卡尔曼滤波器分类及基本公式

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卡尔曼滤波算法含详细推导

求式(3)所示状态向量的一步预测误差向量的相关矩阵，容易证明：
3、kalman滤波算法
K (n 1, n) E{e(n 1, n)]e H (n 1, n)} [ F (n 1, n) G (n)C (n)]K (n, n 1)[F (n 1, n)
式中使用了e(n+1,n)，v1(n)，v2(n)彼此不相关的事实，以及E{v1 (n)v1 (n)} Q1 (n) H 和 E{v2 (n)v2 (n)} Q2 (n) 等关系式。对式(31)的右边进行展开，然后代入式(28)和(29)，可以证明：状态向量预测误差的相关矩阵的递推公式为：

这就是新息过程的实际计算公式，条件是：一步预测的状态向量估计 x1 (n) 业已求出。定义向量的一步预测误差：
e(n 1, n) x(n) x1 (n)......... .(14)
def

2、新息过程
将此式代入式（13），则有
(n) C(n)e(n, n 1) v2 (n)......... (15)
e(n 1, n) F (n 1, n)[x(n) x1 (n)] G (n)[ y (n) C (n) x1 (n)] v1 (n)
将观测方程(2)代入上式，并代入 e(n,n - 1) x(n) x1 (n) ，则有：

e(n 1, n) [ F (n 1, n) G(n)C (n)]e(n,n 1) v1 (n) G(n)v2 (n)......... .........( 30)
在新息过程的相关矩阵定义式（10）中代入式（14），并注意到观测矩阵C（n）是一已知的确定矩阵，故有

卡尔曼滤波器分类及基本公式

以时刻的最优估计为准，预测时刻的状态变量，同时又对该状态进行观测，得到观测变量，再在预测与观测之间进行分析，或者说是以观测量对预测量进行修正，从而得到时刻的最优状态估计。
卡尔曼滤波思想
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼滤波理论作为最优估计的一种，它的创立是科学技术和社会需要发展到一定程度的必然结果。在1795年，高斯为测定行星运动轨道而提出最小二乘估计法。为了解决火力控制系统精度跟踪问题，维纳于1942年提出了维纳滤波理论，利用有用信号和干扰信号的功率谱确定线性滤波器的频率特性，首次将数理统计理论与线性理论有机的联系在一起，形成了对随机信号做平滑、估计或者预测的最优估计新理论。但是采用频域设计法是造成维纳滤波器设计困难的根本原因。于是，人们逐渐转向寻求在时域内直接设计最优滤波器的方法，而卡尔曼研究的卡尔曼滤波理论很好的解决了这个问题
卡尔曼滤波的基本方程
例子
卡尔曼滤波的基本方程
现在，我们用于估算K时刻房间的实际温度有两个温度值：估计值23度和测量值25度。究竟实际温度是多少呢？是相信自己还是相信温度计？究竟相信谁多一点？我们需要用他们的均方误差来判断。因为，（*公式三），所以我们可以估算出K时刻的最优温度值为：度（*公式四）。得到了K时刻的最优温度，下一步就是对K+1时刻的温度值进行最优估算，需要得到K时刻的最优温度（24.56）的偏差，算法如下：（*公式五）就这样，卡尔曼滤波器就不断的把均方误差递归，从而估算出最优的温度值，运行速度快，且只保留上一时刻的协方差。
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼，全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们在现代控制理论中要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。

卡尔曼滤波器分类及基本公式

式上，卡尔曼滤波器是5条公式。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过了30年，包括机器人导航、控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。而近年来更被应用于计算机图像处理，
例如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等等。
卡尔曼滤波的特点
卡尔曼滤波的特点
你从温度计那里得到了 k时刻的温度值，假设是25 度，同时该
值的偏差是 4 度。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
现在，我们用于估算K时刻房间的实际温度有两个温度值：估计值
23度和测量值25度。究竟实际温度是多少呢？是相信自己还是相信温度计？究竟相信谁多一点？我们需要用他们的均方误差来判断。
52 因为， 2 2 H 0.78（*公式三），所以我们可以估算出K时 H 5 4 刻的最优温度值为：23 0.78* (25 23) 24.56 度（*公式四）。
度。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
假如我们要估算 k 时刻的实际温度值。首先你要根据 k-1 时刻
的温度值，来预测 k 时刻的温度（K时刻的经验温度）。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到 k 时刻的温度预测值是跟 k-1 时刻一样的，假设是 23 度（*公式一），同时该值（预测值）的高斯噪声的偏差是 5 度（5 是这样得到的：如果 k-1 时刻估算出的最优温度值的偏差是 3，你对自己预测的不确定度是 4 度，他们平方相加再开方，就是 5（*公式二））。然后，
Qk
为过程噪声的协方差，其为非负定阵；为测量噪声的协方差，其为正定阵。
Rk
1 基于离散系统模型的卡尔曼滤波的基本公式 1.3 离散型卡尔曼滤波方程的一般形式

卡尔曼滤波器的原理与应用

卡尔曼滤波器的原理与应用1. 什么是卡尔曼滤波器？卡尔曼滤波器（Kalman Filter）是一种用于估计系统状态的数学算法，它通过将系统的测量值和模型预测值进行加权平均，得到对系统状态的最优估计。

