卡尔曼滤波器分类及基本公式

滤波的基本概念
确定性信号的滤波
可采用低通、高通、带通、带阻等模拟滤波器或者计算机通 过算法实现——常规滤波
随机信号的滤波
根 据 有 用 信 号 和 干 扰 信 号 的 功 率 谱 设 计 滤 波 器 —— 维 纳 滤 波 （Wiener Filtering）或卡尔曼滤波（Kalman Filter） 随机信号的滤波也可以看做是估计问题。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
现在，我们用于估算K时刻房间的实际温度有两个温度值：估计值
23度和测量值25度。究竟实际温度是多少呢？是相信自己还是相信
温度计？究竟相信谁多一点？我们需要用他们的均方误差来判断。
因为，H 2

52 52 42

H

0.78（*公式三），所以我们可以估算出K时
刻的最优温度值为：23 0.78*(25 23) 24.56 度（*公式四）。
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼滤波理论作为最优估计的一种，它的创立是科学技术和 社会需要发展到一定程度的必然结果。在1795年，高斯为测定行星 运动轨道而提出最小二乘估计法。为了解决火力控制系统精度跟踪 问题，维纳于1942年提出了维纳滤波理论，利用有用信号和干扰信 号的功率谱确定线性滤波器的频率特性，首次将数理统计理论与线 性理论有机的联系在一起，形成了对随机信号做平滑、估计或者预 测的最优估计新理论。但是采用频域设计法是造成维纳滤波器设计 困难的根本原因。于是，人们逐渐转向寻求在时域内直接设计最优 滤波器的方法，而卡尔曼研究的卡尔曼滤波理论很好的解决了这个 问题
思路
思路
Part 1 线性系统的卡尔曼滤波方程
I. 线性离散系统 II. 线性连续系统
Part 2 非线性系统的卡尔曼滤波方程
I. 扩展卡尔曼滤波器 EKF II. 无迹卡尔曼滤波器 UKF
卡尔曼滤波的基本思想
卡尔曼滤波的基本思想
在海图作业中，航海长通常以前一时刻的船位为基准，根据航向、 船速和海流等一系列因素推算下一个船位，但是他并不轻易认为 船位就一定在推算船位上，还要选择适当的方法，通过仪器得到 另一个推算船位。观测和推算这两个船位一般不重合，航海长需 要通过分析和判断选择一个可靠的船位，作为船舰当前的位置。
得到了K时刻的最优温度，下一步就是对K+1时刻的温度值进行最
优估算，需要得到K时刻的最优温度（24.56）的偏差，算法如下：
卡尔曼滤波的特点
卡尔曼滤波的特点
（1）卡尔曼滤波处理的对象是随机信号； （2）被处理的信号无有用和干扰之分，滤波的目的是要估计出 所有被处理的信号(区别于维纳滤波)； （3）系统的白噪声激励和测量噪声并不是需要滤除的对象，它 们的统计特性是估计过程中需要利用的信息；（区别最小二乘） （4）算法是递推的，且使用状态空间法在时域内设计滤波器， 适用于对多维随机过程的估计； （5）被估计量既可以是平稳的，也可以是非平稳的； （6）估计过程中，只需要考虑过程噪声和测量噪声及当前时刻 系统状态的统计特性。（计算机计算时，所占空间小）
卡尔曼 滤波器
（Kalman Filter）
滤波的基本概念
滤波是什么？
所谓滤波，就是从混合在一起的诸多信号中提取出所需要的信号。
信号的分类（数学关系）？
（1）确定性信号：可以表示为确定的时间函数，可确定其在任何 时刻的量值。（具有确定的频谱） （2）随机信号：不能用确定的数学关系式来描述的，不能预测其 未来任何瞬时值，其值的变化服从统计规律。（频谱不确定，功 率谱确定）
卡
来自百度文库
以 K 1时刻的最优估计 xk 1为准，预测 K 时刻
尔 曼
的状态变量 xˆk /k 1 ，同时又对该状态进行观测，得到
滤
观测变量 zk ，再在预测与观测之间进行分析，或者
波 思
说是以观测量对预测量进行修正，从而得到 K 时刻的
想
最优状态估计 xk 。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
假设我们要研究一个房间的温度，以一分钟为时间单位。根 据我们的经验判断，这个房间的温度是恒定的，但是对我们 的经验不是完全相信，可能存在上下几度的偏差，我们把该 偏差看做是高斯白噪声。另外，我们在房间里放一个温度计， 温度计也不准确，测量值会与实际值存在偏差，我们也把这 偏差看做是高斯白噪声。现在，我们要根据我们的经验温度 和温度计的测量值及它们各自的噪声来估算出房间的实际温 度。
卡尔曼滤波器是什么
卡尔曼滤波器是什么？
简单的说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm (最优化自回归数据处理算法)”。从形 式上，卡尔曼滤波器是5条公式。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至 是最有用的。他的广泛应用已经超过了30年，包括机器人 导航、控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统 以及导弹追踪等等。而近年来更被应用于计算机图像处理， 例如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等等。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
假如我们要估算 k 时刻的实际温度值。首先你要根据 k-1 时刻 的温度值，来预测 k 时刻的温度（K时刻的经验温度）。因为 你相信温度是恒定的，所以你会得到 k 时刻的温度预测值是跟 k-1 时刻一样的，假设是 23 度（*公式一），同时该值（预测 值）的高斯噪声的偏差是 5 度（5 是这样得到的：如果 k-1 时 刻估算出的最优温度值的偏差是 3，你对自己预测的不确定度 是 4 度，他们平方相加再开方，就是 5（*公式二）） 。然后， 你从温度计那里得到了 k时刻的温度值，假设是25 度，同时该 值的偏差是 4 度。
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼，全名Rudolf Emil Kalman， 匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利 首都布达佩斯。1953，1954年于麻省 理工学院分别获得电机工程学士及硕 士学位。1957年于哥伦比亚大学获得 博士学位。我们在现代控制理论中要 学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的 博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预 测问题的新方法）。