高三11月月考试题(数学文)
广西南宁市第二中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题(含解析)
南宁二中2024年11月高三月考数学（时间120分钟，共150分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集，集合，则（ ）A. B. C. D.2.已知复数是的共轭复数，则（ ）A.2B.3C.D.3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）A.D.34.已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）A. B.C.D.5.天上有三颗星星，地上有四个孩子.每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ）A.B. C. D.6.已知，则（ ）A. B. C.1 D.37.已知函数的零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）U =R {}{03},1A xx B x x =≤<=>∣∣()U A B ⋃=ð{3}x x <∣{01}x x ≤<∣{}01xx ≤≤∣{}0xx ≥∣1i,z z =-z i z z -=()22210y x b b-=>y =b =13,,a b c a b c >>0a b c ++=22ab cb >222a cc a+≥a b >0ab bc +>19294923π2tan 43θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭sin cos2sin cos θθθθ=-1310-1013-()(02)f x kx x =<≤31,2⎛⎫⎪⎝⎭kA. B. C. D.8.已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（ ）A.B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这10个人年龄的（ ）年龄454036322928人数121321A.中位数是34B.众数是32C.第25百分位数是29D.平均数为34.310.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是正三角形，为线段的中点，点为底面内的动点：则下列结论正确的是（）A.若，平面平面B.若，直线与平面C.若直线和异面，点不可能为底面的中心D.若平面平面，且点为底面的中心，则11.设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）A.函数的图象关于点对称B.⎛ ⎝(⎫⎪⎪⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()()2sin 0f x x ωω=>ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2y =ω[)2,5[)1,5[]1,231,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦E ABCD -ABCD CDE V M DE N ABCD BC DE ⊥CDE ⊥ABCDBC DE ⊥EA ABCD BM EN N ABCD CDE ⊥ABCD N ABCD BM EN≠R ()f x ()g x ()f x '()g x '()()42f x g x --=()()2g x f x '=-'()2f x +()f x ()2,0()()354g g +=-C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正三角形的边长为为中点，为边上任意一点，则__________.13.已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为__________.14.拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流､物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设代表旧城区，新的城市发展中心分别为正，正，正的中心.现已知，则的面积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知等差数列中，.（1）令，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和.16.（本小题满分15分）米接力短跑作为田径运动的重要项目，展现了一个国家短跑运动的团体最高水平.每支队伍都有自己的一个或几个明星队员，现有一支米接力短跑队，张三是其队员之一，经统计该队伍在参加的所有比赛中，张三是否上场时该队伍是否取得第一名的情况如下表.如果依据小概率值的独立性检验，可以认为队伍是否取得第一名与张三是否上场有关，则认为张三是这支队伍的明星队员.队伍是否取得第一名的情况张三是否上场取得第一名未取得第一名上场104020241()2024k g k ==-∑20241()0k f k ==∑ABC 2,O BC P BC AP AO ⋅=,3,,P ABC AC PB AB BC AB BC -==⊥=P AB C --60 P ABC -ABC V 123,,O O O ACD V ABE V BCF V 1232,30,AB ACB O O O ∠==V ABC V {}n a 5108,23a a ==732n a nb +={}n b {}n nb n n S 4100⨯4100⨯0.1α=未上场6合计24（1）完成列联表，并判断张三是否是这支队伍的明星队员.（2）米接力短跑分为一棒､二棒､三棒､四棒4个选手位置.张三可以作为一棒､二棒或四棒选手参加比赛.当他上场参加比赛时，他作为一棒､二棒､四棒选手参赛的概率分别为，相应队伍取得第一名的概率分别为.当张三上场参加比赛时，队伍取得第一名的概率为0.7.（i ）求的值；（ii ）当张三上场参加比赛时，在队伍取得某场比赛第一名的条件下，求张三作为四棒选手参加比赛的概率.附：.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82817.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面是矩形､平面平面分别为线段的中点，点在线段上（不包括端点）（1）若，求证：点四点共面；（2）若，是否存在点，使得与平面，若不存在，请说明理由.18.（本小题满分17分）已知椭圆，四点22⨯4100⨯0.5,,x y 0.7,0.8,0.3,x y ()()()()22(),n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++αx αP ABCD -PBC V ABCD PBC ⊥,,ABCD O E ,BC PA F PB 23PF PB =,,,O D E F 22BC AB ==F EF PCD PFBF()2222:10x y E a b a b+=>>，其中恰有三点在椭圆上.（1）求的方程；（2）设是的左､右顶点，直线交于两点，直线的斜率分别为.若，证明：直线过定点.19.悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之其倒置时也是一种稳定状态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为，相应的反链函数表达式为.（1）证明：曲线是轴对称图形，（2）若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，证明：；（3）已知函数，其中.若对任意的恒成立，求的最大值.()()31241,1,0,1,,P P P P ⎛⎛- ⎝⎝E E A B ､E l E C D ､AC BD ､12k k ､127k k =l ()e e 2x x D x -+=()e e 2x xR x --=()()()()2222R x y D x R x Dx ⎡⎤=--⎣⎦y t =()y D x =()y R x =123,,x x x (123ln 1x x x ++>()()()2f x D x aR x b =--,a b ∈R ()4f x ≤))ln1,ln1x ⎡⎤∈⎣⎦a b +南宁二中2024年11月高三月考数学参考答案1.【答案】A 【详解】因为，所以，所以.故选：A.2.【答案】D 【详解】故选：D.3.【答案】C 【详解】因为双曲线为，所以它的渐近线方程为，因为有一条渐近线方程为，所以.故选：C.4.【答案】C 【详解】由题，，取，则，故A 错误；，故错误；，故D 错误；因为，所以，即，故C 正确.故选：C.5.【答案】C 【详解】四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式.由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望，所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星，有种情况，所以所求概率为故选：C.6.【答案】B 【详解】由，解得，故.故选：B.{},1U B xx ==>R ∣{}U 1B x x =≤∣ð(){}U {03}1{3}A B x x x x x x ⋃=≤<⋃≤=<∣∣∣ð()i 1i i 1i 22i z z -=--+=-==()22210y x b b-=>y bx =±y =b =0,0a c ><1,0,1a b c ===-22ab cb =2522a c c a +=-B 0ab bc +=()()()220a b a b a b c a b -=+-=-->22a b >a b >4381=212432C C A 36=364819P ==πtan 12tan 41tan 3θθθ+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭tan 5θ=-()()()()22sin cos sin sin sin cos cos sin sin cos2sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ-+-===-+---()2222sin cos sin tan tan 10cos sin tan 113θθθθθθθθ-+--===-++7.【答案】C 【详解】由，令，，要使的零点在区间内，即在内，与有交点，画出与图像，如图：当时，，此时；当时，，此时故.8.【答案】D 【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，又，得，令，得，所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，所以，解得，综上所述，，故选：D9.【答案】BCD 【详解】对于A ､B ，把10个人的年龄由小到大排列为，这组数据的中位数为32，众数为32，故A 错误，B 正确；对于C ，由，得这组数据的第25百分位数是第3个数，为29，故正确；对于，这组数据的平均数，故D 正确.故选：BCD.10.【答案】AC 【详解】因为，所以平面，平面，所以平面平面，A 项正确；设的中点为，连接，则.平面平面，平面平面平面.()0f x kx kx ==⇒=()[]0,2g x y x ==∈()[],0,2h x kx x =∈(),(02)f x kx x =-<≤31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()g x ()h x ()g x ()h x 1x =()11g =1k =32x =32g ⎛⎫== ⎪⎝⎭k ==k ⎫∈⎪⎪⎭()()2sin 0f x x ωω=>ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2π4π323T T ≤⇒≥2π0T ωω⎧=⎪⎨⎪>⎩302ω<≤()2sin 2f x x ω==()π2π2k x k ωω=+∈Z ()f x ()0,∞+2y =π2ωπ2π2ωω+πππ2π222ωωω≤<+15ω≤<312ω≤≤28,29,29,32,32,32,36,40,40,4525%10 2.5⨯=C D 28229332362404534.310x +⨯+⨯++⨯+==,,BC CD BC DE CD DE D ⊥⊥⋂=BC ⊥CDE BC ⊂ ABCD ABCD ⊥CDE CD F EF AF ､EF CD ⊥ ABCD ⊥CDE ABCD ⋂,CDE CD EF =⊂CDE平面，设平面所成的角为，则，，故B 项错误；连接，易知平面，由确定的面即为平面，当直线和异面时，若点为底面的中心，则，又平面，则与共面，矛盾，C 项正确；连接平面平面，分别为的中点，则，又，则，D 项错误.故选：AC.11.【答案】ABD 【详解】对于A ，由为奇函数，得，即，因此函数的图象关于点对称，A 正确；由，得，则，又，于是，令，得，即，则，因此函数是周期函数，周期为4，对于B ，由，得，B 正确；对于C ，显然函数是周期为4的周期函数，，，则C 错误；对于D ，，则，D 正确.故选：EF ∴⊥ABCD EA ABCD θEAF θ∠=AF EF AE ======sin EF EA θ==BD BM ⊂BDE B M E ､､BDE BM EN N ABCD N BD ∈E ∈BDE EN BM ,FN FN ⊂ ,ABCD EF ⊥,ABCD EF FN ∴⊥F N ､CD BD ､112FN BC ==EF =2,EN BM ====BM EN ≠()2f x +()()22f x f x -+=-+()()220f x f x -++=()f x ()2,0()()2g x f x '=-'()()2g x f x a =-+()()42g x f x a -=-+()()42f x g x --=()()22f x f x a =-++1x =2a =-()()2f x f x =-()()()()()2,42f x f x f x f x f x +=-+=-+=()f x ()()22g x f x =--()()()()3512324g g f f +=-+-=-()g x ()()()()13354g g g g +=+=-()()()()2402224g g f f +=-+-=-2024411()506()506(8)4048,k k g k g k ====⨯-=-∑∑()()()()130,240f f f f +=+=2024411()506()0k k f k f k ====∑∑ABD12.【答案】3 【详解】因为三角形是正三角形，为中点，所以，所以，又正三角形的边长为2，所以，所以.13.【答案】【详解】要使棱锥体积最大，需保证到面的距离最大，故，此时，又都在面上，故面，且设外接圆半径为，则由余弦定理，所以，即，故其表面积为故答案为：14.【详解】连接，因为分别为正，正的中心，所以，又，所以，又因为，所以，由勾股定理得，即，由余弦定理，即，解得，ABCO BC AO BC ⊥AO OP ⊥ABC AO ==()223AP AO AO OP AO AO OP AO ⋅=+⋅=+⋅==40π3P ABC d max sin60d PB =⋅ PB AB ⊥,,,AB BC PB BC B PB BC ⊥⋂=PBC AB ⊥PBC 60PBC ∠=PBC V r 2222212cos603223272PC PB BC PB BC =+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅= PC=2sin60PC r ==r =22211023R r AB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2404ππ3R =40π313,CO CO 12,O O ACD V ABE V 1331,,30,30CO AC CO BC O CB O CA ∠∠==== 30ACB ∠= 1390O CO ∠= 123213O O O S O ==V 132O O =2221313CO CO O O +=22224,12AC BC AC BC ⎫⎫+=+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭2222cos30AB AC BC AC BC =+-⋅ 412BC =-⋅AC BC ⋅=所以..15.【详解】（1）证明：设等差数列的公差为，因为，所以，联立解得：，所以.所以，所以.所以数列是等比数列，首项为2，公比为2.（2）所以数列的前项和.两式相减得.16.【答案】解：（1）根据题意，可得的列联表：队伍是否取得第一名的情况张三是否上场取得第一名未取得第一名合计1sin302ABC S AC BC =⋅=V {}n a d 5108,23a a ==1148,923a d a d +=+=14,3a d =-=()43137n a n n =-+-=-73220n a n nb +==≠11222n n n n b b ++=={}n b 2nn nb n =⋅{}n nb n 23222322nn S n =+⨯+⨯+⋯⋯+⋅()2322222122n n n S n n +=+⨯+⋯⋯+-⋅+⋅212222nn n S n +-=++⋯⋯+-⋅()12212.21n n n +-=-⋅-()1122n n S n +=-⋅+22⨯上场301040未上场61420合计362460零假设：队伍是否取得第一名与张三是否上场无关；，依据小概率值的独立性检验，可以认为队伍是否取得第一名与张三是否上场有关；故张三是这支队伍的明星队员.（2）由张三上场时，作为一棒､二棒､四棒选手参赛的概率分别为，相应队伍取得第一名的概率分别为.设事件：张三作为一棒参赛，事件：张三作为二棒参赛，事件C ：张三作为四棒参赛，事件D ：张三上场且队伍获得第一名；则；（i ）由全概率公式：，即；与联立解得：.（ii ）由条件概率公式：.17【详解】（1）证明：【法1】延长，于延长线交于点，因底面是矩形，且是的中点，故，则是中点，.连，连交于点，0H ()()()()2220.1()60(3014106)4511.25 2.706362440204n ad bc x a b c d a c b d χ-⨯-⨯====>=++++⨯⨯⨯0.1α=0.5,,x y 0.7,0.8,0.3A B ()()()()()()0.5,,,0.7,0.8,0.3P A P B x P C y P DA P DB P DC ======∣∣∣()()()()()()()0.50.70.80.30.7PD P A P D A P B P D B P C P D C x y =++=⨯++=∣∣∣83 3.5x y +=0.510.5x y x y ++=⇒+=0.4,0.1x y ==()()()P DC P C D P D =∣()()()0.10.330.770P C P D C P D ⨯===∣DO AB T ABCD O BC 12OB AD ∥B AT EB ET PB F '因是中点，故，由得，，又因，故点即点，所以四点共面.【法2】因底面是矩形，故，过作直线与平行，则与也平行，故直线与共面，直线也与共面，延长与交于点，连接与直线交于点.则，因是中点，由得，于是，因是的中点，则且，由得，又因，故点即点，所以四点共面.【法3】，系数和为1，根据平面向量共线定理可知四点共面E PA 12EB PT ∥EBF TPF ''V V ∽2PF F B '='23PF PB = F 'F ,,,O D E F ABCD AD ∥BC P l AD l BC l AD l BC DE l G OG PB F ',PGE ADE PGF BOF ''V V V V ≌∽E PA PGE ADE V V ≌PG AD ∥PG BC ∥O BC PG ∥OB 2PG OB =PGF BOF ''V V ∽2PF BF '='23PF PB = F 'F ,,,O D E F ()()222121221333333333PF PB PO OB PO DA PO PA PD PO PE PD ==+=+=+-=+- ,,,O D E F（2）因为是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.取中点，连接，易知两两相互垂直，如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则即，令，则，所以..设，则设与平面所成角为，则，解得此时或，此时18.