卡尔曼滤波器最初由卡尔曼（Rudolf E. Kálmán）在20世纪60年代提出，广泛应用于航天、航空、导航、机器人等领域。

2. 卡尔曼滤波器的原理卡尔曼滤波器的原理基于贝叶斯滤波理论，主要包括两个步骤：预测步骤和更新步骤。

2.1 预测步骤预测步骤是根据系统的动力学模型和上一时刻的状态估计，预测出当前时刻的系统状态。

预测步骤的过程可以用以下公式表示：x̂k = Fk * x̂k-1 + Bk * ukP̂k = Fk * Pk-1 * Fk' + Qk其中，x̂k为当前时刻的状态估计，Fk为状态转移矩阵，x̂k-1为上一时刻的状态估计，Bk为输入控制矩阵，uk为输入控制量，Pk为状态协方差矩阵，Qk为过程噪声的协方差矩阵。

2.2 更新步骤更新步骤是根据系统的测量值和预测步骤中的状态估计，通过加权平均得到对系统状态的最优估计。

更新步骤的过程可以用以下公式表示：Kk = P̂k * Hk' * (Hk * P̂k * Hk' + Rk)^-1x̂k = x̂k + Kk * (zk - Hk * x̂k)Pk = (I - Kk * Hk) * P̂k其中，Kk为卡尔曼增益矩阵，Hk为测量矩阵，zk为当前时刻的测量值，Rk 为测量噪声的协方差矩阵，I为单位矩阵。

3. 卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器广泛应用于以下领域：3.1 导航与定位卡尔曼滤波器在导航与定位领域的应用主要包括惯性导航、GPS定位等。

通过融合惯性测量单元（Inertial Measurement Unit）和其他定位信息，如GPS、罗盘等，卡尔曼滤波器可以提高导航与定位的准确性和鲁棒性。

3.2 机器人控制卡尔曼滤波器在机器人控制领域的应用主要包括姿态估计、移动定位、目标跟踪等。

globk卡尔曼滤波平差流程及相关公式特别是解算哪些状态量

globk卡尔曼滤波平差流程及相关公式特别是解算哪些状态量卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种基于线性状态空间模型的最优估计算法，它是通过递推的方式从当前时刻的测量值和上一时刻的状态估计值中得出最优的状态估计结果。

卡尔曼滤波广泛应用于估计、预测和控制等领域。

卡尔曼滤波的基本思想是对目标的状态进行估计，通过当前的测量值和上一时刻的状态估计值对目标的状态进行修正。

卡尔曼滤波的核心是状态估计和协方差矩阵的更新。

卡尔曼滤波的基本流程如下：1.初始化：设定初始的状态估计值和协方差矩阵；2.预测状态：通过状态转移方程，利用上一时刻的状态估计值预测当前时刻的状态估计值；3.预测协方差：通过状态转移方程和上一时刻的协方差矩阵预测当前时刻的协方差矩阵；4.校正状态：通过测量方程，利用当前时刻的测量值和预测的状态估计值校正当前时刻的状态估计值；5.更新协方差：通过测量方程、预测的协方差矩阵和测量噪声协方差矩阵更新当前时刻的协方差矩阵；6.返回第2步，继续预测和校正，形成一个递推过程。

在卡尔曼滤波中，解算的状态量通常包括目标的位置、速度、加速度等状态变量，以及传感器的噪声、系统的噪声等状态变量。

卡尔曼滤波的公式如下：1.预测状态：X(k，k-1)=F*X(k-1，k-1)+B*u(k)其中，X(k，k-1)为当前时刻的状态估计值；F为状态转移矩阵；X(k-1，k-1)为上一时刻的状态估计值；B为控制矩阵；u(k)为控制向量。

2.预测协方差：P(k，k-1)=F*P(k-1，k-1)*F'+Q其中，P(k，k-1)为当前时刻的协方差矩阵；Q为系统噪声的协方差矩阵。

3.校正状态：K(k)=P(k，k-1)*H'*(H*P(k，k-1)*H'+R)^-1X(k，k)=X(k，k-1)+K(k)*(Z(k)-H*X(k，k-1))其中，K(k)为卡尔曼增益；H为测量矩阵；R为测量噪声的协方差矩阵；Z(k)为当前时刻的测量值。

卡尔曼滤波计算举例全

卡尔曼滤波计算举例⏹计算举例⏹卡尔曼滤波器特性假设有一个标量系统，信号与观测模型为[1][][]x k ax k n k +=+[][][]z k x k w k =+其中a 为常数，n [k ]和w [k ]是不相关的零均值白噪声，方差分别为和。

