数值分析作业答案
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x
x
x x
x x
x x x
x x x x
x x
2 1
1 1
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 2
2 2 2 2 1
1 3 1
1 1 第
2 章 插值法
1、当 x=1，-1， 2 时， f(x)=0， -3，4，求 f(x)的二次插值多项式。
（1） ）用单项式基底。
（2） ）用 Lagrange 插值基底。
（3） ）用 Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。解：（ 1）用单项式基底
设多项式为 : P( x) a 0 a 1 x a x 2
，
所以： A 1 x 0 0 1 x 1
1 6
1 x
2 2
f ( x 0 ) x 0 0 a 0
f ( x 1 ) x 1 1 f ( x 2 ) x 2 2
1 x 0 0 1 x 1 1 1 x
2 2
0 1 1 3 1 1 4
2 4
1 1 1 1
1 1 14
7 6
3
1 2 4
1 f (x 0) 0
1 x 0 0
a 1
1 f (x 1) 1 1 x 1 1 1 f (x
2 ) 2
1 x
2 2
1 1 1 9 3
6 2
1 2 4
0 0
2
1 1
2
0 0
2 5 5 1
1 2 2
所以 f(x)的二次插值多项式为：
P( x )
7 3 x 3 2 5 x 2
6
（ 2）用 Lagrange 插值基底
1 1 1
2 1 4
1 0 1 1 1 3 4 1
4 1 1 1 2
0 4
1 1 1
2 1 4
6 6
1 x f ( x ) 1 x x a 1 x f ( x ) 1 x x
1 x 2
f ( x 2 )
1 x
2 x
1 l 0 ( x)
( x (x 0 x 1 )( x x 1 )( x 0
x 2 ) x 2 )
( x 1)(x 2) (1 1)(1 2)
l ( x) (x x 0 )(x x 2)
(x 1)(x 2)
( x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) ( 1 1)( 1 2)
l ( x )
( x x 0 )(x x 1 )
( x 1)(x 1)
2
(x x 0 )(x 2 x 1) ( 2 1)(2 1)
Lagrange 插值多项式为：
L 2 (x) f (x 0 )l 0 ( x ) f ( x 1)l 1 (x) f ( x 2 )l 2 ( x ) 0 ( 3) 1 ( x 6 1)( x 2) 4 1( x 3
1)(x 1)
5 x 2
6 3 x
7 2 3
所以 f(x)的二次插值多项式为： L 2 (x)
7 3 x 3 2 5 x 2
6
(3) 用 Newton 基底:
均差表如下：
x k f(x k ) 一阶均差 二阶均差
1
-1
-3 3/2
2
4
7/3
5/6
Newton 插值多项式为：
N 2 ( x ) f ( x 0 ) f [ x 0 , x 1 ]( x x 0 ) f [ x 0 , x 1 , x 2 ]( x x 0)( x x 1)
0 3 ( x 1) 2 5 ( x 6 1)(x 1)
5 x 2
6 3 x
7 2 3
所以 f(x)的二次插值多项式为： N 2 (x)
7 3 x 3 2 5 x 2
6
由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
2
4
6、在 4 x 4 上给出 f (x) e x
的等距节点函数表，若用二次插值求
e x
的近似
值，要使截断误差不超过 10-6
，问使用函数表的步长 h 应取多少？ 解：以 x i-1 ,x i ,x i+1 为插值节点多项式的截断误差，则有
R 2 (x)
1
f ( 3! )(x x i 1 )(x x i )(x x i 1), ( x i 1, x i 1 )
式中 x i 1
x h, x i 1
x h.
1
1 2 1 e
4
R ( x)
e 4
max ( x x )(x x )(x x )
e 4 h 3 h 3
6
x i 1
x i 1 i x i 1
i 1
6 3 3
9 3
令
e h 3
10 6
得 h 0.00658
9 3
插值点个数
1
4 ( 4) N 1
1216.8
1217
是奇数，故实际可采用的函数值表步长
h 4 ( 4) N 1 8 1216
0.006579
8、 f ( x)
x
7
x
4
3 x 1 ，求 f [ 20 ,21 , ,27 ] 及 f [ 20 ,21 , ,28
] 。
解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：
f [ x 0 , x 1 ,
, x n ]
f
(n )
( )
,
n!
[ a,b]
所以有：
f [20
,21
,
,27
]
f
(7 )
( )
7!
7! 1
7!
2