【高中数学】MS16对数平均不等式(含答案)

若出现 x1 x2 a 或者 x1 x2 b 时，属于正常的作差代换，构造出
x1x2
x1 ln x1
x2 ln x2
m
x1
x2 2
，由
模型一即可秒杀，遇到 x1 x2 a 或者 x1 x2 b 时，属于对数平均不等式反向，这就需要将两式相减先
构造对数平均不等式，再相加实现和积互换，从而达到证明反向不等式。
b 1dx 1 1 b a 1 ln b ln a b a ，
ax b a 2
2
2 ab
即 ba ln b ln a
ab
题型一：指数换对数的证明极值偏移问题
例 1：（2010 天津理）已知函数 f (x) xex ，如果 x1 x2 且 f (x1) f (x2 ) ，证明： x1 x2＞2 解： f (x1) f (x2 ), x1＞0，x2＞0(请读者自己证明)，且x1 x2
3
2
3 2
列。
例 5：(2011 年辽宁卷)已知函数 f (x) ln x ax2 (2 a)x
(1) 讨论 f (x) 的单调性；(2)若函数 y f (x) 的图像与 x 轴交于 A, B 两点，线段 AB 的中点的横坐标为 x0 ， 证明： f (x0 ) 0
解：（1）略。（2）
x1e x1
x2e x2
ln x1e x1
ln x2ex2即ln x1 x1
ln x2
x2 , 整理可得
x1 x2 ln x1 ln x2
1
ab ＜ab ln a ln b 2
， x1 x2 ln x1 ln x2
1＜ x1 x2 2
即 x1
x2＞2
例 2：已知 x1, x2 是函数 f (x) ex ax 的两个零点，且 x1 x2 .其极值点为 x0 ，（1）求 a 的取值范围。（2）求证：
x2
x1 x2
x1 x2
ln(x1 m) ln(x2 m) ln(x1 m) ln(x2 m) ln(x1 m) ln(x2 m)
得：
x1
x2
ln( x1
m)
ln(x2 m
m)
ln( x1
m)(x2 +m) m
ln
1 m2
m
2 ln m 0 ，（ m >1） m
x1 x2
f
x0
1 x0
2ax0
2 a ，由
f
( x1 )
f
(x2 )
0
ln ln
x1 x2
ax12 (2 a)x1 0(1) ax22 (2 a)x2 0(2)
(1) (2) : ln
x1
ln
x2
a( x12
x2 2)
a 2 ( x1
x2 )
，同除以 x1
x2 得，ln
x1 x1
ln x2
x2
a x1
x2
2 a
0
要证
f
(x0 )
0 ，只需证
1 x0
2ax0
2 a
x1
2 x2
a
x1
x2
2 a
0
；
只需证
x1
2
x2
a x1
x2
2
a
ln
x1 x1
ln x2
x2
a
x1
x2
2
a
；
根据对数平均不等式 x1 x2 x1 x2 ，故原命题得证。
m ln x1 ln x2 ， x1 x2
代入（3）得 x1 x2 ln x1 ln x2
1 m
x1 x2 2
ln x1 ln x2 2m
， 1 m
ln x1 ln x2 2m
,ln x1x2
2 ，综上 x1 x2
e2 。
例 4：已知 ln(x m) mx 0 ，（ m 1）有两个根 x1 ， x2 ，求证： x1 x2 0
2
lnx1 lnx2
例 6：（2018 高考全国卷 I 理科）已知函数 f x 1 x a ln x .