系统的起始变量x [0]为随机变量，其均值为零，方差为。

2nσ2σ[0]x P （1）求估计x [k ]的卡尔曼滤波算法；（2）当时的卡尔曼滤波增益和滤波误差方差。

220.9,1,10,[0]10nx a P =σ=σ==1. 计算举例根据卡尔曼算法，预测方程为:ˆˆ[/1][1/1]xk k ax k k -=--预测误差方差为:22[/1][1/1]x x nP k k a P k k -=--+σ卡尔曼增益为:()1222222[][/1][/1][1/1][1/1]x x x nx n K k P k k P k k a P k k a P k k -=--+σ--+σ=--+σ+σˆˆˆ[/][/1][]([][/1])ˆˆ[1/1][]([][1/1])ˆ(1[])[1/1][][]xk k x k k K k z k x k k axk k K k z k ax k k a K k xk k K k z k =-+--=--+---=---+滤波方程:()()2222222222222[/](1[])[/1][1/1]1[1/1][1/1][1/1][1/1]x x x nx n x n x nx nP k k K k P k k a P k k a P k k a P k k a P k k a P k k =--⎛⎫--+σ=---+σ ⎪--+σ+σ⎝⎭σ--+σ=--+σ+σ滤波误差方差起始：ˆ[0/0]0x=[0/0][0]x x P P =k [/1]x P k k -[/]x P k k []K k 012345689104.76443.27012.67342.27652.21422.18362.16832.16089.104.85923.64883.16542.94752.84402.79352.76870.47360.32700.26730.24040.22770.22140.21840.2168ˆ[0/0]0x=[0/0]10x P =220.9110na =σ=σ=2. 卡尔曼滤波器的特性从以上计算公式和计算结果可以看出卡尔曼滤波器的一些特性：（1）滤波误差方差的上限取决于测量噪声的方差，即()2222222[1/1][/][1/1]x nx x na P k k P k k a P k k σ--+σ=≤σ--+σ+σ2[/]x P k k ≤σ这是因为（2）预测误差方差总是大于等于扰动噪声的方差，即2[/1]x nP k k -≥σ这是因为222[/1][1/1]x x n nP k k a P k k -=--+σ≥σ（3）卡尔曼增益满足，随着k 的增加趋于一个稳定值。

卡尔曼滤波器

模糊逻辑AKF
• 卡尔曼滤波器通常要求系统动态过程和噪声都是确定的，且系统噪声和量测噪声都是零均值白噪声，如果系统存在模型误差或噪声不确定就有可能导致卡尔曼滤波器发散。模糊逻辑自适应卡尔曼滤波器o，它能够连续调整滤波器模型中的噪声力度，从而防止滤波器发散。
卡尔曼滤波器应用举例
• 现代汽车中的悬架分为从动悬架和主动悬架两种。从动悬架即传统式的悬架，是由弹簧、减震器、导向机构等组成，它的功能是减弱路面传给车身的冲击力，衰减由冲击力而引起的承载系统的震动。其中弹簧主要起减缓冲击力的左右，减震器的作用是衰减震动。从动悬架是由外力驱动而起作用的。
多模型AKF
• 它由一组卡尔曼滤波器组成，每一个卡尔曼滤波器使用不同的系统模型，各个卡尔曼滤波器并行运行，根据观测向量估计各自的状态。随着时间的不断增加，系统会选出最优的一个滤波器并将其权值增大，而其它权值相应减小。多模型 AKF性能最优的前提条件是所用的模型集包含了系统所有可能的模式，但是这个前提条件往往是很难满足的。
基于信息的AKF
• 基于信息的AKF主要是通过调整噪声统计特性达到自适应的目的，解决了因为噪声统计特性不明确或噪声发生变化的情况。但是对于系统其它模型发生变化不能达到自适应的目的。
神经网络AKF
• 神经网络作为人工智能技术中的一个领域，其主要优点在于它对系统的模型没有特别要求，只要有足够的用于训练的先验数据，就可以用训练的神经网络近似代替原系统。神经网络AKF可以满足系统其它模型不正确或者发生变化的问题。
卡尔曼滤波器基本公式
• （1）X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k) • （2）P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A’+Q • （3）X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-

卡尔曼滤波器的五个公式

卡尔曼滤波器的五个公式
卡尔曼滤波器主要有两个公式，分别是状态预测公式和状态更新公式。

而状态预测公式又可以细分为系统状态预测公式和状态协方差预测公式。

因此，卡尔曼滤波器总共有五个公式，具体如下：
1. 系统状态预测公式（状态方程）：
x(k) = F * x(k-1) + B * u(k-1) + w(k-1)
其中，x(k)为当前时刻的状态向量，F为状态转移矩阵，x(k-1)为上一时刻的状态向量，B为控制输入矩阵，u(k-1)为控制输入向量，w(k-1)为过程噪声向量。

2. 状态协方差预测公式（协方差方程）：
P(k) = F * P(k-1) * F^T + Q(k-1)
其中，P(k)为当前时刻的状态协方差矩阵，Q(k-1)为过程噪声协方差矩阵。

