通信原理3随机过程

2F2 (x1, x2;t1,t2 x1 x2
)
若上式中的偏导存在的话。
随机过程 (t) 的n维分布函数：
Fn (x1, x2 , , xn ;t1, t2 , tn )
P (t1 ) x1, (t2 ) x2 , , (tn ) xn
随机过程 (t) 的n维概率密度函数：
fn
(x1，x2，
则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过 程，简称严平稳随机过程。
▪性质： ▪一维分布则与时间t无关：f1(x1,t1)＝f1(x1) ▪二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关 2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2; ）
f1 (x1,t1 ) f1 (x1 ) f2 (x1, x2 ;t1,t2 ) f2 (x1, x2 ; )
确定性过程。
随机过程。
3.1.1随机过程的定义
无穷多个样本函数的集合称为随即过程，记为ξ(t).它有两个基本属 性： ξ(t)是一个时间函数; 在某一观察时刻t1上，全体样本在t1的取值ξ(t1)是一个不含t 变化的随机变量。
(t)
1 (t ) 2 (t) n (t)
t 0
3.1.2 随机过程的一般描述
3.5 窄带随机过程
结论1：均值为0,方差为
2
的窄带平稳
高斯过程，其同相分量和正交分量同样
是平稳随机过程，且均值为零，方差相
同，在同一时刻得到的 及 不相
c
s
关，或统计独立。
即有下式成立：
E[ (t)] E[c (t)] E[s (t)] 0
2
2
2
c
s
3.5 窄带随机过程
结论2:均值为0,方差为
R ( )e d P ( ) h( )e jd h( )e j d
0
源自文库
i
j
H * ( )H ( )Pi ( ) H ( ) 2 Pi ( )
4、输出过程 0 (t) 的概率分布
将
0 (t)
h(
)i
(t
)d
改写为和式： 0
(t )
lim
k 0
i
k
(t
k
)h(
▪ 注意：狭义平稳一定是广义平稳的，反之不一定成立。 ▪ 广义平稳的相关函数可写为:
R( ) E[ (t) (t )]
▪ 3.2.2各态历经性（遍历性）
▪ 含义：随机过程中的任意实现（样本函数）都经历了随机过 程的所有可能状态。
所以可用一个实现的统计特性来了解整个过程的统计特性从而
使“统计平均”化为“时间平均”
lim a
1 T T
T
2 T
x(t )dt
a
2
lim R( )
T
1 T
T
2 T
x(t)x(t
)dt
R(
)
2
注意：具有各态历经性的随机过程必定使平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。
[例3-1] 设一个随机相位的正弦波为
(t) Acos(ct )
其中，A和c均为常数；是在(0, 2π)内均匀分布的随机 变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。
线性系统响应v0(t)，输入vi(t)，冲激响应h(t)
v0 (t) vi (t) * h(t) vi ( )h(t )d
v0 ( f ) H ( f )vi ( f )
当输入是随机过程 i (t)时，输出为0 (t)
0 (t) h( )i (t )d
假定输入 i (t)是平稳随机过程，考察0 (t) 的统计
第三章 随机过程
重点: 随机过程的基本概念 平稳随机过程定义及其通过线性系统的特点 窄带随机过程的统计特性 正弦波加窄带高斯噪声的统计特性 高斯白噪声及其功率
3.1 随机过程的基本概念
随机过程的定义 随机过程的一般描述
分布函数与概率密度； 数字特征:均值、方差、相关函数
自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类
i
E[i (t)i (t )] R ( )
R0 (t1,t1 ) h( )h( )Ri ( )dd R0 ( )
输出过程是广义平稳的。
3、 0 (t) 的功率谱密度 P0 ( )
P0
( )
R ( 0
)e j d
d
d
[h(
)h(
)Ri
(
)e
j
]d
令 则
1
2
exp
(x a)2
2 2
f (x) 1 2
式中a － 均值 2 － 方差
性质
o
f (x)对称于直线 x = a，
a
x
a表示分布中心， 称为标准偏差，表示集中程度，图形将随
着 的减小而变高和变窄。当a = 0和 = 1时，称为标准化的
正态分布：
f (x)
1 2
exp
x2 2
如果存在
F1 ( x1 , t1 ) f ( x , t )
x1
1
11
则称之为 (t) 的一维概率密度函数 。
随机过程 (t) 的二维分布函数：
F2 (x1, x2 ;t1,t2 , ) P (t1) x1, (t2 ) x2
随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2
(x1,
x2;t1,t2 )
E (t)
xf1 ( x, t)dx
(t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表示随 (t) 机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :
1 (t )
a (t )
2 (t)
n (t)
0
t
方差 因为
D[ (t)] E [ (t) a(t)]2
Dξ t Eξ 2 t 2atξ t a2 t
1.分布函数与概率密度
设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， 其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。我们把随机变量 ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率
P{(t1) x1}
简记为F1(x1, t1)，即
F1(x1,t1) P{ (t1) x1}
叫做随机过程ξ(t)的一维分布函数。
【分析】(1)先求(t)的是否平稳即求 (2)求(t)的时间平均值即
数学期望 自相关函数
lim a
1 T T
T
2 T
x(t )dt
2
lim R( )
T
1 T
T
2 T
x(t)x(t
)dt
2
(3)比较,相等时具有各态历经性,否则不具备
3.2.3 平稳过程的相关函数
▪ 相关函数 R( ) E[ (t) (t )]