（1）由椭圆对称性，必过，又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点，,PB PC O =BC PO BC ⊥PBC ⊥ABCD PBC ⋂ABCD BC =PO ⊂PBC PO ⊥ABCD AD Q OQ ,,OQ OC OP ,,OQ OC OP ,,x y z ()()()()(1,1,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,A B C D P --()()(0,2,0,1,0,0,0,AD CD CP ===- PCD (),,a x y z = 0,0,a CD a CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩1z =y =()a = (01)PF k k PB=<<((11110,1,1,1,,2222EF PF PE k PB PA k k ⎛⎫=-=-=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭ EF PCD θsin cos ,EF a EF a EF a θ⋅====⋅ 13k =12PF BF =23k =2PF BF=34,P P 4P 1P 234,,P P P代入椭圆方程得，解得椭圆的方程为：（2）说明：其他等价形式对应给分.依题意，点（i ）若直线的斜率为0，则必有，不合题意（ii ）设直线方程为与椭圆联立，整理得：，因为点是椭圆上一点，即，设直线的斜率为，所以，所以，即，因为，所以，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩224,1a b ==⋯E 221;4x y +=()()2,0,2,0,A B -l 12k k =-l ()2,x ty n n =+≠±E 2244x y x ty n⎧+=⎨=+⎩()2224240t y nty n +++-=()()122222221222,4Δ44440,4.4tn y y t t n t n n y y t ⎧+=-⎪⎪+=-+->⎨-⎪=⎪+⎩()11,C x y 221114x y +=BC 3k 2121111322111111422444x y y y k k x x x x -⋅=⋅===+---123174k k k =-=23281k k ⋅=-()()()()()()1212122322121212122828282822222(2)y y y y y y k k x x ty n ty n t y y t n y y n ⋅===--+-+-+-++-()()()()()()()2222222222228428244222422(2)44n n t t n t n t n n t t n n n t t -++==-+-+-+--+-++()()2827141422n n n n ++===---32n =-故直线恒过定点；19.【详解】（1），令，则所以为偶函数，故曲线是轴对称图形，且关于轴对称（2）令，得，当时，在单调递减，在单调递增，所以，且当时，，当时，又恒成立，所以在上单调递增，且当时，，当时，且对任意，所以的大致图象如图所示，不妨设，由为偶函数可得，与图象有三个交点，显然，令整理得，解得或所以，即，又因为，所以.l3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()()22222e e 1e e x x x xR x y D x R x D x --⎛⎫-⎡⎤=--=- ⎪⎣⎦+⎝⎭()2e e 1e e x x x x g x --⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭()()22e e e e 1l ,e e e e x x x x x x x x g x g x ----⎛⎫⎛⎫---=-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()g x ()()()()2222R x y D x R x D x ⎡⎤=--⎣⎦y ()e e 02x xD x --=='0x =0x >()()()0;0,0,D x x D x D x <'><'(),0∞-()0,∞+()()01D x D ≥=x ∞→-()D x ∞→+x ∞→+()D x ∞→+()e e 02x xR x -+=>'()R x R x ∞→-()R x ∞→-x ∞→+(),R x ∞→+⋅()(),x D x R x ∈>R 123x x x <<()D x 120x x +=y t =1t >()e e 1,2x x R x t --==>2e 2e 10x x -->e 1x >e 1x <(ln 1x >(3ln 1x >120x x +=(123ln 1x x x ++>+（3）设，则，所以因为单调递增，所以时，，即由即，该不等式组成立的一个必要条件为：和时同时满足，即，所以，当时等号成立；下面分析充分性：若时，显然对恒成立，从而，满足题意综上所述：的最大值为()e e 2x x R x m --==()222e e 2212x xD x m -+==+()()()2221,f x D x aR x b m am b =--=+--()e e 2x xR x --=))ln 1,ln 1x ⎡⎤∈-+⎣⎦()[]1,1R x ∈-[]1,1,m ∈-()244214f x m am b ≤⇔-≤+--≤22250230m am b m am b ⎧--+≥⎨---≤⎩1m =-1m =7117a b b a -≤--≤⎧⎨-≤-≤⎩7a b +≤4,3a b ==4,3a b ==2222222502435021023024330230m am b m m m m m am b m m m m ⎧⎧⎧--+≥--+≥-+≥⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨---≤---≤--≤⎪⎩⎪⎩⎩[]1,1m ∀∈-()4f x ≤a b +7.。
安徽省六安市六安第一中学2024-2025学年高三上学期第四次月考(11月)数学试题(含答案)
六安一中2025届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题不正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则2.如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，则（ ）A. B.C. D.3.某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（ ）A.8B.12C.16D.64.已知数列的首项，则（ ）A.48B.80C.63D.655.已知等差数列满足，前项和为，若，则与最接近的整数是（ ）A.5B.4C.2D.16.已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（）,αβ,m n m ∥,n m α⊥n α⊥,m m αβ⊥⊥α∥β,m m αβ⊥⊂αβ⊥m ∥,n ααβ⋂=m ∥nP ABCD -ABCD E PD ,,PA a PB b PC c === BE =111222a b c -+ 111222a b c -- 131222a b c -+ 113222a b c -+ {}n a 110,1n n a a a +==++8a ={}n a 131,3a a ==n n S 12111n nT S S S =+⋯+9T {}n a *712,8,2,8n n a n n a n a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N *n ∈N 1n n a a +>aA. B. C. D.7.在棱长为2的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（）A.不存在点使得异面直线与所成角为B.存在点使得异面直线与所成角为C.存在点使得二面角的平面角为D.当时，平面截正方体所得的截面面积为8.已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为，在该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则的最大值为（）A.1B.2C.D.4二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法∙商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ）A. B.C. D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭113,220⎛⎫ ⎪⎝⎭13,120⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -M 11A C M BM AC 90 M BM AC 30 M M BD C --451114A M AC =BDM 92a a ⋯n n a n n S 34S a =132n n n a a ++-=11n n a a n +-=+1055a =10.在边长为6的菱形中，，现将沿折起到的位置，使得二面角是锐角，则三棱锥的外接球的表面积可以是（ ）A.B.C.D.11.对于棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），下列说法正确的是（ ）A.底面半径为高为的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体B.C.该正方体内能同时整体放入两个底面半径为高为的圆锥D.的圆锥三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组数据的平均数是1，则这组数据的中位数为__________.13.已知四棱锥平面，底面是为直角，的直角梯形，如图所示，且为的中点，则到直线的距离为__________.14.若在长方体中，.则四面体与四面体公共部分的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设三角形的内角的对边分别为且.（1）求角的大小；（2）若，求三角形的周长.16.（本小题满分15分）已知无穷等比数列的前项和为（1）求的值；ABCD π3A ∠=ABD V BD PBD V P BD C --P BCD -58π45π48π55πm 1m,1m 0.5m,0.8m 31,2,0,1,,1x -,A EBCD AE -⊥BCDE EBCD E ∠EB ∥DC 224,CD EB AE DE ====F AD F BC 1111ABCD A B C D -13,2,4AB BC AA ===11ABB C 11AC BD ABC A B C ､､a b c ､､()2sin 2AB C +=A 3,b BC =ABC {}n a n 3nn S b=+1,b a（2）设，求数列的前项和.17.（本小题满分15分）如图所示，在三棱柱中，平面，点是的中点（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）如图1，在等腰梯形中，，点在以为直径的半圆上，且，将半圆沿翻折如图2.（1）求证：平面；（2）当多面体的体积为32时，求平面与平面夹角的余弦值.19.（本小题满分17分）若存在非零常数，使得数列满足，则称数列为“数列”.（1）判断数列：是否为“数列”，并说明理由；（2）若数列是首项为1的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；（3）若数列是“数列”，为数列的前项和，，证明：221,1,2,3,n n c a n n =+-= {}n c n n T 111ABC A B C -112,AC BC AB AB ===⊥ABC 1,AC AC D ⊥AC 11AC B C ⊥1A D 11BB C C ABCD AD ∥,8,4,60BC AD BC DAB ∠===,E F AD »»»AE EFFD ==AD EF ∥ABCD ABE DCF -ABE CDF t {}n a ()11231,n n a a a a a t n n +-=≥∈N {}n a ()H t 1,3,5,11,152()2H {}n a ()H t {}n b {}n a {}n b 212321log ni n n i aa a a ab ==+∑ t {}n b {}n a ()H t n S {}n a n 11,0a t >>1e n S nn n t S S -+>--六安一中2025届高三年级第四次月考数学试卷参考答案1.D2.C3.A4.C5.C6.C7.D8.D9.ACD 10.AD 11.BD 12.【答案】114.15.（1）因为为的内角，所以，因为，所以可化为：，即，即解得：，即.（另解：由；得.）（2）由三角形面积公式得代入得：，所以，故为正三角形，，周长等于16.（1）当时，，因为是等比数列，所以，又因为，所以（2）由（1）知，43,,A B C ABC V ()sin sin B C A +=21cos sin22A A -=()2sin 2A B C +=)sin 1cos A A =-sin A A =πππ4πsin ,3333A A ⎛⎫⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2π33A +=π3A =2sin 2sincos 222A A A A =⋅=πtan 226A A ==11sin ,322b c A b ⋅==1π13sin 232c ⨯⋅=a c =ABC V 3a b c ===9.2n ≥1123n n n n a S S --=-=⨯{}n a 12a =113a S b ==+1b =-123n n a -=⨯因为，且，所以是以6为首项，9为公比的等比数列，.17.解析：（1）由题意，平面平面，所以，又，且平面，所以平面，因为平面，所以.（2）法一（坐标法）：由（1）知，又，所以，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，，设平面的法向量为，则，所以，从而故直线与平面法二（几何法）：取中点，则，26a =2229n na a +={}2n a ()()2421321n n T a a a n ⎡⎤=+++++++-⎣⎦()291236919124n n n n n -⋅=⨯+=-+-1AB ⊥,ABC AC ⊂ABC 1AC AB ⊥1AC AC ⊥11AB AC ⊂､1111,AB C AB AC A ⋂=AC ⊥11AB C 11B C ⊂11AB C 11AC B C ⊥11AC B C ⊥BC ∥11B C AC BC ⊥C ()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0C B B A ()0,1,0D ()()()12,0,0,2,2,2,0,1,0CB BB DA ==-=()()()1110,1,02,2,22,3,2DA DA AA DA BB =+=+=+-=-11BC C C (),,n x y z =1202220n CB x n BB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ()0,1,1n =- 111cos ,DA n DA n DA n⋅===⋅1A D 11BB C C 11C A M CM ∥1A D记与面所成角为，则由知解得，又，所以18.（1）连由等边三角形可知分布在同一个圆周上，且，则六边形为正六边形，面面（2）在图1中连交于，则，连交于，则，故在图2中面面记面与面所成角为，则故，即面面法一（几何法）：延长交于延长交于则为面与面交线且取中点，连接，则即为面与面所成角在中，，故，故面与面所成角的余弦值为法二（坐标法）：以为坐标原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，CM 11BB C C θ1111112sin A CC B BM CC B Bd d CMCMθ--==111111A B C C C A B C V V --=11111111133B C C A A B C S d S AB ⋅=⋅1A d =CM ===sin θ=OB OC ､A B C D F E ､､､､､AE EF FD DC CB BA =====ABCDFE EF ∴∥AD ∥,BC EF ⊄ABCD,BC ⊂ABCD EF ∴∥ABCDEB AD 1O AD EB ⊥FC AD 2O AD FC ⊥AD ⊥1,EO B AD ⊥2FO CABE CDF θ1212,6sin EO B FO C EO B FO C S S ∠∠θθ====V 1221ABE DCF EO B FO C D FO CA EOB V V V V ----=++锥112121132sin 3233EO B EO B FO C S AO S EF S DO θ=⨯+⨯+⨯==V πsin 1,2θθ==AEFD ⊥ABCDAB DC ､,Q F AE D ､,P PQ ABE CDF 8,8AP AQ PD QD ====PQ M AM DM ､AMD ∠ABE CDF AMD V 8AM DM AD ===1cos 5AMD ∠==ABE CDF 151O 111,,O B O D O E ,,x y z ()()(()()(0,2,0,,0,0,,4,0,0,6,0,0,4,A B E C D F -，有令得同理可得面法向量，设面与面所成角为，故19.【详解】（1）根据”数列“的定义，则，故，因为成立，成立，不成立，所以不是”数列“.（2）由是首项为2的”数列“，则，由是等比数列，设公比为，由，则.两式作差可得，即，由是”数列“，则，对于恒成立，所以，即对于恒成立，则，即，因为解得，，又由，则，即，故所求的，数列的通项公式.（3）设函数，则，令，解得，当时，，则在区间单调递减，且，又由是”数列"，即，对于恒成立，()(2,0,0,2,AB AE ==2020AB n y AE n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1,x=()1,n =CDF ()m =ABE CDF α1cos 5m n m n α⋅==⋅ ()H t 2t =11232n n a a a a a +-= 212a a -=3212a a a -=43211113542a a a a -=-⨯⨯=-≠1,3,5,11,152()2H {}n a ()H t 231,21a t a t =+=+{}n b q 212321log nn n i iaa a a ab ==+∑ 121231211log n i n n n i a a a a a a b +++==+∑ ()2112312121log log n n n n n a a a a a a b b +++=-+- ()21123121log n n n a a a a a a q ++=-+ {}n a ()H t 1123n n a a a a a t +-= 1,n n ≥∈N ()()211121log n n n a a t a q +++=--+()12121log log n n n t a t b b +++=+-1,n n ≥∈N ()()22321log 1log t a t q t a t q ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩()()222(1)log 121log t t qt t t q ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩0t ≠1,2t q =-=2111211,log a a a b ==+11b =12n n b -=1t =-{}n b 12n n b -=()ln 1f x x x =-+()11f x x'=-()0f x '=1x =1x >()0f x '<()ln 1f x x x =-+()1,∞+()1ln1110f =-+={}n a ()H t 1123n n a a a a a t +-= 1,n n ≥∈N因为，则，再结合，反复利用，可得对于任意的，则，即，则，即，相加可得，则，又因为在上单调递增，所以，又，所以，即，故.11,0a t >>211a a t =+>121,0,1a t a >>>1123n n a a a a a t +=+ 1,,1n n n a ≥∈>N ()()10n f a f <=ln 10n n a a -+<ln 1n n a a <-1122ln 1,ln 1,,ln 1n n a a a a a a <-<-⋯<-1212ln ln ln n n a a a a a a n +++<+++- ()12ln n n a a a S n <- ln y x =()0,x ∞∈+12en S nn a a a -< 1123n n a a a a a t +-= 1e n S nn a t -+-<1en S nn n S S t -+--<1en S nn n t S S -+>--。