3. 状态更新公式（测量方程）：
z(k) = H * x(k) + v(k)
其中，z(k)为当前时刻的测量向量，H为测量矩阵，v(k)为测量噪声向量。

4. 估计协方差更新公式：
S(k) = H * P(k) * H^T + R(k)
其中，S(k)为当前时刻的估计协方差矩阵，R(k)为测量噪声协方差矩阵。

5. 状态修正公式：
K(k) = P(k) * H^T * (H * P(k) * H^T + R(k))^-1
其中，K(k)为卡尔曼增益矩阵。

通过以上五个公式的迭代运算，可以实现卡尔曼滤波器的状态预测和状态更新，从而提高状态估计的准确性。

ckf公式

CKF（Cubature Kalman Filter）是一种基于卡尔曼滤波器的状态估计算法，它通过对非线性系统进行线性化来提高卡尔曼滤波器的性能。

下面我们将详细介绍CKF算法的数学原理及应用。

一、卡尔曼滤波器卡尔曼滤波器是一种用于估计系统状态的算法，其主要思想是利用系统的观测值和控制量来对系统状态进行预测和更新。

卡尔曼滤波器主要由两个步骤组成：预测和更新。

预测步骤中，根据系统的动态模型和控制量，预测系统的状态，并计算出状态的协方差矩阵。

更新步骤中，根据观测量和预测值计算出卡尔曼增益，并用其来更新预测值和协方差矩阵。

二、CKF算法CKF算法是一种基于卡尔曼滤波器的非线性系统状态估计算法。

CKF算法通过对非线性系统进行线性化来提高卡尔曼滤波器的性能。

CKF算法采用多维高斯积分来对非线性函数进行近似，从而将非线性系统线性化。

CKF算法的数学原理如下：1. 卡尔曼滤波器模型假设系统状态为$x_k$，控制量为$u_k$，观测值为$z_k$。

则卡尔曼滤波器模型可以表示为：预测：$$\hat{x}_{k} = f(\hat{x}_{k-1},u_{k-1})$$$$P_{k} = F_{k-1} P_{k-1} F_{k-1}^T + Q_{k-1}$$更新：$$K_k = P_k H_k^T(H_k P_k H_k^T + R_k)^{-1}$$$$\hat{x}_k = \hat{x}_k + K_k(z_k - H_k \hat{x}_k)$$ $$P_k = (I - K_k H_k)P_k(I - K_k H_k)^T + K_k R_k K_k^T$$其中$f$为系统的动态模型，$F_{k-1}$为状态转移矩阵，$Q_{k-1}$为过程噪声协方差矩阵，$H_k$为观测矩阵，$R_k$为观测噪声协方差矩阵，$K_k$为卡尔曼增益，$\hat{x}_k$为估计值，$P_k$为估计协方差矩阵。

2. CKF算法CKF算法中，首先需要对非线性函数进行线性化，将非线性函数转化为多维高斯分布函数。

卡尔曼滤波器分类及基本公式概要课件

精确地描述系统的非线性特性。
无迹卡尔曼滤波器的计算较为复杂，但具有更高的估计精度和
03
稳定性，适用于一些高精度要求的非线性系统状态估计。
03
卡尔曼滤波器的基本公式
状态方程
描述系统状态变化的数学表达式。
状态方程是描述系统状态变化的数学表达式，它基于系统的动态模型和当前状态，计算未来状态。在卡尔曼滤波器中，状态方程用于预测系统的下一个状态。
详细描述
卡尔曼增益矩阵的计算基于状态向量和误差协方差矩阵，通过一系列数学运算得到。它反映了新获取的测量值对状态估计的贡献程度，以及旧信息的保留程度。在计算过程中，通常采用递推或迭代的方式进行计算，以降低计算复杂度。
更新状态向量和误差协方差矩阵
总结词
在得到卡尔曼增益矩阵后，需要利用它来更新状态向量和误差协方差矩阵，以完成一次滤波过程。0203 Nhomakorabea改进
针对不同应用场景和需求，卡尔曼滤波器不断有新的改进和优化算法出现。
滤波器的应用领域
航空航天
卡尔曼滤波器在航空航天领域中用于导航、姿态估计和卫星
轨道计算等。
无人驾驶
卡尔曼滤波器在无人驾驶汽车中用于传感器数据处理、路径规划和障碍物检测等。
机器人
卡尔曼滤波器在机器人领域中用于定位、地图构建和姿态控制等。
02
扩展卡尔曼滤波器通过将非线性函数进行线性化处理，将非线性问题转化为线性问题进行解决。
03
扩展卡尔曼滤波器的计算相对复杂，但适用范围较广，适用于大多数非线性系统的状态估计。
无迹卡尔曼滤波器
01
无迹卡尔曼滤波器是另一种针对非线性系统的改进型卡尔曼滤波器。
02
无迹卡尔曼滤波器采用无迹变换方法处理非线性函数，能够更

卡尔曼核心公式

卡尔曼核心公式卡尔曼滤波是一种用于处理实时控制、估计和预测问题的算法。

卡尔曼滤波基于贝叶斯统计学的一系列假设，包括线性系统、高斯噪声等。

卡尔曼滤波的核心公式是卡尔曼滤波器方程，它描述了如何根据先前的状态估计和当前的观测值来更新状态估计。

下面我们来具体介绍卡尔曼滤波的核心公式。

状态方程卡尔曼滤波器方程的核心就是状态方程和观测方程。

状态方程描述了系统的演化过程，通常用一个线性动态系统来表示。

假设这个线性动态系统是一个一阶的离散时间系统，其状态方程可以表示为：x[k] = A[k]x[k-1] + B[k]u[k-1] + w[k-1]其中，x[k]是时间k时刻的状态向量，A[k]是状态转移矩阵，B[k]是输入矩阵，u[k-1]是时间k-1时刻的输入，w[k-1]是状态转移过程中噪声的影响。

观测方程观测方程描述了系统的测量过程，通常用一个线性系统来表示。

假设这个线性系统是一个二阶的离散时间系统，其观测方程可以表示为：z[k] = H[k]x[k] + v[k]其中，z[k]是时间k时刻的测量向量，H[k]是观测矩阵，v[k]是测量过程中噪声的影响。