x
（1）讨论
f
x 的单调性；（2）若
f
x 存在两个极值点 x1, x2
，证明：
f
x1 f x2
x1 x2
a2
解：（1）略。（2）
f
x
1 x2
1
a x
x2
ax x2
1
0
解：（1）由 f (x) (x 2)e x a(x 1) 2 得： f (x) (x 1) e x 2a ，要使得 y f x 有两个零点，则必须使得
y f x 在 R 上只有一个根，易得 a 0 ，详细过程请参考高考参考答案，这里不做详细叙述；
（2）法一： f (x) (x 2)ex a(x 1)2 0 即 (2 x)ex a(x 1)2 0; 由 f (x1) f (x2 ) 0 得
（2）构造函数 F (x) f (x) f (2x0 x),则 F（' x) f '(x) f '(2x0 x) ex a e2lnax a ex e2lnax 2a ，
e 当 x ln a 时， F '(x) 2 2lna 2a 0则F (x)在 , ；
得 F (x) F ln a 0 , F (x) F ln a 0, f x f 2x0 x,其中x x0 ；将 x1 代入不等式得
f (x1) f（2x0 x1), 又x2 x0 , x2 x0 ,2x0 x1 x0 , f (x) 在（x0 ,)上 ，故x2 2x0 x1,即x1 x2 2x0.
（3）（4）：又
e x1
e
x2
ax1 ax2
0 0
x1 x2
lna lna
lnx1 lnx2
(1) (2)
1 x
4 (x 1)2
( x 1) 2 x(x 1)2
.
因为 x 1 时， g(x) 0 ，所以函数 g(x) 在 (1, ) 上单调递增，故 g(x) g(1) 0 ，从而不等式成立；综合（I）
（II）知， 对 a,b R ，都有对数平均不等式 ab L(a,b) a b 成立，当且仅当 a b 时，等号成立. 2
，即 x2
ax 1
0 ，故
x1
x2
a, x1x2
1；
要证
f
x1
f
x2 a 2 ，只需证
1 x1
x1
a
ln
x1
1 x2
x2 a ln x2
a2，
x1 x2
x1 x2
11 只需证 x1 x2 1 a ln x1 a ln x2 a 2 ，只需证
1
1 a ln x1 ln x2 a 2 ，
(1) (2) 得
x1
x2
lnx1
lnx2
x1
x2 2
x1 x2 lnx1 lnx2
1
x1x2 x1 x2 2 ， x1x2 1
第（2）问也可以通过第（3）问结论用对数平均不等式秒杀，（1）+（2）得：x1 x2 2lna lnx1x2 2lna 2x0
题型二：符号反向用加法原理
0
题型三：中点导数问题点差法
题目给到
x0
x1
x2 2
x2
x1 ，涉及证明
f
x0
0 或者
f
x0
0
时，利用分析法执果索因，将式子证明最后转
交给对数平均不等式，方法类似圆锥曲线点差法（作差，同除，取中点）；当出现 f x1 2x2 0 、 3
f x1 1 x2 0 1 1 之类题型时，要转化为 f 2x1 x2 f x1 x2 0 ，也属于对数点差法系
2 x1 x2 2
1 ，矛盾。
法二：参变分离得：a
(2 x1)ex1 (x1 1)2
(2 x2 )ex2 (x2 1)2
，有 a
0 得， x1
1
x2
2 ，将上述等式两边取以 e 为底的对数，得
ln
(2 x1) (x1 1)2
x1
ln
(2 x2 ) (x2 1)2
构造对数平均不等式，在证明
x1
x2
b a
或者
x1
x2
b a
，往往用反证法减少运算；对于
x ln
x
这类不好分离的
式子，又要和差齐下。必要时要考虑换元法解决 1 1 之类的问题。 x1 x2
例 7：（2016 年新课标 I 卷理数压轴 21 题）已知函数 f (x) (x 2)ex a(x 1)2 有两个零点 x1, x2 .（1）求 a 的取 值范围，（2）证明： x1 x2 2 .