安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期教学质量检测(11月月考)数学试题(含答案)
安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期教学质量检测（11月月考）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|y=log3(x2−1)}，集合B={y|y=3−x}，则A∩B=( )A. (0,1)B. (1,2)C. (1,+∞)D. (2,+∞)2.若sinθ(sinθ+cosθ)=25，则tanθ=( )A. 2或−13B. −2或13C. 2D. −23.已知函数f(x)=a−e x1+ae x⋅cos x，则“a=1”是“函数f(x)的是奇函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)={ax2+e x,x≥0x3−ax2+a,x<0在R上单调，则a的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,1]C. [0,1)D. [0,1]5.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知▵ABC的外接圆半径为1，且a2+c2−b2=2ac,1+2sin A 1−2cos A =sin2C1+cos2C，则▵ABC的面积是( )A. 22B. 32C. 1D. 26.已知一个正整数N=a×1010(1≤a<10)，且N的15次方根仍是一个整数，则这个数15次方根为().(参考数据：lg2≈0.3,lg3≈0.48,lg5≈0.7)A. 3B. 4C. 5D. 67.已知函数f(x)=x ln x，g(x)=e x−x2+a，若∃x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是( )A. (4−e2,ln4+1−e)B. [4−e2,ln4+1−e]C. (ln4+4−e2,1−e)D. [ln4+4−e2,1−e]8.已知正数x，y满足9x2−1+9y2−1=9xy，则4x2+y2的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。
湖北省荆州市沙市2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题含答案
2024—2025学年度上学期2022级11月月考数学试卷（答案在最后）命题人：考试时间：2024年11月26日考试时间120分钟试卷满分150一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2,3,4A =，(){}2|log 12B x x =-≤，则A B 的元素个数为A ．1B ．2C ．3D ．42.已知复数z 在复平面内对应的点为（2，-1），则4iz z =-（）A.1i+ B.3i+ C.1i- D.3i-3．等比数列{}n a 的各项均为正数，若1237a a a ++=，4322a a a =+，则789a a a ++=A ．588B ．448C ．896D ．2244.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知774721S a =-，则3a =（）A.-2B.-1C.1D.25．已知a ∈R ，函数()()e ,0,ln 1,0x a x f x x a x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩在R 上没有零点，则实数a 的取值范围A ．()0,+∞B ．()1,+∞C ．[){}1,0+ ∞D ．(){}1,0+ ∞6．已知θ为第一象限角，且tan tan 03⎛⎫++= ⎪⎝⎭πθθ，则1cos21cos2+=-θθA ．9B ．3C ．13D ．197.已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（）A. B.(2π+ C.(1π+ D.(3π8.若函数()()()sin cos 10f x x ωω=->在区间()0,2π恰有2个零点，则ω的取值范围是（）A.π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.π5π,22⎛⎫⎪⎝⎭ D.π,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()cos sin f x x x =⋅，则A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的最大值为12D ．()f x 在0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增10．记等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且63*,a a ∈N ，若5106T =，则36a a +的可能取值为（）A.-7B.5C.6D.711．如图，圆锥SO 的底面直径和母线长均为，其轴截面为SAB △，C 为底面半圆弧AB 上一点，且2AC CB =，SM SC = λ，(01,01)SN SB =<<<<μλμ，则A ．存在()0,1∈λ，使得BC AM ⊥B ．当23=μ时，存在()0,1∈λ，使得//AM 平面ONCC ．当13=λ，23=μ时，四面体SAMN D ．当AN SC ⊥时，57=μ三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知点(),4A a 在抛物线24y x =上，F 为抛物线的焦点，直线AF 与准线相交于点B ，则线段FB 的长度为______.13．已知数列{}n a 是单调递增数列，其前n 项和为2n S An Bn =+（A ，B 为常数），写出一个有序数对(),A B =________，使得数列是等差数列．14．定义在R 上的函数()g x 满足()212y g x =+-是奇函数，则()g x 的对称中心为________；若()*123211111n n a g g g g n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，则数列{}n a 的通项公式为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(13分）已知函数()ln f x ax x x =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当1x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；16.（15分）如图，在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin A B B Cc a b++=-.（1）求A ；（2）若3,0BC BD AB AD =⋅=，2AD = ，将ABC V 沿AD 折成直二面角B AD C '--，求直线AB '与平面B CD '所成角的正弦值.17．（15分）已知*n ∈N ，数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足21n n S a =-；数列{}n b 满足12b =，112n nb b +=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列1n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭λ是等差数列？如果存在，求出实数λ的值；如果不存在，请说明理由；（3）求使得不等式2n n nb a ≥成立的n 的最大值．18.（17分）已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b点()0,1A 在C 上，直线l 与C 交于不同于A 的两点M ，N ．（1）求C 的方程；（2）若0AM AN ⋅=，求AMN 面积的最大值；（3）记直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，若12116k k =-，证明：以MN 为直径的圆过定点，并求出定点坐标．19.（本题满分17分）一般地，任何一个复数i a b +（a ，b ∈R ）可以写成()cos isin r θθ+，其中r 是复数的模，θ是以x 轴非负半轴为始边，射线OZ 为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在02θπ≤<范围内的辅角称为辅角主值，通常记作arg z ，如arg10=，arg i 2π=，()arg 13π=.发现()()()()12111222121212cos sin cos sin cos isin z z r r r r θθθθθθθθ⋅=+⋅+=+++⎡⎤⎣⎦，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n 为正整数，重复n 次上述操作，可得到n 个复数，将它们的乘积记为n z .（1）写出一次操作后所有可能的复数；（2）当2n =，记n z 的取值为X ，求X 的分布列；（3）求2n z 为实数的概率n Q .11月月考数学参考答案1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B4。
重庆市学校2025届高三上学期11月月考数学试题含答案
重庆2024—2025学年度（上）高2025届11月半月考数学试题（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选题项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，(){}211B x x =+≤，则A B = （）A.{}2,1-- B.{}2,1,0-- C.[]2,0- D.[]22-,【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B ，再根据集合交集运算即可得答案【详解】由()211x +≤，可得20x -≤≤，所以{}20B x x =-≤≤，所以A B = {}{}{}2,1,0,1,2202,1,0x x --⋂-≤≤=--.故选：B2.“22ac bc >”，是“a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】若22ac bc >，则20,0c c ≠>，因此a b >，当a b >，0c =时，220ac bc ==，所以“22ac bc >”，是“a b >”的充分不必要条件.故选：A3.若2b a = ，=- c a b ，且c a ⊥，则a 与b 的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】B【分析】根据向量垂直列方程，结合向量数量积的运算以及向量夹角的知识求得正确答案.【详解】因为c a ⊥，所以()22cos ,0a c a a b a a b a a b a b ⋅=⋅-=-⋅=-⋅⋅= ，由于2b a = ，所以212cos ,0,cos ,2a a a a b a b -⋅⋅== ，由于0,πa b ≤≤ ，所以π,3a b = .故选：B4.已知ππ(0,),(0,)22αβ∈∈，则下列不等关系中不恒成立的是（）A.()sin sin sin αβαβ+<+B.()sin cos cos αβαβ+<+C.()cos sin sin αβαβ+<+D.()cos cos cos αβαβ+<+【答案】C 【解析】【分析】由两角和的正弦、余弦公式展开后结合不等式的性质可判断ABD ，举反例判断C ．【详解】,αβ都是锐角，则sin (0,1),cos (0,1),sin (0,1),cos (0,1)ααββ∈∈∈∈，sin()sin cos cos sin sin sin αβαβαβαβ+=+<+，A 正确；sin()sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβ+=+<+，B 正确；15αβ==︒时，cos()cos302αβ+=︒=，62sin154︒===，sin sin sin15sin152αβ+=︒+︒=，22>，C 错误；()cos cos cos sin sin cos cos cos cos cos αβαβαβαβααβ+=-<<<+，D 正确．故选：C ．5.已知23a =，ln 3b =，4πc =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c>> C.a c b>> D.c b a>>【答案】A【分析】本题根据指数函数、对数函数的性质借助中间值1比较可得.【详解】因为23a =，所以ln 2ln 3a =，即ln 3ln 2a =，又ln1ln 2ln e ＜＜，即ln 210＜＜，又ln 3ln e=1＞，所以ln 3ln 3ln 2a =＞，所以1a b ＞＞；因为4πc =，所以22πc =，所以22log πc =，所以2221log πlog log 12c ===所以a b c ＞＞.故选：A.6.已知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则1cos21cos2θθ-=+（）A.9B.3C.13D.19【答案】B 【解析】【分析】根据两角和的正切公式结合已知条件可求出tan θ=.【详解】由题意知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故πtan tan3tan 0π1tan tan 3θθθ++=-，解得tan θ或3tan 3θ=-（舍去），则2221cos22sin tan 31cos22cos θθθθθ-===+，故选：B7.已知函数()(),R f x f x x =-∈，()5.51f =，函数()()()1g x x f x =-⋅，若()1g x +为偶函数，则()0.5g -的值为（）A.3 B.2.5C.2D.1.5【答案】D 【解析】【分析】由()1g x +为偶函数，推得()()2g x g x =-，再由()()()1g x x f x =-⋅，求得()f x 关于(1,0)对称，结合()()f x f x =-，推得(4)()f x f x -=，得到()f x 是周期为4的周期函数，根据(5.5)1f =，得到(2.5)1f =，进而求得(0.5)g -的值，得到答案.【详解】因为函数()1g x +为偶函数，可()g x 的图象关于1x =对称，所以()()2g x g x =-，由()()()1g x x f x =-⋅，可得()()()()112x f x x f x -⋅=-⋅-，即()()20f x f x +-=，所以函数()f x 关于(1,0)对称，又因为()()f x f x =-，所以()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()2(2)f x f x f x =--=--，所以()4[(2)2](2)[()]()f x f x f x f x f x -=--=--=-=，即(4)()f x f x -=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数，所以(5.5)(1.54)(1.5)( 2.5)(2.5)1f f f f f =+==-==，则(0.5)(2.5)(2.51)(2.5) 1.5g g f -==-=.故选：D.8.武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（）种A.114B.120C.126D.132【答案】A 【解析】【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可.【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，所以必有一人值班3天，另两人各值班2天.第一类：值班3天在(1,3,5)、(1,3,6)、(1,4,6)、(2,4,7)、(2,5,7)、(3,5,7)时，共有1113226C C C 72⨯=种不同的值班方法；第二类：值班3天在(1,3,7)、(1,5,7)时，共有11322C C 12⨯=种不同的值班方法；第三类：值班3天在(1,4,7)时，共有111322C C C 12=种不同的值班方法；第四类：值班3天在(2,4,6)时，共有1234C C 18=种不同的值班方法；综上可知三位老师在国庆节7天假期共有72121218114+++=种不同的值班方法.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（）A.数据1-，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1B.已知随机变量(),X B n p ，若()40E X =，()30D X =，则160n =C.若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线132y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为12-D.若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且()()1P N M P N +=，则M 与N 相互独立【答案】ABD 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算判断A ，由二项分布的数学期望与方差公式计算可判断B ，根据相关系数的定义可判断C,根据相互独立事件及条件概率的概率公式计算可判断D.【详解】对于选项A ，8个数据从小到大排列，由于825%2⨯=，所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数0+2=12，故A 正确；对于选项B ，因为(),X B n p ，()40E X =，()30D X =，所以40(1)30np np p =⎧⎨-=⎩，解得1,1604p n ==，故B 正确；对于选项C ，因为样本点都在直线132y x =-+上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为1-，故C 错误.对于选项D ，由()()1P N M P N +=，可得()()1P N M P N =-，即()()()N P NM P P M =，即()()()N P NM P P M =，所以M 与N 相互独立，故D 正确；故选：ABD.10.已知函数()22sin cos 0)222x x x f x ωωωω=-+>在[)0,π上有且仅有4个零点，则（）A.1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦B.令()π6g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，存在ω，使得()g x '为偶函数C.函数()f x 在()0,π上可能有3个或4个极值点D.函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】ABD 【解析】【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据()f x 在[)0,π上有且仅有4个零点，可确定πππ,π333x ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，进而解得111433ω<≤，再根据其范围结合函数图象和平移知识等逐一判断即可.