卡尔曼滤波器方程卡尔曼滤波器方程是根据状态方程和观测方程推导出来的，用于更新状态向量的估计。

卡尔曼滤波解读

目录一. 卡尔曼滤波的背景介绍 (2)二. 卡尔曼滤波的相关原理 (2)三. 卡尔曼滤波的简单理解 (3)1.卡尔曼滤波器基本公式 (3)2.卡尔曼滤波器算法 (3)3.研究对象：房间的温度 (5)四. 卡尔曼滤波的实现形式 (6)五. 卡尔曼滤波的应用范围 (6)六. 卡尔曼滤波的典型实例 (6)卡尔曼滤波器在智能车中的应用 (6)七．卡尔曼滤波器的不足与发展 (12)1.卡尔曼滤波器的不足 (12)2.卡尔曼滤波器的发展 (13)3.自适应卡尔曼滤波(AKF) (13)一. 卡尔曼滤波的背景介绍Kalman，匈牙利数学家。

1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。

1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。

1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。

卡尔曼滤波器源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。

卡尔曼滤波器是一个最优化自回归数据处理算法。

对于解决很大部分的问题，它是最优，效率最高甚至是最有用的。

它的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。

近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等二. 卡尔曼滤波的相关原理状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。

一般来说，根据观测数据对随机量进行定量推断就是估计问题，特别是对动态行为的状态估计，它能实现实时运行状态的估计和预测功能。

比如对飞行器状态估计。

状态估计对于了解和控制一个系统具有重要意义，所应用的方法属于统计学中的估计理论。

最常用的是最小二乘估计，线性最小方差估计、最小方差估计、递推最小二乘估计等。

其他如风险准则的贝叶斯估计、最大似然估计、随机逼近等方法也都有应用。

受噪声干扰的状态量是个随机量，不可能测得精确值，但可对它进行一系列观测，并依据一组观测值，按某种统计观点对它进行估计。

卡尔曼增益公式

卡尔曼增益公式卡尔曼增益公式（Kalman Gain Formula）是卡尔曼滤波器（Kalman Filter）中的关键公式，用于实时估计系统状态。

卡尔曼滤波器是一种递归滤波器，能够通过融合系统模型和观测数据，提供最优的状态估计结果。

卡尔曼滤波器的核心思想是通过不断迭代的方式，基于先验估计和观测数据，逐步修正状态估计值，从而得到更准确的系统状态估计。

卡尔曼增益公式在这个过程中起到了至关重要的作用。

卡尔曼增益公式的表达形式如下：K = P * H^T * (H * P * H^T + R)^(-1)其中，K表示卡尔曼增益，P表示先验估计的状态协方差矩阵，H 表示观测矩阵，R表示观测噪声的协方差矩阵。

卡尔曼增益公式的含义是通过计算观测矩阵H与状态协方差矩阵P 的乘积，再加上观测噪声的协方差矩阵R，然后求逆矩阵，最后再乘以先验估计的状态协方差矩阵P的转置，得到卡尔曼增益K。

卡尔曼增益K的作用是衡量观测数据对状态估计的贡献程度。

当观测数据的噪声较大时，卡尔曼增益会减小，降低观测数据的权重；当观测数据的噪声较小时，卡尔曼增益会增大，提高观测数据的权重。

通过调整卡尔曼增益，卡尔曼滤波器能够更好地抵抗观测噪声的影响，提供更准确的状态估计结果。

卡尔曼增益的计算依赖于系统模型和观测数据的统计特性。

在实际应用中，这些统计特性往往通过系统建模和实验测量得到。

通过不断更新卡尔曼增益，卡尔曼滤波器能够适应系统和观测数据的变化，实现状态估计的持续优化。

卡尔曼增益公式的应用广泛，特别在机器人导航、航空航天、自动驾驶等领域具有重要意义。

通过卡尔曼滤波器的状态估计，可以实现对复杂系统的实时监测和控制，提高系统的稳定性和可靠性。

卡尔曼增益公式是卡尔曼滤波器中的关键公式，通过计算观测数据的权重，实现对系统状态的实时估计。

卡尔曼滤波器凭借其高效的状态估计能力，在众多领域得到了广泛应用，为提高系统性能和可靠性做出了重要贡献。

卡尔曼滤波(Kalman Filter)原理与公式推导

一、背景---卡尔曼滤波的意义随着传感技术、机器人、自动驾驶以及航空航天等技术的不断发展，对控制系统的精度及稳定性的要求也越来越高。

卡尔曼滤波作为一种状态最优估计的方法，其应用也越来越普遍，如在无人机、机器人等领域均得到了广泛应用。

对于Kalman Filter的理解，用过的都知道“黄金五条”公式，且通过“预测”与“更新”两个过程来对系统的状态进行最优估计，但完整的推导过程却不一定能写出来，希望通过此文能对卡尔曼滤波的原理及状态估计算法有更一步的理解。

二、卡尔曼滤波的基本模型假设一离散线性动态系统的模型如下所示：x_{k} = A*x_{k-1} + B*u_{k} + w_{k-1}-------(1)z_{k} = H*x_{k} + v_{k} --------------------(2)其中，各变量表征的意义为：———————————————————————————x_{k}\Rightarrow 系统状态矩阵，-------， z_{k}\Rightarrow 状态阵的观测量（实测）A\Rightarrow 状态转移矩阵，-------， B\Rightarrow 控制输入矩阵H\Rightarrow 状态观测矩阵w_{k-1}\Rightarrow 过程噪声，-------，v_{k}\Rightarrow 测量噪声———————————————————————————如果大家学过《现代控制理论》的话，对上述模型的描述形式一定不会陌生，只是多了变量 w_{k-1} 与 v_{k} 。

