最短路应用问题

选址问题2 选址问题2 现准备在 居民点v 现准备在 n 个居民点 1, v2, … , vn中设置一银 问设在哪个点,可使最大服务距离最小? 行.问设在哪个点,可使最大服务距离最小? 若设 置两个银行,问设在哪两个点? 置两个银行,问设在哪两个点? 假设各个 模型假设 假设各个居民点都有条件设置银 并有路相连,且路长已知. 行,并有路相连,且路长已知. 模型建立与求解 用Floyd算法求出任意两 算法求出任意两 居民点v 之间的最短距离,并用d 表示. 个居民点 i , vj 之间的最短距离,并用 ij 表示. 设置一个银行,银行设在 ⑴ 设置一个银行,银行设在 vi 点的最大服务 距离为
di = m {dij}, i =1 2,..., n. ax ,
1≤ j≤n
求k,使 ,
dk = m {di }. in
1≤i≤n
即若设置一个银行, 即若设置一个银行,则银行设在 vk 点,可使最 大服务距离最小. 大服务距离最小. 设置两个银行,假设银行设在 ⑵ 设置两个银行,假设银行设在vs , vt 点使最 大服务距离最小. 大服务距离最小. 记
设备更新问题。某工厂的某台机器可连续工作4年， 设备更新问题 决策者每年年初都要决定机器是否需要更新。若购置新的， 就要支付一定的购置费用；若继续使用，则要支付一定的 维修与运行费用，而且随着机器使用年限的增加费用逐年 增多。计划期（4 年）中每年年初的购置价格及各个年限 内维修与运行费用由下表给出，试制订今后 4 年的机器更 新计划，使总的支付费用最少。
实验作业
生产策略问题：现代化生产过程中，生产部门面临的突出 生产策略问题 问题之一，便是如何选取合理的生产率。生产率过高，导致 产品大量积压，使流动资金不能及时回笼；生产率过低，产 品不能满足市场需要，使生产部门失去获利的机会。可见， 生产部门在生产过程中必须时刻注意市场需求的变化，以便 适时调整生产率，获取最大收益。 某生产厂家年初要制定生产策略，已预知其产品在年初 的需求量为a=6万单位，并以b=1万单位/月速度递增。若生 产产品过剩，则需付单位产品单位时间（月）的库存保管 费C2=0.2元；若产品短缺，则单位产品单位时间的短期损 失费C3=0.4元。假定生产率每调整一次带有固定的调整费 C1=1万元，试问工厂如何制定当年的生产策略，使工厂的 总损失最小？ 返回
(2) 计算在各点 vi 设立服务设施的最大服务 距离 S(vi)
S (vi ) = max{d ij }，i = 1, 2, …, v
1≤ j ≤ν
源自文库
有：S(v1) = 10，S(v2) = 7，S(v3) = 6，S(v4) = 8.5， S(v5) = 7，S(v6) = 7，S(v7) = 8.5。 (3) 求出顶点 vk，使 S (v k ) = min{S (vi )} ，则 vk 1≤ i ≤ν 就是要求的建立消防站的地点。因为 S(v3) = 6 最小，故应将消防站设在 v3 处。此点称为图的 中心点。 中心点
3 5 10 7 0 0 2 7 4 3 5 2 0 5 2 D = 10 7 5 0 3 7 4 2 3 0 5.5 2.5 4.5 7 4 4 6 8.5 5.5 7 5.5 2.5 4.5 7 4 0 1.5 7 4 6 8.5 5.5 1.5 0
第i年初 购置费（万元） 使用年限 每年的维修与运行费（万元） 1 2.5 1 1 2 2.6 2 1.5 3 2.8 3 2 4 3.1 4 4
又如果已知不同役龄机器年末的处理价格 如下表所示，那末在这计划期内机器的最优更 新计划又会怎样？
年度 机器处理价（万元） 第1年末 2.0 第2年末 1.6 第3年末 1.3 第4年末 1.1
按照最短路算法可得最短路 {v1, v2, v3, v5}，即计划 期内机器更新最优计划为第 1 年、第 3 年初各购进 一台新机器，4 年总的支付费用为 6.8万元。
选址问题。选址问题是指为一个或几个服 选址问题 务设施在一定区域内选定它的位置，使某一指 标达到最优值。选址问题的数学模型依赖于设 施可能的区域和评判位置优劣的标准，有许多 不同类型的选址问题。比较简单的两类选址问 题是中心问题和重心问题。
作业
某公司在六个城市C 有分公司， 某公司在六个城市 1，…C6有分公司，从Ci到Cj 到 的直接航程票记在下述矩阵的（ ）位置上。 的直接航程票记在下述矩阵的（i,j）位置上。该公 司想要一张任两城市间的票价最便宜的路线表， 司想要一张任两城市间的票价最便宜的路线表， 试作出这样的表格
0 50 ∞ 40 25 10 40 25 10 0 15 20 ∞ 25 15 0 10 20 ∞ 20 10 0 10 25 ∞ 20 10 0 55 25 ∞ 25 55 0 50 ∞
解：(1) 用 Floyd 算法求出距离矩阵 D = (dij)v×v： (2) 计算各顶点作为选矿厂的总运力 m(vi)
m(vi ) = ∑ q(v j ) × d ij , i = 1, 2, L, v
j =1
ν
(3) 求 vk 使 m(v k ) = min{m(vi )} ，则 vk 就是选矿厂应设 1≤ i ≤ν 之矿点。此点称为图的重心 中位点 重心或中位点 重心 中位点。
中心问题：有些公共服务设施（例如一些紧 急服务型设施如急救中心、消防战等）的选址，要 求网络中最远的被服务点距离服务设施的距离尽可 能小。例如：某城市要建立一个消防站，为该市所 属的七个区服务，如下图所示。问应设在那个区， 才能使它至最远区的路径最短。
解：(1) 用 Floyd 算法求出距离矩阵 D = (dij)v×v：
d(i, j) = m {m dik , d jk}}. ax in{
1≤k≤n
则s,t 满足： , 满足：
d(s,t) = m {d(i, j)}. in
1≤i< j≤n
进一步,若设置多个银行呢？ 进一步,若设置多个银行呢？
重心问题：有些设施（例如一些非紧急型 的公共服务设施，如邮局、学校等）的选址， 要求设施到所有服务对象点的距离总和最小。 一般要考虑人口密度问题，要使全体被服务对 象来往的平均路程最短。例如，某矿区有七个 矿点，如下图所示。已知各矿点每天的产矿量 q(vj)（标在图的各顶点上），现要从这七个矿 点选一个来建造矿厂，问应选在哪个矿点，才 能使各矿点所产的矿运到选矿厂所在地的总运 力（千吨公里）最小。
解：关于第一问，把该问题看成一个最短路问题。 设 v1 和 v5 分别表示计划期的始点和终点（x5 可理解为 第4年年末）。图中各边 (vi , vj) 表示在第 i 年初购进的 机器使用到第 j 年初（即第 j −1 年底），边旁的数字 由表中的数据得到。
关于第二问，类似于第一问，可转化为求下 图中从 v1 到 v5 的最短路问题。