【详解】()2π2sincos sin 2sin (0)2223x x x f x x x x ωωωωωωω⎛⎫=-=+=+> ⎪⎝⎭对于A ，[)0,πx ∈，πππ,π333x ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，因为()f x 在[)0,π上有且仅有4个零点，所以π4ππ5π3ω<+≤，解得111433ω<≤，∴1114,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故A 正确；对于B ，()π6g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππππ2sin 2sin 6363x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()ππ2cos 63g x x ωωω'⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，则πππ,63k k ω+=∈Z ，即62,k k ω=-∈Z ，∵0,ω>∴取4ω=，()8cos 4g x x '=-为偶函数,满足题意，故B 正确；对于C ，∈0,π，πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，∵1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，(]ππ4π,5π3ω+∈，∴函数()f x 在()0,π上可能有4个或5个极值点，故C 不正确；对于D ，若ππ,3535x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则πππππ,3353353x ωωω⎛⎫+∈-++ ⎪⎝⎭，∵1114,33ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，∴ππ7π8πππ46π7π,,,353353535310515ωω⎡⎫⎛⎤-+∈+∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，∴函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.故D 正确；故选：ABD.11.设函数32()231f x x ax =-+，则（）A.当0a =时，直线1y =是曲线()y f x =的切线B.若()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，则12312x x x ⋅=-⋅C.存在,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D.当02ax ≠时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点【答案】ABD 【解析】【分析】根据曲线的切线、函数的零点、曲线的对称轴，直线和曲线的交点个数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，当0a =时，()321f x x =+，令()260f x x ='=解得0x =，且()01f =，此时()f x 在0x =处的切线方程为10y -=，即1y =，正确.B 选项，()()322()231,666f x x ax f x x ax x x a '=-+=-=-，要使()f x 有三个零点，则0a ≠，若32()231f x x ax =-+有三个不同的零点123,,x x x ，则()()()()1232f x x x x x x x =---()()32123122313123222x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，通过对比系数可得1231231212x x x x x x -=⇒=-，正确.C 选项，若存在,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴，则()()2f x f b x =-，即()()323223122321x ax b x a b x -+=---+，即3232232223162412212123x ax b b x bx x ab ab ax -=-+--+-，即()3222364330x bx b x b ab a b -+--+=，此方程不恒为零，所以不存在符合题意的,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴，错误.D 选项，当02a x ≠时，()322()231,66f x x ax f x x ax =-+=-'，则()322000000()231,66f x x ax f x x ax =-+=-'，所以()f x 在0x x =处的切线方程为()()()322000023166y x ax x ax x x --+=--，()()()232000066231y x ax x x xax =--+-+，由()()()232000003266231231y x ax x x x ax y x ax ⎧=--+-+⎪⎨=-+⎪⎩，消去y 得()()32322000023123166x ax x ax x ax x x -+=-++--①，由于()()()333322000002222x x x x x x x xx x -=-=-++，()()()222200003333ax ax a x x a x x x x -+=--=--+，所以①可化为()()()()()()222000000023660x x x xx x a x x x x x ax x x -++--+---=，提公因式0x x -得()()()()22200000023660x x x xx x a x x x ax ⎡⎤-++-+--=⎣⎦，化简得()()()220000223430x x x x a x x ax ⎡⎤-+---=⎣⎦，进一步因式分解得()()2002430x x x x a -+-=，解得010234,2a x x x x -==，由于02ax ≠，所以020x a -¹，所以()0001203234630222x a a x x a x x x ----=-==≠，所以12x x ≠，所以当02ax ≠时，()f x 在0x x =处的切线与函数=的图象有且仅有两个交点，正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：D 选项的解答涉及到切线与曲线交点的个数，利用联立方程组和因式分解的方法，最终得出交点个数的结论，过程完整而严谨．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.()62112x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为___________.（用数字作答）【答案】50【解析】【分析】根据()66622111122x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ =+⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再分别根据二项式定理求解61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中的常数项与2x -项即可【详解】因为()66622111122x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ =+⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，考虑61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中的常数项与2x -项.由通项公式161C rr n r r T x x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，即6216C r r r T x -+=，故当3r =时，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中的常数项为36C 20=，当4r =时，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中2x -的项系数为46C 15=，故()62112x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为2021550+⨯=故答案为：5013.已知函数()|ln|2||f x x m =+-，m 为正的常数，则()f x 的零点之和为________．【答案】8-【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性，再结合零点的意义即可求解得答案.【详解】函数()f x 的定义域为{R |2}x x ∈≠-，由()0f x =，得|ln|2||x m +=，令函数()|ln|2||g x x =+，(4)|ln|42|||ln |2||()g x x x g x --=--+=+=，则函数()y g x =图象关于直线2x =-对称，在同一坐标系内作出直线(0)y m m =>与函数()y g x =的图象，如图，直线(0)y m m =>与函数()y g x =的图象有4个交点，令其横坐标从左到右依次为1234,,,x x x x ，观察图象得14234x x x x +=+=-，所以()f x 的零点之和为8-.故答案为：8-14.掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为____________；（2）恰好得n 分的概率为____________．（用与n 有关的式子作答）【答案】①.1327②.13425153n -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭【解析】【分析】因为一次得2分，另一次得1分或三次的1分时恰好得3分，进而利用独立重复试验的概率可求（1）；令n P 表示“恰好得n 分”的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次不小于3的情况，则有1213n n P P --=，进而利用构造等比数列可求（2）.【详解】（1）掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3的概率4263=,掷一个质地均匀的骰子，向上的点数小于3的概率2163=.因为一次得2分，另一次得1分或三次得1分时恰好得3分，所以恰好得3分的概率等于2102321112113C +C ==3332727+⎛⎫⋅⨯⋅ ⎪⎝⎭.（2）令n P 表示“恰好得n 分”的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次不小于3的情况，因为“不出现n 分”的概率是1n P -，所以“恰好得到1n -分”的概率是1n P -.因为“掷一次得2分”的概率是23，所以有1213n n P P --=，即1213n n P P -=-+，则构造等比数列{}n P λ+，设()123n n P P λλ-=-++，即13532n n P P λ--=-，则513λ-=，35λ=-，所以1323535n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又113P =，1313453515P -=-=-，所以35n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为415-，公比为23-的等比数列，即13425153n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，13425153n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.故恰好得n 分的概率为13425153n -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.故答案为：（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知ABC ∆的面积为3，且满足0AB AC ≤⋅≤ 设AB 和AC 的夹角为θ，（1）求θ的取值范围；（2）求函数()2π3cos sin 34f θθθθ⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭的值域．【答案】（1）ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据题意由三角形面积公式可得6cos 0sin θθ≤≤，继而可得3tan 3θ≥或π2θ=，结合θ的范围即可求解；（2）利用和差公式、降幂公式、倍角公式及辅助角公式化简可得1π()sin 223f θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由（1）所求的θ的范围可得π23θ-的范围，继而即可求得值域.【小问1详解】由题1sin 32ABC S bc θ∆==，可得6sin bc θ=，又0cos AB AC bc θ≤⋅=≤ ，所以6cos 0sin θθ≤≤得到3tan 3θ≥或π2θ=，因为()0,πθ∈，所以ππ,62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】()2π3cos sin 34f θθθθ⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭21cos (sin cos224θθθθ=⋅+⋅+21sin 2cos 424θθ=-+131cos 23sin 24224θθ+=-⋅+1πsin 223θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为ππ,62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故π2π20,33θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()10,2f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足31nn S n =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()()211n n b n a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）1231n n a -=⨯+（2）23nn ⨯【解析】【分析】（1）应用1n n n a S S -=-求出通项公式；（2）方法一应用错位相减法计算求和；方法二应用待定系数法结合累加即可求解.【小问1详解】当1n =时，113a S ==.当2n ≥时，由31n n S n =+-，得1132n n S n --=+-，则111331231n n n n n n a S S ---=-=-+=⨯+.因为013231a ==⨯+，所以1231n n a -=⨯+.【小问2详解】方法一：由（1）可得()()112123423n n n b n n --=+⨯⨯=+⨯.则()012163103143423n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⨯ ，①则()123363103143423n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯ ，②①-②，得()()21264333423n nn T n --=+⨯+++-+⨯ ()33644234313nn n n n -=+⨯-+⨯=-⨯-，从而23n n T n =⨯.方法二：由（1）可得()22133n n b n =+⋅，令()()213n f n n =+⋅，则()2.3n b f n =令()1n n f n C C +=-，且()3n n C An B =+⋅，则()()()1133213n n n A n B An B n +⎡⎤++⋅-+⋅=+⋅⎣⎦，整理得23221An A B n ++=+，则22,321,A A B =⎧⎨+=⎩解得1,1,A B =⎧⎨=-⎩故()1113,3n n n n C n C n ++=-⋅=⋅.12n nT b b b =+++ ()()()2123f f f n ⎡⎤=+++⎣⎦ ()2132123n n C C C C C C +=-+-++- 11222333n n C C n +=-=⨯.17.已知椭圆()222210,0:x y a b a C b+=>>的离心率为22，其左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 是坐标平面内一点，且2OP = ，1234PF PF ⋅= ，其中O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的垂直平分线在x 轴上截距的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2）212【解析】【分析】(1)设(),P m n ,根据题意列出对应等式,解方程后即可求得a 和b 的值,得到椭圆方程;(2)设出直线l 的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理求出中点坐标公式,当直线的斜率存在时,利用直线的点斜式方程,求得AB 的垂直平分线方程,令y =0,求得x ,再利用基本不等式即可得解.【详解】(1)由题知22212c e a ==,222a c ∴=,设(),P m n ,又()1,0F c -,()2,0F c 22274OP m n ∴=+= ,()()222123,,4PF PF c m n c m n m c n ⋅=---⋅--=-+= ,21c ∴=,从而22a =,21b =,故椭圆C 的方程为2212x y +=;(2)设直线l 的方程为13y kx =-,()11,A x y ,()22,B x y ,联立方程:221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,消去y 得:()2241621039k x kx +--=,显然0∆>,又()1224321k x x k +=+,()12216921x x k =-+,()()()2121222242233321321k y y k x x k k -∴+=+-=-=++,则AB 的中点坐标为()()2221,321321k k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭,当AB 的斜率k 为零时,AB 的垂直平分线为y 轴,横截距为0;当0k ≠时,AB 垂直平分线的方程为:()()22112321321k y x k k k ⎛⎫ ⎪+=-- ⎪++⎝⎭,令0y =,()211133212k x k k k==⋅++当0k <时,()20321k x k =<+,当0k >时,12k k +≥那么11213122x k k=⋅≤+,当且仅当12k k =,即22k =时等号成立,所以当2k =时,弦AB 的垂直平分线在x 轴上的截距有最大值,为12.【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的综合应用,属于中档题.在直线与圆锥曲线的综合题中,常用基本不等式,二次函数或对勾函数的性质等求最值.18.驾驶员考试（机动车驾驶员考试）是由公安局车管所举办的资格考试，只有通过驾驶员考试才能取得驾照，才能合法的驾驶机动车辆．考试内容和合格标准全国统一，根据不同准驾车型规定相应的考试项目．机动车驾驶人考试内容分为道路交通安全法律、法规和相关知识考武科目（以下简称“科目一”）、场地驾驶技能考试科目（以下简称“科目二”）、道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目（以下简称“科目三”）．申请人科目一、科目二、科目三考试均合格后，就可以领取驾驶证．某驾校经统计，驾驶员科目一考试平均通过的概率为1516，科目二：平均通过的概率为45，科目三平均通过的概率为45．该驾校王教练手下有4名学员参加驾驶员考试．（1）记这4名学员参加驾驶员考试，通过考试并领取驾驶证的人数为X ，求X 的分布列和数学期望及方差；（2）根据调查发现，学员在学完固定的学时后，每增加一天学习，没有通过考试拿到驾驶证的概率会降为原来的0.4，请问这4名学员至少要增加多少天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证?