其中，随机变量w_{k-1} 代表过程噪声（process noise）， v_{k} 代表测量噪声（measurement noise），且为高斯白噪声，协方差分别为 Q 和 R ，即 p(w) \in N(0,Q) ， p(v) \in N(0,R) 。

为什么要引入这两个变量呢？对于大多数实际的控制系统（如倒立摆系统）而言，它并不是一个严格的线性时变系统(Linear Time System)，亦或系统结构参数的不确定性，导致估计的状态值x_{k} 存在偏差，而这个偏差值由过程噪声 w_{k} 来表征。

卡尔曼滤波公式

卡尔曼滤波公式
卡尔曼滤波公式
X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)
卡尔曼滤波(Kalman filtering)一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。

由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。

斯坦利·施密特(Stanley Schmidt)首次实现了卡尔曼滤波器。

卡尔
曼在NASA埃姆斯研究中心访问时，发现他的方法对于解决阿波罗计划的轨道预测很有用，后来阿波罗飞船的导航电脑使用了这种滤波器。

关于这种滤波器的论文由Swerling (1958), Kalman (1960)与Kalman and Bucy (1961)发表。

数据滤波是去除噪声还原真实数据的一种数据处理技术, Kalman
滤波在测量方差已知的情况下能够从一系列存在测量噪声的数据中，估计动态系统的状态. 由于, 它便于计算机编程实现, 并能够对现场
采集的数据进行实时的更新和处理, Kalman滤波是目前应用最为广泛的滤波方法, 在通信, 导航, 制导与控制等多领域得到了较好的应用.。

卡尔曼滤波详解

卡尔曼滤波详解这篇主要介绍卡尔曼滤波公式详细推导，使用示例参考卡尔曼滤波示例。

Kalman Filter简单介绍主要讲解基本的卡尔曼滤波算法，有时候也说是离散或者线性卡尔曼滤波。

首先来看一个数学公式，这部分仅仅是给定一个思路，和最后实际算法无关。

目前考虑到要估计当前系统的状态，而且有两个已知量，一个上一个状态的估计值以及当前状态的测量值，这两个都有一定的噪声，需要做的就是把这两个结合起来，很简单的思路就是按照比例相加得到当前状态的估计值：X ^ k = K k ⋅ Z k + ( 1 − K k ) ⋅ X ^ k − 1 \hat{X}_k = K_k \cdot Z_k + (1 - K_k) \cdot \hat{X}_{k-1} X^k=Kk⋅Zk+(1−Kk)⋅X^k−1k k k 表示离散的状态量，可以把它简单的理解为离散的时间间隔。

k=1 表示1ms，k=2 表示2ms；X ^ k \hat{X}_k X^k 是对当前状态的估计值，希望利用上面的公式对每一个 k 都能得到一个较为准确的 X 的值；Z k Z_k Zk 是对当前状态的测量值，当然这个值并不是绝对准确的，会有一定的误差噪声（如果绝对准确，直接用就可以了，也就没必要搞这个卡尔曼滤波算法了）；X ^ k − 1 \hat{X}_{k-1} X^k−1 是对上一状态的估计值，利用这个以及测量值对当前状态进行估计；K k K_k Kk 是卡尔曼增益(kalman gain)，在这里唯一未知的就是这个值，也是需要去求的值。

当然可以直接设置值为0.5，但是这样比较暴力。

最好的方式就是根据每一时刻的状态求一个当前状态最好的增益值，这样的话更好利用以前状态的估计值以及当前测量值来估计一个最优的当前值。

后面卡尔曼滤波算法就是按照上面思路利用上一状态以及测量值去估计当前状态，只不过模型要更加复杂。

基本模型卡尔曼滤波的状态方程，利用线性随机差分方程（Linear Stochastic Difference equation）利用上一个系统状态估计当前系统状态（这里假设上一状态与下一一状态有某种线性关系，比如恒温环境的温度，匀速运动的速度等，但是因为现实环境的复杂，这种线性关系不是完全平滑的，也就是会有一些扰动）：x k = A x k − 1 + B u k − 1 + w x_k = Ax_{k-1} + Bu_{k-1}+w xk=Axk−1+Buk−1+w使用时一般忽略 u u u 控制输入，得到：x k = A x k − 1 + w ( 1.1 ) x_k = Ax_{k-1} + w \qquad {(1.1)} xk=Axk−1+w(1.1)加上对于当前状态的测量方程（简单来说就是测量值和状态值的线性函数）：z k = H x k + v ( 1.2 ) z_k = Hx_k + v \qquad {(1.2)} zk=Hxk +v(1.2)k − 1 k-1 k−1 和 k k k 分别表示上一状态和当前状态；x ∈ R n x \in R^n x∈Rn 表示要估计的状态；A ∈ R n × n A \in R^{n \times n}A∈Rn×n 表示上一状态到当前状态的转换矩阵；u ∈ R l u \in R^l u∈Rl 表示可选的控制输入，一般在实际使用中忽略；B ∈ R n × l B \in R^{n \times l}B∈Rn×l 表示控制输入到当前状态的转换矩阵；z ∈ R m z \in R^m z∈Rm 表示测量值；H ∈ R m × n H \in R^{m \times n}H∈Rm×n 表示当前状态到测量的转换矩阵；w ∈ R n w \in R^n w∈Rn 表示过程噪声，主要是从上一状态进入到当前状态时，会有许多外界因素的干扰；v ∈ R m v \in R^m v∈Rm 表示测量噪声，主要是任何测量仪器都会有一定的误差；在上面转换矩阵 A A A B B B H H H w ww v v v 是随着状态变化的，在这里没有添加下标，假设是不变的。

