几种典型力学问题的分析

进入虚拟课堂

高三物理总复习教材（第13讲）

一、 本讲内容：

几种典型力学问题的分析

复习要点

1．“碰撞过程”的分析

2．“人船模型”的研究

3．“fd=△E K ”的运用

二、 难点剖析

1．“碰撞过程”的分析

（1）“碰撞过程”的特征.

“碰撞过程”作为一个典型的力学过程其特征主要表现在如下两个方面：

第一，经历的时间极短，通常情况下，碰撞所经历的时间在整个力学过程中都是可以初忽略的；第二碰撞双方相互作用的内力往往是远大于来自外部物体的作用力

（2）“碰撞过程”的规律

正是因为“碰撞过程”所具备的“作用时间短”和“外力很小”（甚至外力为零）这两个特征，才使得碰撞双方构成的系统在碰撞前后的总动量遵从守恒定律，即

m 1υ1+m 2υ2=m 1u 1+m 2u 2

（3）“碰撞过程”的分类。

按照形变恢复情况划分：碰撞过程中所产生的形变能够完全恢复的称为弹性碰撞；碰撞过程中所产生的形变不能够完全恢复的称为非弹性碰撞；碰撞过程中所产生的形变完全不能够恢复的称为完全非弹性碰撞。

按照机械能损失的情况划分：碰撞过程中没有机械能损失的称为弹性碰掸撞；碰撞过程中有机械能损失的称为非弹性碰撞；碰撞过程中机械能损失最多的称为完全非弹性碰撞。

（4）“碰撞过程”的特例.

弹性碰撞作为碰撞过程的一个特例，它是所有碰撞过程的一种极端的情况：形变能够完全恢复；机械能丝毫没有损失。弹性碰撞除了遵从上述的动量守恒定律外，还具备：碰前、碰后系统的总动能相等的特征，即

2

1m 1υ12+21m 2υ22=21m 1u 12+21m 1u 12 由此即可把弹性碰撞碰后的速度u 1和u 2表为 u 1=

2121m m m m +-υ1+2122m m m +υ2 u 2=2112m m m +υ1+2

112m m m m +-υ2 如对弹性碰撞的速度表达式进一步探讨，还会发现另一特征：弹性碰撞前，碰后，碰撞双方的相对速度大小相等，即

u 2－u 1=υ1－υ2

完全非弹性碰撞作为碰撞过程的一个特别，它是所有碰撞过程的另一种极端的情况：形变完全不能够恢复；机械能损失达到最大。正因为完全非弹性碰撞具备了“形变完全不能够恢复”。所以在遵从上述的动量守恒定律外，还具德：碰撞双方碰后的速度相等的特征，即

u 1=u 2

由此即可把完全非弹性碰撞后的速度u 1和u 2表为

u 1=u 2=2

12211m m m m ++υυ 而完全非弹性碰撞过程中“机械能损失最大”的特征可以给出如下证明：碰撞过程中机械能损失表为

△E=21m 1υ12+21m 2υ22―21m 1u 12―2

1m 2u 22 由动量守恒的表达式中得

u 2=2

1m (m 1υ1+m 2υ2－m 1u 1) 代入上式可将机械能的损失△E 表为u 1的函数为

△ E=－22112)(m m m m +u 12+222111)(m m m m υυ+u 1+[(2

1m 1υ12+21m 2υ22) －2

21m ( m 1υ1+m 2υ2－m 1u 1)2] 这是一个二次项系数小于零的二次三项式，显然：当 u 1=u 2=

212211m m m m ++υυ 时，即当碰撞是完全非弹性碰撞时，系统机械能的损失达到最大值

△E m =21m 1υ12+21m 2υ22－)

(2)(2122211m m m m ++υυ （5）“碰撞过程”的制约

通常有如下三种因素制约着“碰撞过程”。

①动量制约：即碰撞过程必须受到“动量守恒定律的制约”；

②动量制约：即能机械碰撞过程，碰撞双方的总动能不会增加；

③运动制约：即碰撞过程还将受到运动的合理性要求的制约，比如，某物体向右运动，被后面物体迫及而碰撞后，其运动速度只会增大而不应该减小。

（6）“碰撞过程”的推广。

相互作用的双方在相互作用过程中系统所受到的合外力为零时，我们可以将这样的过程视为“广义的碰撞过程”加以处理。

2．“人船模型”的研究

（1）“人船模型”

问题：如图13—1静止于水面，质量为M 的小船长为质量为m （2）“人船模型”的力学特征 人船模型”的力学特征了：量守恒。

（3）

①分析“人船模型”运动过程中的受力特征，进而判断其动量守恒，得

m υ=Mu

②由于运动过程中任一时刻人，船速度大小υ和u 均满足上述关系，所以运动过程中，人、船平均速度大小，υ和u m υ=M u

mS 1=MS 2

S 1+S 2=L

S 1=M

m M +L S 2=M m m +L （4）变例1：如图13—2变例2：如图13—3端悬着质量为m 变例3：如图13—4形凹面轨道，今把质量为m 心等高处静止释放，求M 变例4：如图13—5一个质量可忽略的小环，长L 另一端连着质量为M 移动距离. 3．“fd=△E K ”的运用

（1）公式“fd=△E K 如图13—6所示，：质量M 平面上，质量为m 若射入的深度为d 相互作用的力f fd=△E K =21m υ02－21(2)公式“fd=△E K ”的依据.

实际上公式“fd=△E K ”是过立在动能定理的基础之上的：仍如图13—6所示，对子弹和木块分别运用动能定理可得.

―f(s+d)=

21m υ2―21m υ02 fs=2

1M υ2 将此两代劳相加后整理即可得 fd=21m υ02―2

1(m+M)υ2=△E K . （3）公式“fd=△E K ”的运用

如果是两个物体构成的系统运动过程中除了相互作用的滑动摩擦力外，系统的外力为零，则都可以运用公式

fd=△E K

来制约系统运动中的能量的转多与转化，应该注意的是：当构成系统的双方相对运动出现往复的情况时，公式中的d 就理解为“相对路程”而不应该是“相对位移的大小”。

三、典型例题

例1．A 、B 两小球在光滑水平面上沿同一直线同方向运动共动量分别为P A =5kgm/s ，P B =7kgm/s ，若A 追上B 后与B 碰撞，碰后B 的动量为P B / =10kgm/s ，则A 、B 的质量之比可能为

A ．1 ：1

B ．1 ：2

C ．1 ：5

D ．1 ：10

分析：此例的求解除了运用碰撞的规律外，还需要关注到碰撞的特征与制约碰撞过程的相关因素。 解答：由“动量制约”知：碰撞过程中A 、B 两球的总动量应守恒即：

P A +P B =P A /+P B /

由此得：碰后A 球动量为

P A /=P A +P B －P B /=2kgm/s

由“动能制约”知：碰前总动能不小于碰后总动能，即

A A m P 22+

B B m P 22≥A A m P 212+B

B m P 212

代入数据有 A m 225+B m 249≥A m 24+B

m 2100 于是可得

B A m m ≤17

7 由“运动制约”知：考虑到碰后运动的合理性，碰后A 球的速度应不大于B 球的速度，即 A A m P /≤B

B m P /

代入数据又有 A m 2≤B

m 10 于是又可得

B A m m ≥5

1 由此知：此例应选C 。

例2．试将上述“人船模型”的四种变例给出定量解答。