（我们把概率超过0.99的事件称为必然事件，认为在一次试验中必然事件一定会发生）0.9975≈，lg 20.3010≈【答案】（1）分布列见解析，()125E X =，()2425D X =（2）6【解析】【分析】（1）根据题意可知34,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，分步计算即可；（2）增加k （k 为正整数）天学习后，每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为1215k +⎛⎫- ⎪⎝⎭，若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，有41210.995k +⎡⎤⎛⎫->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，利用用对数运算求解不等式.【小问1详解】1名学员通过考试并领取驾驶证的概率为1544316555⨯⨯=，根据题意可知34,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，X 的取值分别为0，1，2，3，4，()4043160C 15625P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，()31433961C 155625P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，()2224332162C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()334332163C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()404433814C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故X 的分布列为：X01234P 166259662521662521662581625()312455E X =⨯=，()3324415525D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭；【小问2详解】增加k （k 为正整数）天学习后，每位学员通过考试拿到驾驶证的概率为1322111555k k +⎛⎫⎛⎫--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若这4名学员都能通过考试并领取驾驶证，有41210.995k +⎡⎤⎛⎫->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，有1210.99755k +⎛⎫-> ⎪⎝⎭，有120.00255k +⎛⎫< ⎪⎝⎭，有0.4log 0.00251k >-，又由0.4lg0.0025lg2542lg4422lg2220.3010log 0.0025 6.54lg0.4lg41lg4112lg2120.3010---++⨯====≈≈----⨯．可得 5.54k >，故这4名学员至少要增加6天的学习，才能保证这4名学员都能通过考试并领取驾驶证．19.已知函数()2ln 2x f x x ax =+-.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）已知()f x 有两个极值点.（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）若()f x 的极小值小于ln23-，求()f x 的极大值的取值范围.【答案】（1）2230x y --=（2）（ⅰ）()2,+∞；（ⅱ）9,ln 28⎛⎫-∞--⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）（ⅰ）分析可知原题意等价于1x a x+=有两个不同的正实数根，结合基本不等式分析求解；（ⅱ）设1x a x +=有两个不同的正实数根1201x x <<<，根据单调性可知()f x 的极值点012,x x x =，结合零点代换可得()0002ln 12x f x x =--，构建()()()2ln 1,0,11,2x g x x x =--∈+∞U ，结合单调性分析可得22x >，则110x 2<<，即可得取值范围.【小问1详解】当1a =时，则()2ln 2x f x x x =+-，()11f x x x =+-'，可得()112f =-，()11f '=，即切点坐标为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，切线斜率1k =，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为112y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即2230x y --=.【小问2详解】（ⅰ）由题意可知：()f x 的定义域为()0,∞+，()211x ax f x x a x x-+=+-='，令()10f x x a x=+-='，可得1x a x +=，原题意等价于1x a x +=有两个不同的正实数根，因为12x x +≥，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立，可知2a >，所以a 的取值范围()2,+∞；（ii ）由（i ）可知：1x a x+=有两个不同的正实数根1x ，2x ，不妨设1201x x <<<，可知121x x =，当12x x x <<时，()0f x '<；当10x x <<或2x x >时，()0f x '>；可知()f x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，所以2x 为()f x 的极小值点，1x 为()f x 的极大值点，对于()f x 的极值点012,x x x =，则()()0001,0,11,a x x x =+∈+∞U ，可得()000000022000201ln ln ln 1222x x x f x x ax x x x x x ⎛⎫=+-+-+=-- ⎪⎝⎭=，设()()()2ln 1,0,11,2x g x x x =--∈+∞U ，则()211x g x x x x-'=-=，当01x <<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<；可知()g x 在()0,1内单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()2ln 1ln 2322x g x x g =--<-=，可知22x >，则110x 2<<，又因为()g x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则()119ln 228f x g ⎛⎫<=-- ⎪⎝⎭，所以()f x 的极大值的取值范围是9,ln 28⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数极值、最值的方法（1）若求极值，则先求方程()0f x '=的根，再检查()f x '在方程根的左右函数值的符号；（2）若探究极值点个数，则探求方程()0f x '=在所给范围内实根的个数；（3）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程()0f x '=根的大小或存在情况来求解；（4）求函数f (x )在闭区间[],a b 的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值()f a ，()f b 与()f x 的各极值进行比较，从而得到函数的最值．。
毛坦厂中学火箭班高三11月月考数学试卷参考答案
2024~2025学年度高三年级十一月份月考安徽省六安市毛坦厂中学（火箭班）数学试卷考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．命题范围：高考范围．第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设函数()()()222123()666f x x x c xx c xx c =-+-+-+，集合(){}{}123450,,,,M x f x x x x x x *===ÍN ，设123c c c ³³，则13c c -等于（ ）A. 6B. 8C. 2D. 4【答案】D 【解析】【分析】把所给的方程整理，得到三个一元二次方程，要使所给的方程出现正整数解集，可以列举出c 的值有三个，把其中两个相减找出差的最大值即可.【详解】方程()()()2221236660x x c xx c xx c -+-+-+=，则2106x x c -+=，或2206x x c -+=，或2306x x c -+=，因为正整数解集为{}12345,,,,x x x x x ，结合韦达定理可知任意方程的两个根的和均为6，所以当5c =时，1x =或5x =，当8c =时，2x =或4x =，当9c =时，3x =，符合正整数解集，因为123c c c ³³，所以139,5c c ==，所以134c c -=，故选：D.2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是正六边形126A A A L的中心，若114A ö÷÷ø，则点3A 的纵坐标为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】使用正弦的和公式进行计算.【详解】直接计算可得11OA =，故O 到正六边形的每个顶点的距离都是1.所以每个顶点k A 的坐标都可以表示为()()1π1πcos ,sin 33k k a a æöæöæö--++ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø，从而()1cos ,sin A a a ，32π2πcos ,sin 33A a a æöæöæö++ç÷ç÷ç÷øèøèø.而114Aö÷÷ø，故cos a =1sin 4a =，所以2π2π2π1sin sin ·cos cos ·sin sin 3332a a a a a æö+=+=-=ç÷èø故选：C.3. 古印度“汉诺塔问题”：一块黄铜平板上装着,,A B C 三根金铜石细柱，其中细柱A 上套着个大小不等的环形金盘，大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上，移动规则如下：一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上，不允许将较大盘子放在较小盘子上面.若A 柱上现有3个金盘（如图），将A 柱上的金盘全部移到B 柱上，至少需要移动次数为.A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】B 【解析】【分析】设细柱A 上套着n 个大小不等环形金盘，至少需要移动次数记为{}n a ，则121n n a a -=+，利用该递推关系可求至少需要移动次数.【详解】设细柱A 上套着n 个大小不等的环形金盘，至少需要移动次数记为{}n a .要把最下面的第n 个金盘移到另一个柱子上，则必须把上面的1n -个金盘移到余下的一个柱子上，故至少需要移动1n a -次.把第n 个金盘移到另一个柱子上后，再把1n -个金盘移到该柱子上，故又至少移动1n a -次，所以121n n a a -=+，11a =，故23a =，37a =，故选B.【点睛】本题考查数列的应用，要求根据问题情境构建数列的递推关系，从而解决与数列有关的数学问题.4. 若函数π3π()ln cos cos πcos cos 2π22x x f x x x éù=×××êúëû的定义域与区间(0,1)的交集由n 个开区间组成，则n 的值为（ ）A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】【分析】先求解π3πcoscos πcos cos 2π022x x x x ×××=在区间(0,1)上的根，将区间(0,1)进行分区，在每一个区间内利用函数的图象研究函数()f x 的正负，从而得出结果.【详解】函数的定义域需要满足0π3πcos cos πcos cos 2π22x x x x ××>×，可以先考虑0π3πcoscos πcos cos 2π22x xx x ×××=，的因为(0,1)x Î，πcos02x >当cos π0x =时，12x =；当3πcos 02x=时，13x =；当cos 2π0x =时，14x =或34；这时区间(0,1)自然就被分为五个区间，分别为10,4æöç÷èø，11,43æöç÷èø，11,32æöç÷èø，13,24æöç÷èø，3,14æöç÷èø，然后对每一个区域分析函数π3πcoscos πcos cos 2π22x x y x x =×××的符号，根据图象可得，当10,4x æöÎç÷èø时，πcos02x >，cos π0x >，03πcos 2x >，cos 2π0x >，所以0π3πcoscos πcos cos 2π22x xx x ××>×，故满足题意；同理可得11,43x æöÎç÷èø时，0π3πcos cos πcos cos 2π22x xx x ×××<，故不满足题意；11,32x æöÎç÷èø时，0π3πcos cos πcos cos 2π22x xx x ××>×，故满足题意；13,24x æöÎç÷èø时，0π3πcos cos πcos cos 2π22x xx x ×××<，故不满足题意；3,14x æöÎç÷èø时，0π3πcos cos πcos cos 2π22x xx x ××>×，故满足题意.故选：B.5. 下列不等关系中错误的是（ ）A. ln 2ln 323< B. e e (1)a b b a a b >>>C. 131cos 432<D. 77sinπ22+>【答案】C 【解析】【分析】对于A ，直接证明即可；对于B ，使用导数工具证明即可；对于C ，用导数说明不等式不成立即可；对于D ，使用导数工具证明即可.【详解】对于A ，因为3ln 22ln 3ln8ln 90-=-<，所以ln 2ln 323<，故A 正确；对于B ，设()e x f x x=，则对x >1有f ′(x )=(x―1)e xx 2>0，所以f (x )在()1,+¥上递增，从而对1a b >>有e e a ba b >，即b e a >a e b ，故B 正确；对于C ，设()2cos 12x g x x =+-，则()sin g x x x =-¢，由于对π02x <<，显然()g x ¢的导函数y =1―cos x >0，故()g x ¢在π0,2æöç÷èø上单调递增.从而对π02x <<有()()00g x g ¢¢>=，所以()g x 在π0,2æöç÷èø上单调递增，所以cos 14―3132=>g (0)=0，即cos 14>3132，故C 错误；对于D ，设()sin h x x x =+，则对7π2x <<有ℎ′(x )=cos x +1>―1+1=0，所以()h x 在7π,2æöç÷èø上单调递增，从而sin 72+72=>ℎ(π)=π，故D 正确.故选：C.6. 已知正数x ，y ，z 满足2221x y z ++=，则12zS xyz+=的最小值为（ ）A. 3B.C. 4D. 1)+【答案】C 【解析】【分析】由基本不等式可得()114z z -£，由题意整理可得1121z xy z +³-，即可得()11421z xyz z z +³³-.【详解】由题意可得，01,011z z <<<-<则()211124z z z z +-æö-£=ç÷èø，当且仅当1z z =-，即12z =时，等号成立，又因为2221x y z ++=，则22212z x y xy -=+³，当且仅当x y =时，等号成立，可得2112z xy -³，即()()1112z z xy-+³，又因为10z ->，则1121z xy z+³-，可得()11421z xyz z z +³³-，当且仅当12x y z ===时，等号成立，所以12zS xyz+=的最小值4.故选：C.7. 已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()e sin x g x h x x x +=+-，若函数|2020|2()3(2020)2x f x g x l l -=---有唯一零点，则实数l 的值为（ ）A. 1-或12B. 1或12-C. 1-或2D. 2-或1【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，求出()e e 2x x g x -+=，结合函数的对称性得出20203x y -=和()2020g x -都关于2020x =对称，由()f x 有唯一零点，可知()20200f =，即可求l .【详解】已知()()e sin xg x h x x x +=+-，①且()g x ，ℎ(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则()()()e sin xg x h x x x --+-=+-+，得：()()esin xg x h x x x --=-+，②①+②得：()e e 2x xg x -+=，则()01g =，由3xy =为偶函数，关于0x =对称，则20203x y -=关于2020x =对称，又()g x 为偶函数，关于0x =对称，则()2020g x -关于2020x =对称，故f (x )关于2020x =对称，由于()()20202320202x f x g x l l -=---有唯一零点，则必有()20200f =，即：()()0222020302120f g l l l l =--=--=，解得：1l =-或12.故选：A.8. 过(0,)M p 且倾斜角为π,π2a a æöæöÎç÷ç÷èøèø的直线l 与曲线2:2C x py =交于A ，B 两点，分别过A ，B 作曲线C 的两条切线1l ，2l ，若1l ，2l 交于N ，直线MN 的倾斜角为b ，则tan()a b -的最小值为（ ）A.B.C. D. 【答案】C 【解析】【分析】首先画出平面图形，求出tan tan 2k k a b ¢×=×=-的结论，再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将()tan a b -化简为()2k k æö-+-ç÷èø的形式，由基本不等式即可求得最值.【详解】如图，设()00,N x y ，1122()A x y B x y ,,(,)，由于曲线2:2x C y p=，则x y p ¢=，所以在A 点的切线方程为111()x y y x x p-=-，同理在B 点的切线方程为222()x y y x x p-=-，由于N 点是两切线的交点，所以1010120202()()x y y x x px y y x x pì-=-ïïíï-=-ïî，则AB l 为()000000()2xx xy x y x x y y y p px p y y -=-ÞÞ=-+-=，且过()0,M p ，0y p \=-且0tan x k p a ==，设2tan ,2p k k k x b ¢¢==-\×=-，()tan tan tan 1tan tan a b a b a b -\-=+()21k k k k k k -æö==-+-³ç÷+×èø¢¢当且仅当k =“=”成立，故选：C.【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：（1）设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x ¢-=-；（2）若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 下列四个结论中正确的是（ ）A. 已知{},,a b c r r r 是空间的一组基底，则{},,a b b b c --r r r r r也是空间的一组基底B. 已知向量(4,2,9)a =-r ，(1,2,2)b =r ，则向量a r 在向量b r上的投影向量的坐标为(3,6,6)C. 若A ，B ，C ，D 四点共面，则存在实数x ，y ，使AB xAC y AD=+uuu r uuu r uuu r D. 已知空间中的点(1,0,2)A ，(0,1,2)B ，(1,3,0)C ，(1,2,2)D -，则直线AB 与直线CD 的夹角的余弦【答案】AD 【解析】【分析】设()()a b xb y b c x y b yc -=+-=+-r r r r r r r，判断x ，y 是否有解即可判断A ；根据投影向量公式计算即可判断B ；根据平面向量基底的条件即可判断C ；求出,AC AD uuu r uuu r，利用向量夹角公式求解可判断D .