卡尔曼滤波

卡尔曼滤波卡尔曼滤波器是一种由卡尔曼（Kalman ）提出的用于时变线性系统的递归滤波器。

这种滤波器是将过去的测量估计误差合并到新的测量误差中来估计将来的误差。

卡尔曼滤波的一个典型实例是从一组有限的，包含噪声的，对物体位置的观察序列（可能有偏差）预测出物体的位置的坐标及速度。

卡尔曼滤波的基本概念一个实际的系统可用如下形式表示：设向量非平稳序列1-k x 和1-k y 用下面的动态方程描述：)0(111,≥⎩⎨⎧+=+Φ=---k v x C y w x x kk k k k k k k k （1—1）k x 是状态向量，k y 是观测向量，k w 是输入噪声，k v 是观测噪声，1,-Φk k 是从1-k 时刻到k 时刻的状态转移阵。

上述动态方程可由系统的机理推导得来或由实验数据辨识得到。

现假设已知。

有如下假设：1）k w 和k v 为零均值白噪声即：()[]0,[,][]0,[,]()Tk k j k j k kj T k k j k j k kjE w Cov w w E w w Q E v Cov v v E v v R δδ⎧===⎪⎨===⎪⎩其中k Q 对称半正定k R 对称正定，均为已知。

2）k w 和k v 不相关即()[,]0(,)T k j kjC o v w v E w vk j==∀ 3）初始状态0x 是随机向量，且与k w 、k v 不相关，即000000[,][()]0[,][()]0Tk k Tk kCov x w E x Ex w Cov x v E x Ex v ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 卡尔曼滤波：——状态估计在已知动态方程（1—1）（状态和观测方程）和样本观测数据k y ，1-k y ，…情况下，求随机序列样本——状态k x 的估计值k xˆ。

卡尔曼通过对下一步预测观测误差——新息的修正加之最小均方误差调整准则很好地解决了带有噪声的状态估计问题。

卡尔曼的递推思想与新息：递推计算和新息是卡尔曼滤波的基本思想，请看如：)(11111211k k k k k y y k y k y y y y -++=++++=+++平均计算变成一种递推计算，大大减少了计算量，把1+k 估计看成是在k 基础上的修正，修正项11()1k k y y k +-+。

卡尔曼滤波器分类及基本公式

卡尔曼滤波器分类及基本公式根据其应用领域和实现方式，卡尔曼滤波器可以分为线性卡尔曼滤波器、扩展卡尔曼滤波器和无迹卡尔曼滤波器等。

1. 线性卡尔曼滤波器（Linear Kalman Filter）：线性卡尔曼滤波器适用于状态变量和观测变量均为线性的情况。

它基于线性动态系统和高斯噪声的假设。

线性卡尔曼滤波器的基本公式为：预测步骤：$\hat{x}_{k，k-1} = F\hat{x}_{k-1，k-1} + Bu_{k-1}$$P_{k，k-1}=FP_{k-1，k-1}F^T+Q$更新步骤：$y_k = z_k - H\hat{x}_{k，k-1}$$S_k=HP_{k，k-1}H^T+R$$K_k=P_{k，k-1}H^TS_k^{-1}$$\hat{x}_{k，k} = \hat{x}_{k，k-1} + K_ky_k$$P_{k，k}=(I-K_kH)P_{k，k-1}$其中，$\hat{x}$ 表示状态变量的估计值，$P$ 表示状态变量估计值的方差，$F$ 表示状态转移矩阵，$B$ 表示输入矩阵，$u$ 表示系统输入，$Q$ 表示系统模型噪声协方差矩阵，$H$ 表示观测矩阵，$z$ 表示观测值，$y$ 表示观测残差，$R$ 表示观测噪声协方差矩阵，$K$ 表示卡尔曼增益，$I$ 表示单位矩阵。

2. 扩展卡尔曼滤波器（Extended Kalman Filter）：扩展卡尔曼滤波器适用于状态变量和观测变量为非线性的情况。

它通过对非线性系统进行线性化，然后应用线性卡尔曼滤波器的思想来进行滤波。

扩展卡尔曼滤波器的基本公式与线性卡尔曼滤波器类似，只是在预测步骤和更新步骤中，将线性化的系统模型和观测模型代替原始非线性模型。

3. 无迹卡尔曼滤波器（Unscented Kalman Filter）：无迹卡尔曼滤波器通过使用无迹变换，避免了非线性系统线性化的过程，从而提高了滤波精度，并且对于非线性系统更加稳健。