E[ξ 2 (t)] 2at Eξ t a2 (t)
E[ξ 2 (t)] a2 (t)
x
2
f1
(
x,
t)dx
[a(t)]2
平均功率
直流功率
方差常记为 2( t )。 它表示随机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。
▪ 相关函数
互相关函数: 自相关函数:
用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性。
由于这里R(t1,t2)是徇衡量同一过程的相关程度,因此 又常称为自相关函数可表示为:
R (t1,t1 ) E[ (t1) (t1 )]
x1x2 f2 (x1, x2 , t1, t1 )dx1dx2
3.2.1 平稳随机过程的定义
fn (x1,x2 , ,xn ；t1,t2 , ,tn ) fn (x1, x2 , , xn；t1 ,t2 , ,tn )
，xn；t1，t2，
，t
n
)
n
Fn
(x1，x2， ，xn；t1，t2， x1x2 xn
，t n
)
2 随机过程的数字特征
均值（数学期望）：
在任意给定时刻t1的取值 (t1)是一个随机变量，其均值
E (t1 ) x1 f1 (x1 , t1 )dx1
式中 f (x1, t1) － (t1)的概率密度函数
k
)
k
可知：若 i (t) 为正态随机变量
(t) 0
也为正态随机变量
高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯的。
3.5 窄带随机过程
窄带：信号频谱被限制在“载波”或某中心频率附近一 个窄的频带上，中心频率远离零频
窄带波形 带宽增减 载波频率增减
3.5 窄带随机过程
窄带随机过程 (t)可表示为：
(t
所以输出过程 (t) 的均值与时间无关. 0
2、0 (t) 的自相关函数
R 0
(t ,t 11
E[ h( )i
)
(t1
E[ (t 01
)d
) (t )]
0 1
h( )i (t1
)d
]
h( )h( )E[i (t1
)
i (t1
)]dd
令
t t1 ,t1 t
E[ i (t1 ) i (t1 )]
直接比较. 其值越大越相象
自相关函数:
R ( ) f (t) f (t )dt
表示同一过程在任意两个时刻上的相关程度
随机过程的相关函数 R（t1，t2）
=E[
]
(t1)
(t2 )
=
x1 x2
f2
( x1 ,
x2 ;t1, t2
)dx1d x2
表示一个随机过程在不同时刻t1、t2取不同的两个函数 之间的相象程度。
P ( f ) 0
P ( f ) P ( f )
▪ 2.对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的平均功率
R(0) P ( f )df
▪ 3. 功率谱密度分为单边谱和双边谱之分,为二倍关系
平均功率
P双 f df
0
P单
f
df
3.3 高斯随机过程
高斯过程，也称正态随机过程，是通信领域中最重要的一 种过程。
4.分布函数
正态分布函数是概率密度函数的积分，它表示高斯随 机变量小于或等于任意取值x的概率，即
F (x)
x
1 exp[ ( z a)2 ]dz
2
2 2
误差函数
erf ( x)
2
x
0
ez2
dz
互补误差函数
erfc ( x) 1 erf ( x) 2 ez2 dz
x
3.4 平稳随机过程通过线性系统
1若. 随定机义过：程 (t) 的任意n维（n=1,2,…)分布都服从正态，
则称它为高斯过程。 2. 性质：
（1）若高斯过程是广义平稳的，则也是狭义平稳的； （2）若干个高斯过程的代数和的过程仍是高斯型； （3）高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程 仍是高斯型。
3.一维概率密度函数
f (x)
两个函数间的相关函数：设f1(t) 和f2(t)是两个确定的函数.
R12 ( ) f1 (t) f 2 (t )dt R21 ( ) f 2 (t) f1 (t )dt
R12 ( ) 和 R21( ) 统称为互相关函数,
其物理意义:描述两个函数的相象程度.
R12 ( ) 将f2(t)移动τ来与f1(t)比较.如果τ=0表示不移动,
特性
1. 0 (t) 均值
E[0 (t)] E[ h( )i (t )d ]
h( )E[i (t )]d
E[i (t)]
h( )d
H (0) H () 0
h(t )e
jt dt
0
h(t )dt
E[ (t)] E[ (t)] H (0)
0
i
▪ H(0)是线性系统中0频时的响应,即直流增益,与时间无关.
2
的窄带平稳高斯过程，
其包络 a (t) 的一维分布是瑞利分布,其相位 (t )
的一维分布是均匀的;且二者为统计独立的.
即:
f
(a
)
a
2
exp[
a2
2
2
]
a 0
f
(
)
1
2
0 2
f (a , ) f (a ) f ( )
3.6 正弦波加窄带高斯噪声
正弦波加窄带高斯噪声的表示式
▪
性质: (1)
R(0) E[ 2 (t)]
R( ) R( )
(2)
— (t)的平均功率
— 的偶函数
(3) R( ) R(0) — R()的上界
证明：
E[ (t ) (t )]2 E[ 2 (t ) 2 (t ) (t ) 2 (t )]
2R(0) 2E[ (t) (t )]
数字特征：
E (t) x1 f1(x1)dx1 a
R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
x1x2 f2 (x1, x2; )dx1dx2 R( )
可见，（1）其均值与t无关，为常数a；
（2）自相关函数只与时间间隔有关。
广义平稳：满足以上两条的随机过程式称为广义平稳过程。
2R(0) 2R( ) 0
（4） R() E2[ (t)]
（5） R(0) R() 2
-------直流功率 -------交流功率
3.2.4 平稳过程的功率谱密度
功率谱密度:单位时间内每个频率成分贡献的功率.
P ( f ) R( )
➢ 结论:1.功率谱密度P ( f )具有非负性和实偶性，即有
)
a
(t
)
cos[
t
c
(t
)]
a (t) 0
(t) (t) cos t (t)sin t
c
c
s
c
其中： c
(t
)
a
(t
)
cos
(t )
同向分量
s
(t
)
a
(t )
sin
(t
)
正交分量
统计特性：
可由窄带过程 (t) 的统计特性来确定a (t)
(t )
以及 c
(t )
(t) s
的统计特性。