第四章数字特征与特征函数2精品PPT课件

这是
频率，得平均值为
以概率为权的加权平均
0 p 0 1 p 1 2 p 2 3 p 3
这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为 随机变量ξ的平均值 .
二、离散型场合
定义 设ξ是离散型随机变量，它的分布律是:
P{ξ=ξk}=pk , k=1,2,…
如果 x k p k 绝对收敛,定义ξ的数学期望为， k 1
令ξ表示每个人的血需要化验的次数，则其分布列为
ξ
1/k
1+1/k
Pຫໍສະໝຸດ Baidu
(1-p)k
1- (1-p)k
E()1(1p)k111(1p)k 1(1p)k1
k
k
k
选k择 使得 E()1(1p)k11 (1p)k1
k
k
例如我们可以计算p=0.1时，不同k对应的E(ξ) 值
k E(ξ)
2 3 4 5 8 1 0 30
X 1,一台付款1500元； 1 X 2,一台付款2000元； 2 X 3,一台付款2500元； X 3,一台付款3000元.
设寿命ξ服从的分布函数为：
第四章 数字特征与特征函数
4.1数学期望
作业题
P245 2， 3， 5， 7， 12， 14， 24， 25， 26， 28， 31， 58
例、甲、乙两人进行打靶，击中的环数分别记 为ξ,η，它们的分布律分别为：
ξ 8 9 10 p 0.3 0.1 0.6
η
8
9 10
p 0.2 0.5 0.3
评定他们成绩的好坏。
4(1x)3 0x1
f(x)
0
其它
试求平均市场占有率。
求均匀分布，正态分布，指数分布的期望
➢ξ~U(a,b),则E(ξ)=(a+b)/2 ➢ξ~N(μ,σ2),则E(ξ)=μ ➢ξ~Eξp(λ),则E(ξ)=1/λ
例：某商店对某种家用电器的使用采取先使用后付 款的方式，记使用寿命为ξ(年)，规定
分布函数—全面刻画了随机变量的取值规律 特征数字—从某个侧面刻画随机变量的特征
例如：数学期望：刻画随机变量的平均取值 方差：刻画随机变量取值的偏离程度
一 引例 某车间对工人的生产情况进行考察. 车
平 工小张每天生产的废品数ξ是一个随机变量.
均 值 与 加 权
(假定小张每天至多出3件废品)，那么如何定
方法一：平均分，每人500元
方法二：甲得三分之二，乙得三分之一
方法三：依照约定按个人胜的可能性分
数学期望有可能不存在
设随机变量ξ取值为
xk
(1)k
2k k
,k1,2,
其对应概率为 pk P(Xxk)21k
尽管 xkpk k1
(1)k
k1
1ln2 k
但是
k1
xk
pk
k1
1 k
所以，ξ的数学期望不存在
义ξ的平均值呢？
32天没有出废品;
若统计100天,
30天每天出一件废品;
平 均
可以得到这100天中
17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品;
值 每天的平均废品数为
03 213 0217 32 11.27 100 100100 100
这个数能否作为 ξ的平均值呢？
可以想象，若另外统计100天，车工小张不 出废品，出一件、二件、三件废品的天数与 前面的100天一般不会完全相同，这另外100 天每天的平均废品数也不一定是1.27.
若不投资，存入银行的利润为10×0.05=0.5万
例、在一个人数为N的人群中普查某种疾病， 为此要抽查这N个人的血。有两种方法：一 是将每个人的血分别检验，这样就要做N次 化验；二是按k个人一组进行分组，对每一 组只化验其混合血液，如果某小组混合血液 呈阴性反应（该组无人患病），则该组只做 一次化验，如果该小组混合血液呈阳性反应 （该组至少有一人患病），则再对该组每个 人的血液进行化验，以此来确定患病的人数。 假设该疾病的发病率为p，问如何分组（即 k取多少）能减少平均化验次数？
0.69 0.604 0.594 0.61 0.695 0.751 0.991
33
0.994
34
1.0016
四、连续型场合
定义 设ξ是连续型随机变量，其密度函数 为 p (ξ),如果
| x |p(x)dx
有限,定义ξ的数学期望为
E()
xp(x)dx
例：某新产品在未来市场上的占有率ξ是 (0,1)上取值的r.v.，其概率密度为
一般来说,若统计n天,
n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.
可以得到n天中每天的平均废品数为
0n01n12n23n3 nn n n
0n01n12n23n3 nn n n
这是 以频率为权的加权平均
由频率和概率的关系
不难想到，在求废品数ξ
的平均值时，用概率代替
N aE()b NC N kpk(1p)Nkk b
k0
例3 （投资决策）
某人有10万元现金，想投资某项目，预估成功机会 为0.3，可得利润8万，失败机会为0.7，将损失2万。 若不投资而存入银行，同期间利率为0.05，问是否 应做此项投资？
设 为投资E 利 ()润 80.3 ， 20 则 .71万
ξ
104 5000
1000 100 10
0
E(ξ) 1
2
10 5
10 5
10 10 5
100
1000
10 5
10 5
E()0.5
例2 （保险中如何确定保费）
收取保费的原则：被保险人交的“纯保险费”=被 保险人期望得到的赔偿金
设出事概率为p，有N个人参保，每人交保险费a， 每人的出事赔偿金b，出事的人数为ξ，则应有
求二项b(n,p),泊松P(λ)，几何分布的数学期望
➢ξ~b(n,p),E(ξ)=np ➢ξ~b(1,p),E(ξ)=p ➢ξ~P(λ),E(ξ)= λ
➢ξ~几何分布，E(ξ)=1/p
随机变量总是在其数学期望附近取值概率较大
三、应用实例
例1 （买彩票的期望所得）
发行彩票10万张，每张1元。设一等奖1个，奖金一 万；二等奖2个，奖金各5000；三等奖10个，奖金 各1000；四等奖100个，奖金各100；五等奖1000个， 奖金各10元。用ξ表示每张彩票的所得，则
E() xk pk
简称期望，又称均值。
k1
注：1、为什么要绝对收敛？
2、为什么称为“数学期望”？
3、为什么又简称”均值”.？
“数学期望”名称的来历—分配赌金问 题甲乙两赌徒赌技相同，各出500元做赌金，
假设没有和局。双方约定：先胜满三局者 得全部赌金1000元。现在甲二胜一负却因 故要退出比赛，问如何公平分配赌金？