于正数 a ， b ，且 a b ，则有 ab a b a b ，即几何平均数＜对 ln a ln b 2
数平均数＜算术平均数，简记为 G a,b L a,b Aa,b ．
（ⅱ）若 a 2 ，令 f (x) 0 得， x a a2 4 或 x a a2 4 .
2
2
当 x (0, a
a2 4 )
(a
a2 4 , ) 时， f (x) 0 ；
2
2
当 x(a
a2 4 a ,
a2 4 ) 时， f (x) 0 . 所以 f (x) 在 (0, a
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高考数学培优专题（1）
例 3 (2014 年江苏南通二模)设函数 f (x) ex ax a ，其图像与 x 轴交于 A(x1, 0), B(x2, 0) 两点，且
x1 x2 ． （Ⅰ）求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）求证： f ( x1x2 ) 0 ．
例 4（2011 年辽宁理科）已知函数 f (x) ln x ax2 (2 a)x ．
a2 4 ) ， (a
a2 4 , ) 单调递
2
2
2
2
减，在 (a
a2 4 a ,
a2 4 ) 单调递增.
2
2
（2）由（1）知， f (x) 存在两个极值点当且仅当 a 2 .
由于 f (x) 的两个极值点 x1 ， x2 满足 x2 ax 1 0 ，所以 x1x2 1 ，不妨设 x1 x2 ，则 x2 1 . 由于
高考数学培优专题（1）
对数平均不等式的证明与应用
高三数学对数不等式试题答案及解析
高三数学对数不等式试题答案及解析1. [2012·湖南高考]设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①>；②a c<b c；③logb (a－c)>loga(b－c)．其中所有正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③【答案】D【解析】由a>b>1，c<0，得<，>；因为幂函数y＝x c(c<0)在(0，＋∞)上是减函数，所以a c<b c；因为a－c>b－c>0，所以logb (a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)．故①②③均正确．2.已知函数若，则的取值范围是 .【答案】【解析】当时，显然成立；当时，若，显然成立，所以只要时，成立即可，比较对数与一次函数的增长速度，不存在使在恒成立；当时，若，显然成立，所以只要时，解得，∴, ∴.【考点】不等式，对数不等式的解法.3.设表示，两者中的较小的一个，若函数，则满足的的集合为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】①当时，即x>4时，.②当时，即时，. ,,当x>4时，,此时.当时，,此时,所以选C.4.设，表示关于的不等式的正整数解的个数，则数列的通项公式 .【答案】【解析】解：因为的整数解的个数为，因此可以利用归纳推理得到，当n=1,2,,3,4的对应的个数为4,13,49,193，可得结论5.已知不等式的解集为A，函数的定义域为B.（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）证明：函数的图象关于原点对称。
【答案】Ⅰ）由，得由得4分，7分（Ⅱ）证明：且，8分11分为奇函数，13分的图象关于原点对称。
【解析】略6.若函数f（x）＝若f（a）＞f（－a），则实数a的取值范围是__________．【答案】【解析】当时，由有，即，解得，所以此时；当时，由有，即，解得，所以此时。
综上可得，或7.不等式的解集为 .【答案】(2,3)【解析】本题考查了对数函数不等式的解法及不等式的解法。
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，即 x2
ax 1
0 ，故
x1
x2
a, x1x2
1；
要证
f
x1
f
x2 a 2 ，只需证
1 x1
x1
a
ln
x1
1 x2
x2 a ln x2
a2，
x1 x2
x1 x2
11 只需证 x1 x2 1 a ln x1 a ln x2 a 2 ，只需证
1
1 a ln x1 ln x2 a 2 ，
2
lnx1 lnx2
例 6：（2018 高考全国卷 I 理科）已知函数 f x 1 x a ln x .
x
（1）讨论
f
x 的单调性；（2）若
f
x 存在两个极值点 x1, x2
，证明：
f
x1 f x2
x1 x2
a2
解：（1）略。（2）
f
x
1 x2
1
a x
x2
ax x2
1
0
f
x0
1 x0
2ax0
2 a ，由
f
( x1 )
f
(x2 )
0
ln ln
x1 x2
ax12 (2 a)x1 0(1) ax22 (2 a)x2 0(2)
(1) (2) : ln
x1
ln
x2
a( x12
x2 2)
a 2 ( x1
x2 )
，同除以 x1
x2 得，ln
构造对数平均不等式，在证明
x1
x2
b a
或者
x1
x2
b a
，往往用反证法减少运算；对于
x ln
x
这类不好分离的
式子，又要和差齐下。必要时要考虑换元法解决 1 1 之类的问题。 x1 x2
例 7：（2016 年新课标 I 卷理数压轴 21 题）已知函数 f (x) (x 2)ex a(x 1)2 有两个零点 x1, x2 .（1）求 a 的取 值范围，（2）证明： x1 x2 2 .
