长沙理工大学模拟考试试卷线性代数1-3

试卷编号 1 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名

课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 0701011 一、判断题（正确答案填√,错误答案填×。每小题2分，共10分） 1.设n 阶方阵C B A ,,可逆且满足E ABC =，则必有 E CBA = （ ） 2.设21,ηη==x x 是b AX =的解，则21ηη+=x 是b AX =的解 （ ） 3.若矩阵A 的列向量组线性相关，则矩阵A 的行向量组不一定线性相关 （ ） 4.设x 表示向量x 的长度，则 x x λλ= （ ） 5.设21,ηη==x x 是b AX =的解，则21ηη-=x 是0=AX 的解 （ ） 二、填空题：(每小题5分，共20分)

1.计算行列式 2

31013

4

12-＝ ； 2.若βα,为)0(,≠=A b b X 的解，则βα-或αβ-必为 的解；

3.设n 维向量组m ααα,,,:21 T ，当n m >时，T 一定线性 ，含有零向量的向量

组一定线性 ；

4.设三阶方阵A 有3个特征值2，1，-2，则2

A 的特征值为 ； 三、计算题（每小题10分，共60分）

1.2

1

11

12111

1211112； 2.若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+4

143432

32121a x x a x x a x x a x x 有解，问常数4321,,,a a a a 应满足的条件？

3.设s ηηη,,,21 是方程组b X =A 的解向量)0(≠b ，若s s k k k ηηη+++ 2211也是的

解，则

=+++s k k k 21 ；

4.求齐次线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++-=++-=++-0

203322024321

43214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系；

5.已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x A 3122与矩阵⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=4321B 相似，求y x ,的值；

6.设3231212

322214225x x x x x ax x x x f +-+++=为正定二次型，求a .

四、证明题（10分）：

设向量组321,,ααα线性无关，证明321211,,αααααα+++线性无关。

试卷编号 2 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 一、判断题：(正确填√,错误填×. 每小题２分，共10分)

1.B A ,是n 阶矩阵，则BA AB =；（ ）

2.若B A ,均为n 阶矩阵，则)()()(B R A R B A R +≤+；（ ）

3.向量组s ααα,,,21 线性相关，则至少含有一个零向量；（ ）

4.若21,αα是齐次线性方程组0=AX 的两个线性无关解向量，则1111ααk k -不是0=AX 的解； （ ）

5.设A 为n 阶矩阵，则A 与2

A 具有相同的特征向量。（ ） 二、填空题：(每小题5分，共20分)

1.若行列式a a D ij n ==，则=-=ij a D ；

2.()=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛321321 ； 3.设向量组T ：m ααα,,,21 ，若T 线性相关，则秩T m ；若T 线性无关，则秩T m; 4.如果三阶矩阵A 对应于特征值321,,λλλ的特征向量为321,,p p p ，令),,(321p p p =P ，

则=AP P -1

。

三、计算题：(每小题10分，共60分)

1.ef

cf bf de cd bd

ae

ac ab

---； 2.计算()=⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛32

1123 ；

3.设⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-+=2123

2121a a A ,⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321031x x x x b ,,若线性方程组b Ax =无解,则=a ；

4.求解非齐次线性方程组:⎪⎩

⎪

⎨⎧=--+=+-+=+-+1

2222412432143214321x x x x x x x x x x x x ；

5.设3阶矩阵A 的特征值为，21=λ，22-=λ，

13=λ对应的特征向量依次为 ,⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011111110321p p p ，，

求A ；

6.用配方法化二次型32212

221442x x x x x x f --+=为标准形，并求所用的可逆变换矩阵． 四、证明题：(10分)

设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T

也是对称矩阵.

长沙理工大学模拟考试试卷

试卷编号 3 拟题教研室（或教师）签名教研室主任签名

一、判断题：(正确填√,错误填×.

每小题２分，共10

分)

1.若五阶方阵的行列式

的行列式，则

；（

）

2.设为阶方阵，为

阶单位阵，则

；（）

3.若向量不能用向量表示，则线性无关；（）

4.任何一个齐次线性方程组都有解；（）

5.若均为阶正交矩阵，则也必为正交矩阵。（）

二、填空题：(每小题5分，共20分)

1.若阶方阵中有一列向量是其余列向量的线性组合，则；

2.若有阶可逆矩阵，则可逆，的逆矩阵为；

3.齐次线性方程组的基础解系中的解向量一定线性；

4.设则由表示是为= 。

三、计算题：(每小题10分，共60分)

1.；

2.设，求；

3.已知三阶方阵且的每一个列向量都是的解，1）求的值，2）求

；

4.求矩阵的行向量组的一个最大无关组；

5.设三阶矩阵的特征值为，对应的特征向量为

，求；

6.写出二次型的矩阵，并判断是否为

正定。

四、证明题：(10分)

若线性无关，试证也线性无关。