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得到了K时刻的最优温度，下一步就是对K+1时刻的温度值进行最
优估算，需要得到K时刻的最优温度（24.56）的偏差，算法如下：
卡尔曼滤波器是什么
卡尔曼滤波器是什么？
简单的说，卡尔曼滤波器是一个“optimal recursive data processing algorithm (最优化自回归数据处理算法)”。从形式上，卡尔曼滤波器是5条公式。
对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过了30年，包括机器人导航、控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。而近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别、图像分割、图像边缘检测等等。
卡尔曼滤波器
（Kalman Filter）
滤波的基本概念
滤波是什么？
所谓滤波，就是从混合在一起的诸多信号中提取出所需要的信号。
信号的分类（数学关系）？
（1）确定性信号：可以表示为确定的时间函数，可确定其在任何时刻的量值。（具有确定的频谱）（2）随机信号：不能用确定的数学关系式来描述的，不能预测其未来任何瞬时值，其值的变化服从统计规律。（频谱不确定，功率谱确定）
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼滤波理论作为最优估计的一种，它的创立是科学技术和社会需要发展到一定程度的必然结果。在1795年，高斯为测定行星运动轨道而提出最小二乘估计法。为了解决火力控制系统精度跟踪问题，维纳于1942年提出了维纳滤波理论，利用有用信号和干扰信号的功率谱确定线性滤波器的频率特性，首次将数理统计理论与线性理论有机的联系在一起，形成了对随机信号做平滑、估计或者预测的最优估计新理论。但是采用频域设计法是造成维纳滤波器设计困难的根本原因。于是，人们逐渐转向寻求在时域内直接设计最优滤波器的方法，而卡尔曼研究的卡尔曼滤波理论很好的解决了这个问题
卡
以 K 1时刻的最优估计 xk 1为准，预测 K 时刻
尔曼
的状态变量 xˆk /k 1 ，同时又对该状态进行观测，得到
滤
观测变量 zk ，再在预测与观测之间进行分析，或者
波思
说是以观测量对预测量进行修正，从而得到 K 时刻的
想
最优状态估计 xk 。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
假设我们要研究一个房间的温度，以一分钟为时间单位。根据我们的经验判断，这个房间的温度是恒定的，但是对我们的经验不是完全相信，可能存在上下几度的偏差，我们把该偏差看做是高斯白噪声。另外，我们在房间里放一个温度计，温度计也不准确，测量值会与实际值存在偏差，我们也把这偏差看做是高斯白噪声。现在，我们要根据我们的经验温度和温度计的测量值及它们各自的噪声来估算出房间的实际温度。
思路
思路
Part 1 线性系统的卡尔曼滤波方程
I. 线性离散系统 II. 线性连续系统
Part 2 非线性系统的卡尔曼滤波方程
I. 扩展卡尔曼滤波器 EKF II. 无迹卡尔曼滤波器 UKF
卡尔曼滤波的基本思想
卡尔曼滤波的基本思想
在海图作业中，航海长通常以前一时刻的船位为基准，根据航向、船速和海流等一系列因素推算下一个船位，但是他并不轻易认为船位就一定在推算船位上，还要选择适当的方法，通过仪器得到另一个推算船位。观测和推算这两个船位一般不重合，航海长需要通过分析和判断选择一个可靠的船位，作为船舰当前的位置。
卡尔曼滤波的特点
卡尔曼滤波的特点
（1）卡尔曼滤波处理的对象是随机信号；（2）被处理的信号无有用和干扰之分，滤波的目的是要估计出所有被处理的信号(区别于维纳滤波)；（3）系统的白噪声激励和测量噪声并不是需要滤除的对象，它们的统计特性是估计过程中需要利用的信息；（区别最小二乘）（4）算法是递推的，且使用状态空间法在时域内设计滤波器，适用于对多维随机过程的估计；（5）被估计量既可以是平稳的，也可以是非平稳的；（6）估计过程中，只需要考虑过程噪声和测量噪声及当前时刻系统状态的统计特性。（计算机计算时，所占空间小）
卡尔曼滤波的基本方程
例子
现在，我们用于估算K时刻房间的实际温度有两个温度值：估计值
2竟相信谁多一点？我们需要用他们的均方误差来判断。
因为，H 2

52 52 42

H

0.78（*公式三），所以我们可以估算出K时
刻的最优温度值为：23 0.78*(25 23) 24.56 度（*公式四）。
卡尔曼滤波的基本方程
例子
假如我们要估算 k 时刻的实际温度值。首先你要根据 k-1 时刻的温度值，来预测 k 时刻的温度（K时刻的经验温度）。因为你相信温度是恒定的，所以你会得到 k 时刻的温度预测值是跟 k-1 时刻一样的，假设是 23 度（*公式一），同时该值（预测值）的高斯噪声的偏差是 5 度（5 是这样得到的：如果 k-1 时刻估算出的最优温度值的偏差是 3，你对自己预测的不确定度是 4 度，他们平方相加再开方，就是 5（*公式二））。然后，你从温度计那里得到了 k时刻的温度值，假设是25 度，同时该值的偏差是 4 度。
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼滤波的由来
卡尔曼，全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们在现代控制理论中要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法）。
滤波的基本概念
确定性信号的滤波
可采用低通、高通、带通、带阻等模拟滤波器或者计算机通过算法实现——常规滤波
随机信号的滤波
根据有用信号和干扰信号的功率谱设计滤波器 —— 维纳滤波（Wiener Filtering）或卡尔曼滤波（Kalman Filter）随机信号的滤波也可以看做是估计问题。