解：（1）由 f (x) (x 2)e x a(x 1) 2 得： f (x) (x 1) e x 2a ，要使得 y f x 有两个零点，则必须使得
y f x 在 R 上只有一个根，易得 a 0 ，详细过程请参考高考参考答案，这里不做详细叙述；
（2）法一： f (x) (x 2)ex a(x 1)2 0 即 (2 x)ex a(x 1)2 0; 由 f (x1) f (x2 ) 0 得
例
3：已知函数
f
(x)
ln x x
，如果 x1
x2 且
f
(x1)
f
(x2 ) ，求证： x1 x2
e2
证明：因为
f
( x1 )
f
(
x2
)
，所以可设
ln x1 x1
ln x2 x2
m
ln ln
x1 x1
m1x1(1) mx2 (2)
（1）+（2）得 ln x1 ln x2 m(x1 x2 ) (3) ；（1）-（2）得 ln x1 ln x2 m(x1 x2 )
秒杀秘籍：利用定积分秒杀对数平均不等式证明
如右图 1 所示，在反比例函数 f x 1 上任取两点 A a, 1 , Bb, 1 ，
x
a b
点
C
a
2
b
,
a
2
b
为
AB
在双曲线上的中点，
AA1
x
轴交其于
A1
，
BB1 x 轴交其于 B1 ，过 C 作双曲线切线交 AA1 和 BB1 于 D, E 两点，根
m ln x1 ln x2 ， x1 x2
代入（3）得 x1 x2 ln x1 ln x2
1 m
x1 x2 2
ln x1 ln x2 2m
， 1 m
ln x1 ln x2 2m
,ln x1x2
2 ，综上 x1 x2
e2 。
例 4：已知 ln(x m) mx 0 ，（ m 1）有两个根 x1 ， x2 ，求证： x1 x2 0
x1 x2
x1 x2
x1x2
x1 x2
只需证 ln x1 ln x2 1 ，由于 x1 x2
x1 x2
ln x1 ln x2
x1x2 1，故命题得证。
题型四：作差求和取对数三板斧
非一次函数的形式，由
ex
与二次函数
ax2
bx
c
混合的函数，先作差得出
a
x1
x2
x1
x2
b a
，再两边取对数，
x1 x2 2x0 （3）求证： x1 x2 2 ；（4）求证： x1 x2 1.
解：（1） f x ex a 0 x0 ln aa 0，故 f x 在区间 , ln a ，在区间 ln a, ，若 f (x) ex ax 有两个零点，则 f ln a elna a ln a 0 ln a 1，即 a e ；
x1 x1
ln x2
x2
a x1
x2
2 a
0
要证
f
(x0 )
0 ，只需证
1 x0
2ax0
2 a
x1
2 x2
a
x1
x2
2 a
0
；
只需证
x1
2
x2
a x1
x2
2
a
ln
x1 x1
ln x2
x2
a
x1
x2
2
a
；
根据对数平均不等式 x1 x2 x1 x2 ，故原命题得证。
（II）再证： L(a,b) a b ……[来源 Z,xx,] 2
不等式
ln a ln b
2(a b) ab
ln
a b
2( a 1) b
( a 1)
ln
x
2(x 1) (x 1)
(
其中x
b
a 1) b
构造函数 g(x)
ln
x
2(x 1) (x 1)
,
(x
1)
，则 g(x)
（2）构造函数 F (x) f (x) f (2x0 x),则 F（' x) f '(x) f '(2x0 x) ex a e2lnax a ex e2lnax 2a ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e 当 x ln a 时， F '(x) 2 2lna 2a 0则F (x)在 , ；
得 F (x) F ln a 0 , F (x) F ln a 0, f x f 2x0 x,其中x x0 ；将 x1 代入不等式得
x2
x1 x2
x1 x2
ln(x1 m) ln(x2 m) ln(x1 m) ln(x2 m) ln(x1 m) ln(x2 m)
得：
x1
x2
ln( x1
m)
ln(x2 m
m)
ln( x1
m)(x2 +m) m
ln
1 m2
m
2 ln m 0 ，（ m >1） m
x1 x2
对数平均不等式
两个正数
a
和
b
的对数平均定义：
L(a,
b)
ln
a a
b ln
b
(a
b),
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：
a(a b).
ab L(a,b) a b （此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当 a b 时，等号成立. 2
只证：当 a b 时， ab L(a,b) a b ，可设 a b .（I）先证： ab L(a,b) …… [学科 2
3
2
3 2
列。
例 5：(2011 年辽宁卷)已知函数 f (x) ln x ax2 (2 a)x
(1) 讨论 f (x) 的单调性；(2)若函数 y f (x) 的图像与 x 轴交于 A, B 两点，线段 AB 的中点的横坐标为 x0 ， 证明： f (x0 ) 0
解：（1）略。（2）
若出现 x1 x2 a 或者 x1 x2 b 时，属于正常的作差代换，构造出
x1x2
x1 ln x1
x2 ln x2
m
x1
x2 2
，由
模型一即可秒杀，遇到 x1 x2 a 或者 x1 x2 b 时，属于对数平均不等式反向，这就需要将两式相减先
构造对数平均不等式，再相加实现和积互换，从而达到证明反向不等式。
证明：令 mx1 ln(x1 m) （1） mx2 ln(x2 m) （2）
1
x1 x2
(x1 m）（x2 +m) 1
m ln(x1 m) ln(x2 m) ln(x1 m) ln(x2 m) m
( x1
m)(x2 +m)
， ( x1
m)(x2 +m)
1 m2
再由
x1
x1e x1
x2e x2
ln x1e x1
ln x2ex2即ln x1 x1
ln x2
x2 , 整理可得
x1 x2 ln x1 ln x2
1
ab ＜ab ln a ln b 2
， x1 x2 ln x1 ln x2
1＜ x1 x2 2
即 x1
x2＞2
例 2：已知 x1, x2 是函数 f (x) ex ax 的两个零点，且 x1 x2 .其极值点为 x0 ，（1）求 a 的取值范围。（2）求证：
2 x1 x2 2
1 ，矛盾。
法二：参变分离得：a