【详解】对于A 选项，设()()a b xb y b c x y b yc -=+-=+-r r r r r r r，因为{},,a b c r r r是空间的一组基底，所以1010x y y =ìï-=+íï=-î，无实数解，故,,a b b b c --r r r r r 不共面，所以{},,a b b b c --r r r r r也是空间的一组基底，A 正确；对于B 选项，因为(4,2,9)a =-r ，(1,2,2)b =r，所以a r 在b r 方向上的投影向量为24418(1,2,2)(2,4,4)144||a b b b ×-+×=×=++r rr r ．故B 项错误；对于C 选项，若A 、C 、D 共线，即,AC AD uuu r uuu r共线，不能作为平面向量的基底，故当B 不在A 、C 、D 所在直线上时，不存在实数x ，y ，使得AB xAC y AD =+uuu r uuu r uuu r，C 错误；对于D 选项，由条件可知(1,1,0)AB =-uuu r，(2,1,2)CD =--uuu r ，则cos,AB CDáñ==uuu r uuu r，故D项正确．故选：AD．10. 如图，摩天轮的半径为50米，摩天轮的中心O点距离地面的高度为55米，摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下列结论正确的是（）A. 经过12分钟，点P首次到达最低点B. 第16分钟和第32分钟点P距离地面一样高C. 从第28分钟至第40分钟点P距离地面的高度一直在降低D. 摩天轮在旋转一周的过程中，点P有8分钟距离地面的高度不低于80米【答案】ABD【解析】【分析】由题意结合诱导公式可得π()50cos55,012h t t t=+³，根据题意结合余弦函数性质逐项分析判断即可.【详解】设t为摩天轮匀速逆时针旋转的时间，单位为分钟，则πππ()50sin5550cos55,012212h t t t tæö=++=+³ç÷èø.对于A选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，因为0t³，则π12t³，令ππ12t=，解得12t=，所以经过12分钟，点P首次到达最低点，故A选项正确；对于B选项，因为()42(16)50cosπ5530,(32)850cosπ553033h h h=+===+=，即(16)(32)h h=，所以第16分钟和第32分钟点P距离地面一样高，B选项正确；对于C选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，所以第28分钟至第40分钟，相当于第4分钟至第16分钟，根据A 选项可知，经过12分钟，点P 首次到达最低点，所以第4分钟至第12分钟，摩天轮高度降低，第12分钟至第16分钟，摩天轮高度上升，所以C 选项错误；对于D 选项，由()π50cos 558012h t t =+³，则π1cos 122t ³，其中024t ££，即π02π12t ££，则ππ0123t ££或5ππ2π312t ££，解得04t ££或2024t ££，故摩天轮在旋转一周的过程中点P 有448+=分钟距离地面不低于80米， D 选项正确.故选：ABD.11. 定义在(0,)+¥上的函数()f x 满足(1)()f x f x x +=-，当01x <£时，()f x x =，则（ ）A. 当23x <£时，()22f x x =-+B. 当n 为正整数时，2()2n n f n -=C. 对任意正实数t ，()f x 在区间(,1)t t +内恰有一个极大值点D. 若()f x 在区间(0,)k 内恰有3个极大值点，则k 的取值范围是73193,3664æùçúèû【答案】BD 【解析】【分析】求出()f x 在()*1n x n n -<£ÎN 上的表达式，然后利用函数工具分别考查每个选项，即可得到答案.【详解】当x >0满足()*1n x n n -<£ÎN时，有()()()()()()()()()()11221...112...1f x f x x f x x x f x n x n x n x =---=-----==-+--+--+---()()()()()()()()11121111222n n n n n n f x n n x x n n x nx ---+=-+--+=-+--+=+.此时有()12f x n n =-==¢.从而对21114n x n n -<<+-有()0f x ¢>，对2114n x n n+-<<有()0f x ¢<，故()f x 在211,14n n n æö-+-ç÷èø上递增，在211,4n n n æö+-ç÷èø上递减，这表明()f x 的全部极大值点是()*2114x n n n=+-ÎN .对于A ，取3n =即知()()3523f x x x =-+<£，所以A 错误；对于B ，有()()()2221221222n n n n n n f n n n n -++--=-×+=-+=，所以B 正确；对于C ，在2114x n n =+-中取1n =和2n =，即知14x =和1716x =都是()f x 的极大值点，它们都在19,88æöç÷èø中，故结论对18t =不成立，所以C 错误；对于D ，由于21114n n n n-<+-<，故()f x 的前四个极大值点分别是1,2,3,4n =的情况，对应的极大值点是11773193,,,4163664，这表明条件等价于731933664k <£，所以D 正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对不同的区间分别讨论对应的函数表达式.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. n+展开式中的第7项与倒数第7项的比是1:6，则展开式中的第7项为___________．【答案】563【解析】【分析】求出二项式展开式通项，根据题意列方程，解方程即可求解.【详解】根据题意可知6667Cn nT -=，666165C nn n n n T T --+--==，由666666C :C 1:6n n n nn---éùéù=êúêúêúêúëûëû，化简得41366n --=，所以413n-=-，解得9n =，所以69663799156C C 293T -==´´=.的故答案为：563.13. 商家项目投资的利润产生是一个复杂的系统结果．它与项目落地国的商业环境，政府执政能力，法律生态等都有重大的关联．如表所示是某项目在中国和南亚某国投资额和相应利润的统计表．项目落地国中国南亚某国投资额x （亿元）10111213141011121314利润y （亿元）11121416191213131415请选择平均利润较高的落地国，用最小二乘法求出回归直线方程为___________．参考数据和公式：()52110ii x x =-=å，中国()()5120i i i x y y x =-=-å，南亚某国()()517i i i x x y y =--=å，()()()51521ˆiii ii x x y y bx x ==--=-åå，ˆˆa y bx=-．【答案】29.6y x =-【解析】【分析】比较平均利润，然后根据题设数据得到答案.14.4=和121313141513.45++++=，故中国的平均利润较高.根据题设数据，有2020ˆ1b==，14.ˆˆ42129.6a y bx=-=-´=-.故答案为：29.6y x =-.14. A 与B 二人进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，A 手中有3张两两不同的牌，B 手上有4张牌，其中3张牌与A 手中的牌相同，另一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同．游戏规则为：（ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，A 先从B 手中抽取；（ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃；（ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家；假设每一次抽牌从对方手上抽到任一张牌的概率都相同，则A 获胜的概率为________．【答案】35##0.6【解析】【分析】A 获胜分为3种情况，利用概率的加法公式求解即可.【详解】记初始A 手上n 张牌时， A 胜的概率为n P ，①当A 手上有1张牌，B 手上2张牌，包含1张“鬼牌”时，A 获胜的概率为1P 若A 抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为12，若A 抽中的是“鬼牌”，时，B 抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为11122P ´´，若A 抽中的是“鬼牌”，时，B 抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在，所以11111222P P =+´´，解得123P =,②当A 手上有2张牌，B 手上3张牌，包含1张“鬼牌”时，A 获胜的概率为2P 若A 抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为23，若A 抽中的是“鬼牌”，时，B 抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为21133P ´´，若A 抽中的是“鬼牌”，时，B 抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在，所以22211333P P =+´´，解得234P =,③当A 手上有3张牌，B 手上4张牌，包含1张“鬼牌”时，A 获胜的概率为3P 若A 抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜的概率为134P ，若A 抽中的是“鬼牌”，时，B 抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为31144P ´´，若A 抽中的是“鬼牌”，时，B 抽中的不是“鬼牌”，此轮结束后A 有3张牌，包含一张“鬼牌”， B 有2张牌，当A 再抽一次时，A 有2张牌，包含一张“鬼牌”， B 有1张牌，A 有2张牌，包含一张“鬼牌”，B 有1张牌，此时A 胜的对立事件为当A 有1张牌， B 有2张牌，包含一张“鬼牌”，此时A 胜，则若A 抽中的是“鬼牌”，时，B 抽中的不是“鬼牌”， A 胜的概率为()113144P ´-，所以()313131113144444P P P P =+´´+´-，解得335P =,故答案为：35.【点睛】关键点睛：当遇到某个事件的概率不好求的时候，可以考虑求其对立事件的概率，利用该事件发生的概率与其对立事件发生的概率和为1来求解，例如题目中，若A 有2张牌，包含一张“鬼牌”， B 有1张牌，此时A 胜的概率就可以转化为求其对立事件当A 有1张牌， B 有2张牌，包含一张“鬼牌”， 此时A 胜的概率.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知,,A B C ，是ABC V 的三个内角，若向量1cos(),cos 2A B m A B -æö=-+ç÷èør，5,cos 82A B n -æö=ç÷èør ，且98m n ×=r r.（1）求证：1tan tan 9A B ×=；（2）求222sin ab Ca b c +-的最大值.【答案】（1）证明见解析 （2）38-【解析】【分析】（1）根据两角和差的余弦公式和二倍角的余弦公式可得9sin sin cos cos A B A B =，整理即可证明；（2）根据余弦定理、诱导公式和两角和的正切公式可得222sin 9(tan tan )16ab C A B a b c =-++-，结合tan tan 0A B >>，利用基本不等式求出tan tan A B +的最小值即可.【小问1详解】证明：由98m n ×=Þr r()2591cos cos 828A B A B -éù-+×+=ëû，即51cos()9(1cos cos sin sin )828A B A B A B +--++=，故5551119cos cos sin sin cos cos sin sin 8882228A B A B A B A B -++++=，整理得9sin sin cos cos A B A B =，sin sin 1cos cos 9A B A B \=，即1tan tan 9A B =；【小问2详解】222cos ,2a b c C ab +-=Q 222sin sin 11tan tan tan tan()2cos 222(1tan tan )ab C C A BC A B a b c C A B +\===-+=-+--=1tan tan 9(tan tan )121619A B A B +-=-+-.,A B Q 为三角形的内角，1tan tan 09A B =>，即tan 0,tan 0.A B >>2tan tan 3A B \+³=，当且仅当1tan tan 3A B ==时等号成立，故222sin 9231638ab C a b c £-´=-+-222sin ab C a b c \+-的最大值为38-.16. 在如图①所示的平面图形中，四边形ACDE 为菱形，现沿AC 进行翻折，使得AB ^平面ACDE ，过点E 作//EF AB ，且12EF AB =，连接,,FD FB BD ，所得图形如图②所示，其中G 为线段BD 的中点，连接FG .（1）求证：FG ^平面ABD ;（2）若2AC AD ==，直线FG 与平面BCD ，求平面ABC 与平面BFD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接EC ，交AD 于点H ，连接GH ，由题意得EH AD ^，AB EH ^，由线面垂直的判定定理可得EH ^平面ABD ，由题意可得四边形EFGH 为平行四边形，可得//FG EH ，继而即可证明.（2）取ED 的中点为K ，连接AK ，由题意，以A 为坐标原点，以,,AB AC AK 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2(0)AB a a =>，由直线FG 与平面BCD ，计算可得1a =，再利用法向量及两平面夹角的余弦公式即可求解.【小问1详解】连接EC ，交AD 于点H ，连接GH ，Q 四边形ACDE 为菱形，EH AD \^，AB ^Q 平面ACDE ，又EHÌ平面ACDE ，AB EH \^，又AB AD A =Q I ，,AB AD Ì平面ABD ，EH \^平面ABD ，,G H Q 分别为线段,BD EC 的中点，//GH AB \，且12GH AB =，又//EF AB Q ，且12EF AB =，//EF GH \，且EF GH =，故四边形EFGH 为平行四边形，//FG EH \，FG \^平面ABD .【小问2详解】在菱形ACDE 中，AC AD =Q ，ACD V \和ADE V 都是正三角形，取ED 的中点为K ，连接AK ，AK AC \^，又AB ^Q 平面ACDE ，,AC AK Ì平面ACDE ，,AB AC AB AK \^^，即,,AB AC AK 两两互相垂直，如图，以A 为坐标原点，以,,AB AC AK 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2(0)AB a a =>，已知2AC AD ==，1 (0,2,0),(2,0,0),(,(,2C B aD F a G a\-，3(0,,2FG\=uuu r，(2,2,0),(0,BC a CD=-=-uuu r uuu r，设平面BCD的法向量为(,,)m x y z=u r，则20m BC ym CD yì×=-=ïí×=-+=ïîuuu rruuu rr，取1z=，则m=u r，设直线FG与平面BCD所成角为q，因为直线FG与平面BCD，则sin cos,FG mFG mFG mq×=====uuu r ruuu r ruuu r r=1a\=，(2,0,0),(1,B D F\-，设平面ABC的法向量为1nur，取1(0,0,1)n=ur，(1,(1,2,0)BF FD=--=-uuu r uuu r，设平面BFD111(,,)x y zuu r，则211121120n BF x yn FD x yì×=--+=ïí×=-+=ïîuu r uuu ruu r uuu r，取11y=，则2n=uu r，设平面ABC与平面BFD所成角为a，则1cos cos ,n n a ==ur uu ，故平面ABC 与平面BFD【点睛】17. 如图，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ，双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b 的左，右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e，已知12e e =，142F F =+．（1）求1C ，2C 的方程；（2）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为弦AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．【答案】（1）221:13+=x C y ，222:13x C y -=；（2）．【解析】【分析】(1)由12e e =推出223a b =,从而()1,0F ,()42,0F b ,因此142F F b =+,推出1b =,a =从而得到12,C C 的方程;(2)设直线AB 的方程为1x my =-,联立22113x my x y =-ìïí+=ïî,利用韦达定理和中点坐标公式求出223,33m M m m -æöç÷++èø,从而得到直线PQ 的方程为3m y x =-,再联立22313m y x x y ì=-ïïíï-=ïî,由韦达定理和弦长公式求出PQ ,再利用点到直线的距离公式求出A 到直线PQ 的距离以及B 到直线PQ 的距离,进而得到四边形APBQ 的面积的最小值.【详解】(1)∵12e e =,=∴44489a b a -=,即223a b =,∴()1,0F ,()42,0F b ,∴1422F F b =+=+,∴1b =,a =∴1C 的方程为2213x y +=,2C 的方程为2213x y -=.(2)依题意,直线AB 的方程可设为1x my =-,设()11,A x y ,()22,B x y ,由22113x my x y =-ìïí+=ïî消去y 可得()223220m y my +--=,∴12223m y y m +=+,12223y y m -=+,∴()12122623x x m y y m -+=+-=+,∴AB 中点坐标为223,33m M m m -æöç÷++èø,∴直线PQ 的方程为3m y x =-,由22313m y x x y ì=-ïïíï-=ïî消去y 可得()2239m x -=,∴230m ->且2293x m =-,2223m y m =-,∴PQ ==设A 到直线PQ 的距离为d ,则B 到直线PQ 的距离也为d ,∴2d ∵()()1122330mx y mx y ++<,,∴当0m =时,S 取得最小值,且min S =,即四边形APBQ 面积的最小值为.【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题,考查计算能力,需要学生对相关知识熟练掌握且灵活应用,难度较大.18. 已知a ÎR ，函数()e 1x f x ax =--，()ln(1)g x x x =-+（e 是自然对数的底数）．（1）讨论函数()f x 极值点的个数；（2）若()e 10xf x ax =--³对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值；（3）在第（2）小题的条件下，若存在[)0,x ¥Î+，使得()()f x kg x <，求实数k 的取值范围．【答案】（1）当0a £时，f (x )极值点的个数为0；当a >0时，f (x )极值点的个数为1,（2）1（3）()1,+¥【解析】【分析】（1）对0a £和a >0分类讨论，即可得到答案；（2）先通过题设条件得到1a =，然后证明1a =满足条件即可；（3）分1k £和1k >进行讨论，在相应情况下利用导数工具研究原条件是否成立即可.【小问1详解】当0a £时，由f ′(x )=e x ―a >―a ≥0知f (x )单调递增，所以f (x )极值点的个数为0；当a >0时，对ln x a <有()e 0x f x a =¢-<，对ln x a >有f ′(x )=e x ―a >0，所以f (x )在(),ln a -¥上递减，在()ln ,a +¥上递增，所以f (x )恰有1个极值点ln x a =.