对数平均不等式
两个正数
a
和
b
的对数平均定义：
L(a,
b)
ln
a a
b ln
b
(a
b),
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：
a(a b).
ab L(a,b) a b （此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当 a b 时，等号成立. 2
只证：当 a b 时， ab L(a,b) a b ，可设 a b .（I）先证： ab L(a,b) …… [学科 2
（II）再证： L(a,b) a b ……[来源 Z,xx,k.Com] 2
不等式
ln a ln b
2(a b) ab
ln
a b
2( a 1) b
( a 1)
ln
x
2(x 1) (x 1)
(
其中x
b
a 1) b
构造函数 g(x)
ln
x
2(x 1) (x 1)
,
(x
1)
，则 g(x)
S S 据 ACBB1A1
DEB1 A1
b 1dx 2 a x ab
ba
，即 b a a b ln b ln a 2
如右图 2 所示，在 f x 1 上任取两点 A a , 1 , B b, 1 ，
x
a b
AA1 x 轴交其于 A1 ， BB1 x 轴交其于 B1 ，根据 S ABB1A1 S曲ABB1A1
不等式 ln a ln b a b ln a a b 2 ln x x 1( 其中x a 1)
ab
bba
x
b
构造函数
f
(x)
2 ln
x
(x
1), (x x
1)
，则
f
(x)
2 x
1
1 x2
(1
1)2 x
.
因为 x 1 时， f (x) 0 ，所以函数 f (x) 在 (1, ) 上单调递减，故 f (x) f (1) 0 ，从而不等式成立；
秒杀秘籍：利用定积分秒杀对数平均不等式证明
如右图 1 所示，在反比例函数 f x 1 上任取两点 A a, 1 , Bb, 1 ，
x
a b
点
C
a
2
b
,
a
2
b
为
AB
在双曲线上的中点，
AA1
x
轴交其于
A1
，
BB1 x 轴交其于 B1 ，过 C 作双曲线切线交 AA1 和 BB1 于 D, E 两点，根
例
3：已知函数
f
(x)
ln x x
，如果 x1
x2 且
f
(x1)
f
(x2 ) ，求证： x1 x2
e2
证明：因为
f
( x1 )
f
(
x2
)
，所以可设
ln x1 x1
ln x2 x2
m
ln ln
x1 x1
m1x1(1) mx2 (2)
（1）+（2）得 ln x1 ln x2 m(x1 x2 ) (3) ；（1）-（2）得 ln x1 ln x2 m(x1 x2 )
证明：令 mx1 ln(x1 m) （1） mx2 ln(x2 m) （2）
1
x1 x2
(x1 m）（x2 +m) 1
m ln(x1 m) ln(x2 m) ln(x1 m) ln(x2 m) m
( x1
m)(x2 +m)
， ( x1
m)(x2 +m)
1 m2
再由
x1
x1 x2 2x0 （3）求证： x1 x2 2 ；（4）求证： x1 x2 1.
解：（1） f x ex a 0 x0 ln aa 0，故 f x 在区间 , ln a ，在区间 ln a, ，若 f (x) ex ax 有两个零点，则 f ln a elna a ln a 0 ln a 1，即 a e ；
ln(2 x1) x1 ln(2 x2 ) x2 , 则
x2 x1
1. 而由对数平均不等式得：
ln(2 x1) ln(2 x2 )
x2 x1 ln(2 x1) ln(2 x2)
(2 x1 ) (2 x2 ) ln(2 x1) ln(2 x2)
(2 x1 ) (2 x2 ) 2
(2 (2
x1)e x1 x2 )ex2
a(x1 1)2 a(x2 1)2
，两式相减得 (2
x1)e x1
(2
x2 )ex2
a( x1
x2 )(x1
x2
2),
下面用反证法证明 x1 x2 2. 若 x1 x2 2. 则 (2 x1)ex1 (2 x2 )ex2 0, (2 x1)ex1 (2 x1)ex1 ，取对数得
x1 x2
x1 x2
x1x2
x1 x2
只需证 ln x1 ln x2 1 ，由于 x1 x2
x1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x2
ln x1 ln x2
x1x2 1，故命题得证。
题型四：作差求和取对数三板斧
非一次函数的形式，由
ex
与二次函数
ax2
bx
c
混合的函数，先作差得出
a
x1
x2
x1
x2
b a
，再两边取对数，