综上，当0a £时，f (x )极值点的个数为0；当a >0时，f (x )极值点的个数为1；【小问2详解】根据已知有()1e 110af -+-=-³，所以a ≥1―e ―1>1―e 0=0，故a >0.此时由（1）中得到的单调性，可知f (x )仅在ln x a =处取得最小值.假设ln 0a ¹，则f (0)>f (ln a )≥0，但()00e 010f =--=，这导致矛盾，所以ln 0a =，即1a =.当1a =时，由（1）中得到单调性知f (x )在ln 0x a ==处取得最小值，所以()()00f x f ³=，确实满足条件.综上，a 的值为1.【小问3详解】此时()e 1xf x x =--，()()ln 1g x x x =-+，根据（2）的结论，我们有()0f x ³.设()()()()()()()e 1ln 1e 1ln 11x x h x f x kg x x k x x k x k x =-=----+=-+++-，则()()e 11x k h x k x +¢=-++.再设()()()e 11x k x h x k x f ==-+++¢，则()()2e 1x k x x f =-+¢.情况一：若1k £，则对x >0有ϕ′(x )=e x ―k (x+1)2>1―k 12=1―k ≥0，故()()h x x f ¢=在()0,+¥上递增，从而对x >0有ℎ′(x )>ℎ′(0)=1―(k +1)+k =0.的从而()h x 在()0,+¥上递增，这就意味着对0x ³都有()()()()00f x kg x h x h -=³=.从而对任意[)0,x ¥Î+，都有()()f x kg x ³，不满足条件；情况二：若1k >，令u 是两个正数1-中较小的一个，则对0x u <<有()()2e 01x kx x f =-<==+¢.故()()h x x f ¢=在()0,u 上递减，从而对0x u <<有()()()0110h x h k k <=-++¢=¢.从而()h x 在()0,u 上递减，这就意味着()()()()00f u kg u h u h -=<=，所以存在x =u >0使得()()f x kg x <，满足条件.综合以上两种情况，可知k 的取值范围是()1,+¥.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数工具研究相应函数的单调性.19. 对于整数除以某个正整数的问题，如果只关心余数的情况，就会产生同余的概念.关于同余的概念如下：用给定的正整数m 分别除整数,a b ，若所得的余数（小于正整数m 的自然数，即0，1，2,,1m ×××-）相等，则称,a b 对模m 同余，记作()mod a b m º.例如：因为7231=´+，10331=´+，所以()710mod3º；因为6320,0020=´+=´+，所以()60mod2º.表示对模m 同余关系的式子叫做模m 的同余式，简称同余式，同余式的记号()mod a b m º是高斯在1800年首创.两个同模的同余式也能够进行加法和减法运算，其运算规则如下：已知整数a b c d ,,,，正整数m ，若()()mod ,mod a b m c d m ºº，则()mod a c b d m +º+，()mod a c b d m -º-.阅读上述材料，解决下列问题：（1）若()2024mod12a º，且整数()100,110a Î，求a 的值；（2）已知整数a b c d ,,,，正整数m ，证明：若()()mod ,mod a b m c d m ºº，则()mod ac bd m º；（3）若11011010101010n n n n a a a a a --=´+´+×××+´+´，其中n a 为正整数，n 为非负整数，证明：a 能被11整除的充要条件为()01231n n a a a a a -+-+×××+-能被11整除.【答案】（1）104（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，得到()128100,110a x =+Î，结合Z x Î，求得8x =，即可求解；（2）由()()mod ,mod a b m c d m ºº，转化为()213123112ac m x x m x t x t t t =+++，得到12131231t t ac mx x x t x t m m =+++和12242241t t bd mx x x t x t m m=+++，的余数等于12t t 除以m 的余数，即可求解；（3）由()101mod11º-，得到()()101mod11k k º-，得到()0,1n k k k a a =´-å对模11同余，即可得证.【小问1详解】解：因为2024121688=´+，所以存在整数x 满足()128100,110a x =+Î，解得231732x <<，因为Z x Î，所以8x =，则1288104a =´+=.【小问2详解】解：若()()mod ,mod a b m c d m ºº，则存在整数123412,,,,,x x x x t t 满足11a mx t =+，21b mx t =+，32c mx t =+，42d mx t =+，且10t m £<，20t m £<，则()()()2113213123112ac mx t mx t m x x m x t x t t t =++=+++，因此12131231t t ac mx x x t x t m m=+++，即整数ac 除以m 的余数等于12t t 除以m 的余数，同理12242241t t bd mx x x t x t m m =+++，即整数bd 除以m 的余数等于12t t 除以m 的余数，因此,ac bd 对模m 同余，即()mod ac bd m º.【小问3详解】由()101mod11º-，因为()()()()01011010111C 111C 111C 111n n n n n n n n n n --=-=××-+×××+××-+××-，因为()()01011C 111C 111n n n n n --××-+×××+××-能被11整除，所以()()101mod11,0,1,2,,k k k n º-=×××）又因为()mod11k k a a º，所以()()101mod11k k k k a a ´º´-，则()()01mod11n k k k a a =º´-å，因此()0,1n kk k a a =´-å对模11同余，因此a 能被11整除的充要条件是()()0123011n k nk n k a a a a a a =´-=-+-+×××+-å能被11整除.【点睛】方法点睛：有关新定义有关的问题的求解策略，1、通过给出一个新的的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决；3、解决此类综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.。
2024-2025学年湖北省荆州市沙市中学高三上学期11月月考数学试题及答案
2024—2025学年度上学期2022级11月月考数学试卷考试时间：2024年11月26日考试时间120分钟 试卷满分150一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}1,2,3,4A =，(){}2|log 12Bx x =−≤，则A B 的元素个数为A ．1B ．2C ．3D ．42.已知复数z 在复平面内对应的点为（2，-1），则4iz z =−（ ）A. 1i +B. 3i +C. 1i −D. 3i −3．等比数列{}n a 的各项均为正数，若1237a a a ++=，4322a a a =+，则789a a a ++= A ．588B ．448C ．896D ．2244.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知774721S a =−，则3a =（ ）A.-2B.-1C.1D.25．已知a ∈R ，函数()()e ,0,ln 1,0x a x f x x a x −≤ = −+−> 在R 上没有零点，则实数a 的取值范围A ．()0,+∞B ．()1,+∞C ．[){}1,0+ ∞D ．(){}1,0+ ∞6．已知θ为第一象限角，且tan tan 03++=πθθ，则1cos21cos2+=−θθA ．9B ．3C ．13D ．197. 已知等腰梯形的上底长为1，腰长为1，若以等腰梯形的上底所在直线为轴，旋转一周形成一个几何体，则该几何体表面积的最大值为（ ）A.B. (2π+C. (1π+D. (3π+8. 若函数()()()sin cos 10f x x ωω=−>在区间()0,2π恰有2个零点，则ω的取值范围是（ ）A. π0,2B. π3π,22C. π5π,22D. π,2+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数()cos sin f x x x =⋅，则A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的最大值为12D ．()f x 在0,2π上单调递增10．记等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且63*,a a ∈N ，若5106T =，则36a a +的可能取值为（ ）A.- 7B.5C.6D.711．如图，圆锥SO 的底面直径和母线长均为，其轴截面为SAB △，C 为底面半圆弧AB 上一点，且 2AC CB =，SM SC = λ，(01,01)SN SB =<<<<µλµ，则A ．存在()0,1∈λ，使得BC AM ⊥B ．当23=µ时，存在()0,1∈λ，使得//AM 平面ONCC ．当13=λ，23=µ时，四面体SAMN D ．当AN SC ⊥时，57=µ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知点(),4A a 在抛物线24y x =上，F 为抛物线的焦点，直线AF 与准线相交于点B ，则线段FB 的长度为______.13．已知数列{}n a 是单调递增数列，其前n 项和为2n S An Bn =+（A ，B 为常数），写出一个有序数对(),A B =________，使得数列是等差数列．14．定义在R 上的函数()g x 满足()212y g x =+−是奇函数，则()g x 的对称中心为________；若()*123211111n n a g g g g n n n n n +=+++⋅⋅⋅+∈++++N ，则数列{}n a 的通项公式为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分）已知函数()ln f x ax x x =−．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当1x >时，()1f x <−，求a 的取值范围；16.（15分） 如图，在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin A B B Cc a b++=−. （1）求A ；（2）若3,0BC BD AB AD =⋅=，2AD = ，将ABC 沿AD 折成直二面角B AD C ′−−，求直线AB ′与平面B CD ′所成角的正弦值.17．（15分）已知*n ∈N ，数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足21n n S a =−；数列{}n b 满足12b =，112n nb b +=−． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数λ，使得数列1n b−λ是等差数列？如果存在，求出实数λ的值；如果不存在，请说明理由；（3）求使得不等式2n n nb a ≥成立的n 的最大值．18.（17分） 已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b点()0,1A 在C 上，直线l 与C 交于不同于A 的两点M ，N ． （1）求C 的方程；（2）若0AM AN ⋅=，求AMN 面积的最大值； （3）记直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，若12116k k =−，证明：以MN 为直径的圆过定点，并求出定点坐标．19.（本题满分17分）一般地，任何一个复数i a b +（a ，b ∈R ）可以写成()cos isin r θθ+，其中r 是复数的模，θ是以x 轴非负半轴为始边，射线OZ 为终边的角，称为复数的辅角.我们规定在02θπ≤<范围内的辅角称为辅角主值，通常记作arg z ，如arg10=，arg i 2π=，()arg 13π=.发现()()()()12111222121212cos sin cos sin cos isin z z r r r r θθθθθθθθ⋅=+⋅+=+++ ，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n 为正整数，重复n 次上述操作，可得到n 个复数，将它们的乘积记为n z .（1）写出一次操作后所有可能的复数；（2）当2n =，记n z 的取值为X ，求X 的分布列； （3）求2n z 为实数的概率n Q .11月月考数学参考答案1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 4。
广西桂林中学届高三月月考试题 数学文
桂林中学11月考数学文科试题命题人：曹海平 审题人:周小英（考试时间：9:00-—--—11:00）第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}{}()===B A C U，则，,2,31A ,2,3,4,51U ( )A ．｛3｝B ．{5}C ．{1，2，4,5}D ．｛1，2，3，4｝2．已知a R ∈，则“2a >"是“22a a >”的( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．已知数列{a n }满足a 1 =0，n a an n 21+=+,那么2011a 的值是（)A ．2009×2010B ．20112C ．2010×2011D ．2011×20124．已知等比数列{}na 中有31174a aa =，数列{}nb 是等差数列，且77a b =，则59b b +=（ ）A ．2B ．4C．8D ．165．已知集合21{|216},0,3x A x x B xx⎧+⎫=-<=≤⎨⎬-⎩⎭则=B C A R（ ）A ．517,3,222⎛⎤⎛⎫-- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭B ．517,3,222⎛⎫⎡⎫-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ C ．1,32⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭6．设函数()6)(-=x x x f ，若()f x 在0x =处的切线斜率为（ ）A ．0B ．1-C ．3D ．6-7．已知322log 2,log 3,log 5a b c ===,下面不等式成立的是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<8．函数211y x x =++的最大值是 （ ）A ．45B ．54C ．34D ．439．已知命题p :关于x 的函数234y xax =-+在［1，+∞）上是增函数，命题q ：关于x 的函数(21)xy a =-在R 上为减函数，若p 且q 为真命题，则a 的取值范围是 （ ）A ．23a ≤B ．102a << C ．1223a <≤ D ．112a <<10．设函数()2f x x x a =++-的图象关于直线2x =对称,则a 的值为（ )A ．6B ．4C ．2D ．2- 11．函数12()1log ()2xf x xg x -=+=与在同一直角坐标系下的图象大致是( ） 12．设曲线1(*)n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则201012010220102009log log ......log x x x +++的值为( ） A ．2010log 2009-B ．1-C ．()2010log20091-( D ．1第Ⅱ卷二、填空题：(本大题共4小题；每小题5分，满分20分） 13．函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 .14．记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =_____________15．设{na ｝为公比q 〉1的等比数列，若2008a 和2009a 是方程24830xx -+=的两根,则20102011aa +=__________。
2024-2025学年安徽省合肥市高三上学期11月月考数学质量检测试题(含解析)
1. 2024-2025学年安徽省合肥市高三上学期11月月考数学质量检测试题已知集合(){}23log 1A x y x ==-，集合{}3xB y y -==，则A B =I （ ）A. ()0,1B. ()1,2 C. ()1,+¥ D. ()2,+¥【答案】C 【解析】【分析】根据题意，将集合,A B 化简，再结合交集的运算，即可得到结果.【详解】A ={x |y =log 3(x 2−1)}={x |x 2−1>0}={x |x >1或}1x <-，B ={y |y =3−x }={y |y >0}，所以()1,A B ¥Ç=+，故选：C 2. 若()2sin sin cos 5q q q +=，则tan q =（ ）A. 2或13-B. 2-或13C. 2D. 2-【答案】B 【解析】【分析】根据22sin cos 1q q +=，将原式上下同时除以2cos q ，化简求解即可.【详解】根据题意可知22sin cos 1q q +=，所以()225s s in cos in sin cos 2q q q q q++=，若 cos 0q =，则22sin5q =，与22sin cos 1q q +=矛盾故cos 0q ¹，将其上下同时除以2cos q ，可得22tan tan 2tan 15q q q +=+，化简可得2tan 5tan 203q q +-=，解之得tan 2q =-或1tan 3q =.故选：B3. 已知函数()e cos 1exxa f x x a -=×+，则“1a =”是“函数()f x 的是奇函数”的（ ）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是奇函数确定a 的取值范围，即可判断.【详解】由()e cos 1exxa f x x a -=×+为奇函数，可得：()()f x f x -=-，即()e e cos cos 1e 1ex xx xa a x x a a ----×=-×-++，即e e 1cos 01e e x x xx a a x a a æö--+×=ç÷++èø恒成立，即e e 101e e x x xx a a a a--+=++恒成立，即()()()()()22211e 01ee xxxa a a a -+-=++恒成立，解得1a =±，所以1a =是函数()e cos 1exxa f x x a -=×+为奇函数的充分不必要条件.故选：A4. 函数()232e ,0,0x ax x f x x ax a x ì+³=í-+<î在R 上单调，则a 的取值范围是（ ）A. (0,1) B. (]0,1 C. [)0,1 D. [0,1]【答案】D 【解析】【分析】利用导数求得其导函数并使其恒大于0，再根据分段函数单调性得出不等式即可.【详解】由题意可知0x ³时，()2e xf x ax +¢=，0x <时，()232f x x ax ¢=-；又因为()010f ¢=>，所以()f x 在R 上单调递增，因此可得0x <时，()2320f x x ax =-³¢恒成立，可得0a ³，又20320e 00a a a ´+³-´+，可得1a £；综上可得a 的取值范围是[0,1].故选：D5. 在ABC V 中，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为1，且222sin21cos2Ca cb C+-==+，则ABC V 的面积是（ ）A.B.C. 1D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出B ，利用三角恒等变换求出C ，再利用正弦定理及三角形面积公式计算得解.【详解】在ABC V 中，由222a c b +-=及余弦定理，得2cos ac B =，解得cos B =，又(0,π)B Î，则π4B =，sin 21cos 2CC =+22sin cos sin 2cos cos C C C C C ==，整理得cos cos sin sin C A C C A C +=，即sin cos )1C C A C B -=+==，两边平方得2sin cos 0C C =，又(0,π)C Î，sin 0C >，则cos 0C =，即π2C =，由正弦定理得2sin a b B ===所以ABC V 的面积是1sin 12S ab C ==.故选：C6. 已知一个正整数()1010110Na a =´£<，且N 的15次方根仍是一个整数，则这个数15次方根为（ ）．（参考数据：lg20.3,lg30.48,lg50.7»»»）A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】设这个15次方根为x ，则151010x a =´，利用对数的运算性质求x 即可．【详解】设这个15次方根为x ，则151010x a =´，其中N x Î且110a £<，故15lg 1g 10x a =+，1lg (lg 10)15x a =+，lg [0a Î,1)，故211lg ,315x éöÎ÷êëø，110.7315»，20.673»，由于lg50.7»,故5x =．故选：C ．7. 已知函数()ln f x x x =，2()e x g x x a =-+，若[]12,1,2x x $Î，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()24e ,ln 41e -+- B. 24e ,ln 41e éù-+-ëûC. ()2ln 44e ,1e +-- D. 2ln 44e ,1e éù+--ëû【答案】B 【解析】【分析】利用导函数证明在区间[1,2]上单调递增，从而得出()f x 的值域；同理得出()g x 的单调区间和值域，由题意可知，这两个函数值域需要有交集，得出不等式组，从而得出范围.【详解】()ln 1f x x =¢+，∴[]1,2x Î时，f ′(x )>0，∴()f x 在区间[1,2]上单调递增，∴当[]1,2x Î时，()[]0,2ln 2f x Î()e 2x g x x =¢-，令()e 2x h x x =-，则()e 2xh x ¢=-，令()e 20xh x =¢-=，则ln 2x =，∵ln 2ln e=1<，∴[]1,2x Î时，ℎ′(x )>0，∴()()g x h x ¢=单调递增，∴g ′(x )>g ′(1)=e −2>0，∴()g x 在[1,2]上单调递增，∴()2e 1,e 4g x a a éùÎ-+-+ëû，由题意可知2e 12ln 2e 40a a -+£ìí-+³î，∴24e ,ln 41e a éùÎ-+-ëû.故选：B8. 已知正数x ，y 9xy +=，则224x y +的最小值为（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】应用三角换元，令11sin ,sin 33x y a b ==，且π,0,2a b æöÎç÷èø，结合已知、平方关系、和角正弦公式得π2a b +=，进而有2222111sin sin 19x y a b æö+=+=ç÷èø，最后利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值.【详解】,0x y >9xy =，+令11sin ,sin 33x y a b ==，且π,0,2a b æöÎç÷èø，所以，有sin sin 1=，即sin cos sin cos sin()1b a a b a b +=+=，故π2a b +=，所以2222111sinsin 19x y a b æö+=+=ç÷èø，则()222222222214411111554999x x y x y y x y x y ææöæö+=+++=çç÷ç÷çè+øèøè=+³，当且仅当22224y x x y =，即x y ==所以224x y +的最小值为1.故选：A【点睛】关键点点睛：根据已知等量关系及三角函数的性质，应用三角换元将已知等式化为sin cos sin cos sin()1b a a b a b +=+=是关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知关于x 的不等式()()2210(0,0)m a x m b x a b ++-->>>的解集为()1,1,2æö-¥-È+¥ç÷èø，则下列结论正确的是（ ）A. 21a b +=B.+C.4411a b +++的最小值为3+ D. 22a b +的最小值为14【答案】BC 【解析】【分析】由已知结合二次不等式与二次方程的关系可得21a b +=，然后结合基本不等式的乘“1”法可判断C ，利用向量的性质可求解B ，根据二次函数的性质可判断D ．【详解】因为关于x 的不等式(m +a )x 2+(m−2b )x−1>0(a >0,b >0)，的解集为()1,1,2¥¥æö--È+ç÷èø,所以12121112b m a m a m -ì-+=ïï+íï-´=-ï+î，所以2a m +=，21b m -=-，所以21a b +=，A 错误；因为0a >，0b >，所以12a b =+³，当且仅当122a b ==时取等号，故18ab £，由于设(,m n==r r，由于m n m n ×£×r r r r，故£=当且仅当13a b =Þ==时等号成立，故B 正确；()()()()4228144481481122121112241224122b a a b a b a b a b a b æö++æöéù+=+=++++=++ç÷ç÷ëû++++++++øèø11234éê³+=+êë，当且仅当()()42281122b a a b ++=++，即35b a =-=-时取等号，C 正确；()222222211125415555a b b b b b b æö+=-+=-+=-+³ç÷èø，当且仅当21,55b a ==时取等号，故最小值为15，D 错误．故选：BC ．10. 如图是函数()()ππsin 0,0,22f x K x K w j w j æö=+>>-<<ç÷èø的部分图象，A 是图象的一个最高点，D 是图象与y 轴的交点，B ，C 是图象与x 轴的交点，且()0,1,D ABC -V 的面积等于π2，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 的图象关于直线5π6x =对称C. 函数()f x 的图象可由()2cos 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到D. 函数()f x 与()cos g x x =在[]0,π上有2个交点【答案】ABC 【解析】【分析】根据部分图像求出()f x 的表达式，再由函数图像平移及正弦函数性质可判断各项.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，由图像可知2K =，1π22ABC S BC K BC =´==V ，即1π22T =，可得πT =，故A 正确；且0w >，所以2ππw=，解得2w =，又因为图像过点()0,1D -，可得2sin 1j =-，即1sin 2j =-，且ππ22j -<<，可得π6j =-，所以()π2sin 26f x x æö=-ç÷èø.对于选项B ：因为5π5ππ3π2sin 2sin 26362f æöæö=-==-ç÷ç÷èøèø，为最小值，所以函数()f x 的图象关于直线5π6x =对称，故B 正确；对于选项C ：将()2cos 2y x =的图象向右平移π3个单位长度，得到ππππ2cos22cos 22sin 23626y x x x éùæöæöæö=-=--=-ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû，所以函数()f x 的图象可由()2cos 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到，故C 正确；对于选项D ：注意到()()π01f f ==-，在同一坐标系内，分别作出函数()f x 与()cos g x x =在[]0,π上的图象，由图象可知：函数()f x 与()cos g x x =在[]0,π上有3个交点，故D 错误；故选：ABC.11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ¢的定义域均为R ，若()()131f x f x x +--=-，且()21f x +是奇函数，令()()g x f x ¢=，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()122y x f x =-+是奇函数 B. ()102g =C.241()138i f i ==å D.241()12i g i ==å【答案】BCD 【解析】【分析】把已知等式中x 换成1x +，再移项变形可得A 错误；()()22f x f x x +--=求导令0x =可得()122g =，再由()21f x +是奇函数，再求导可得B 正确；由奇函数的性质得到①，在令1x =，可得()()200f f +=，再由已知等式得到④，进而得到()()10,31f f ==，然后可得C 正确；由原函数和导函数的奇偶性可得()()21g x g x ++=，进而可得D 正确；【详解】对于A ，因为()()131f x f x x +--=-，把x 换成1x +，则()()22f x f x x +--=，移项化简可得()()112222x f x x f x -+=---，即()()y x y x =-，为偶函数，故A 错误；对于B ，由A 中()()22f x f x x +--=求导可得()()221g x g x ++-=，令0x =，可得()122g =，又()21f x +是奇函数，即()()2121f x f x +=--+，求导可得()()2121g x g x +=-+，即()()110g x g x +--+=，令1x =，则()()200g g -=，所以()()1022g g ==，故B 正确；对于C ，由B 中()()2121f x f x +=--+可得()()110f x f x ++-+=，①由A 中()()22f x f x x +--=，②把①中x 换成1x +可得()()20f x f x ++-=，③由②③可得()()2f x f x x ++=， 所以:()()()()()()()()()()241()1232413232424i f i f f f f f f f f f f ==++++=+++++++åL L L ()()1591317212610141822=+++++++++++22246613822=´+´=故C 正确；对于D ，由B 中()()221g x g x ++-=，又由()()2121g x g x +=-+可得()()11g x g x +=-+，即()()2g x g x =-，所以()()21g x g x ++=所以令1x =可得()()131g g +=；令2x =可得()()241g g +=；LL ，所以()()()()()()()()241()12324132412i g i g g g g g g g g ==++++=++++=åL L ，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题C 选项的关键在于理解抽象复合函数求导，原函数为奇函数则导函数为偶函数这一性质，再利用函数的奇偶性解答.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知幂函数()()215m f x m m x-=+-在(0,+∞)上单调递减，则m =______.【答案】3-【解析】【分析】先根据函数是幂函数计算求参得出3m =-或2m =，最后结合函数的单调性计算得出符合题意的参数.【详解】由题意可得()()215m f x m m x-=+-为幂函数，则251m m +-=，解得3m =-或2m =.当2m =时，()f x x =为增函数，不符合题意；当3m =-时，()4f x x -=在(0,+∞)单调递减，符合题意.故答案为:3-.13. 已知π02a b <<<，且()()sin cos 0,sin sin 6cos cos a b a b a b a b +++==，则()tan a b -=________．【答案】17-【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式求出cos()a b +，再利用和差角的余弦公式求出cos()a b -即可.【详解】由π02a b <<<，得0πa b <+<，π02a b -<-<，由()()sin cos 0a b a b +++=，得tan()1a b +=-，3π4a b +=，由sin sin 6cos cos a b a b =，得5cos cos sin sin cos cos cos()a b a b a b a b =-=-+=即cos cos a b =，则cos()cos cos sin sin 7cos cos a b a b a b a b -=+==因此sin()a b -==，所以sin()1tan()cos()7a b a b a b --==--.故答案为：17-14. 设函数()cos f x x =+，下列说法正确的有________．①函数()f x 的一个周期为2π；②函数()f x 的值域是éùêúëû③函数()f x 的图象上存在点(),P x y ，使得其到点()1,0；④当ππ,44x éùÎ-êúëû时，函数()f x 的图象与直线2y =有且仅有一个公共点．【答案】①④【解析】性，利用函数单调性求解函数值域，判断②；利用cos 1,x éùÎ-êúëûU ，结合两点间距离公式可判断③；结合解()2f x =，根据解的情况判断④，即得答案.【详解】对于①，R x Î，()()()2πcos 2πcos f x x x f x +=++==，故2π是函数()f x 的一个周期，①正确；对于②，()cos cos f x x x =+=+，需满足22cos 10x -³，即21cos ,cos 1,2x x éù³Î-êúëûU ，令cos t x =，1,t éùÎ-êúëûU ，则()f x 即为y t =+，当t ùÎú时，y t =在ùúû上单调递增，则2y ùÎú；当1,t éÎ-êë时，110y ¢=+=+=<，（222(21)4210t t t --=--<0-<）此时y t =+在1,é-êë上单调递减，则y éùÎêúëû，综上，()f x的值域是2éùùêúúëU ，②错误；对于③，由②知，cos 1,x éùÎ-êúëûU ，当cos 1,x éÎ-êë时，3π5π2π,2π,Z 44x k k k éùÎ++Îêúëû满足此条件下的()f x 图象上的点(,)P x y 到(1,0)的距离3π|1|14x ³-³->当cos x ùÎúû时，()2f x ùÎúû,满足此条件下的()f x 图象上的点(,)P x y 到(1,0)的距离|()0|f x ³-³，当且仅当()f x =1x =时等号成立，而()f x =时，πcos 2π,Z 4x x k k =\=+Î或π2π,Z 4xk k =-+Î，满足此条件的x 与1x =矛盾，即等号取不到，故函数()f x 的图象上不存在点(),P x y ，使得其到点()1,0，③错误；对于④，由②的分析可知()2f x =，则cos 1x =，即2π,Z x k k =Î，又ππ,44x éùÎ-êúëû，故当且仅当0x =时，()2f x =，即当ππ,44x éùÎ-êúëû时，函数()f x 的图象与直线2y =有且仅有一个公共点，④正确．故答案为：①④【点睛】关键点点睛：对于函数()cos cos f x x x ==换元法令cos t x =，1,t éùÎ-êúëûU ，得函数y t =+，利用单调性求其值域.,四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知命题:p “2,10x x ax $Î-+=R ”为假命题，命题:q “()2a f x x x=+在(]0,1上为增函数”为真命题，设实数a 所有取值构成的集合为A .（1）求集合R A ð；（2）设集合{}3121B x m x m =+£<+，若R x A Îð是x B Î的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{R 2A x x =£-ð或}0x > （2）32m m ì£-íî或13m ü>-ýþ【解析】【分析】（1）由P ：“R x $Î，210x ax -+=”为假命题时，可转化为关于x 的一元二次方程无解，然后利用判别式即可，命题q 可利用对勾函数的性质求解，取交集即可得a 的取值范围，则集合A 可求，再结合补集运算可得答案；（2）由R x A Îð是x B Î的必要不充分条件可得B R A ð，然后分B 为空集和非空集两种情况讨论即可.【小问1详解】因为命题P 为假命题，所以关于x 的一元二次方程210x ax -+=无解，即()22Δ440a a =--=-<，解得22a -<<，因为命题q 为真命题，当0a £时，()2af x x x=+在(0,1]上为增函数，满足题意；当0a >时，结合对勾函数的性质可知()2a f x x x =+在上单调递减，不满足题意；故集合{}20A a a =-<£，所以{R 2A x x =£-ð或}0x >；【小问2详解】由R x A Îð是x B Î的必要不充分条件，则B R A ð，当B =Æ时，3121m m +³+，解得0m ³，此时满足B R A ð，当B ¹Æ时，则3121212m m m +<+ìí+£-î或3121310m m m +<+ìí+>î，的解得32m £-或103m -<<，综上所述，m 的取值范围是32m m ì£-íî或13m ü>-ýþ.16. 已知函数()3231f x x x ax =-+-．（1）若()f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线经过点()0,1-，求0x ；（2）若12,x x 是()f x 的两个不同极值点，且()()122f x f x +>-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）00x =或032x = （2）(2,3)【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解作答.（2）利用极值点的意义，结合韦达定理、根的判别式列出不等式，求解作答.【小问1详解】函数32()31f x x x ax =-+-，求导得2()36f x x x a ¢=-+，则320000()31f x x x ax =-+-，2000()36f x x x a ¢=-+，于是函数()f x 的图象在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x ¢-=-，即232000000363()()1y x x a x x x x ax =-+-+-+-，而切线过点()0,1-，则232000000136))(1(3x x a x x x ax -=-+-+-+-，整理可得()020230x x -=，解得00x =或032x =，所以00x =或032x =【小问2详解】由（1）知，方程()0f x ¢=，即2360x x a -+=有两个不等实根12,x x ，则36120a D =->，解得3a <，且121223x x a x x +=ìïí=ïî，于是323212111222)()((31)(31)f x f x x x ax x x ax +=-+-+-+-22221211221212((3(2))())x x x x x x x x a x x =+-+-+++-.122222121()222()2226x x a x a x a x x =--+-+=-++-=-，由()()122f x f x +>-，得262a ->-，解得2a >，因此23a <<，所以实数a 的取值范围是(2,3).17. 已知定义域为{}0A x x =¹的函数()f x 满足对任意12,x x A Î，都有()()()121221f x x x f x x f x =+（1）求证：()f x 是奇函数；（2）当1x >时，()0f x <．若关于x 的不等()()()()12ln 12ln 11(0)ax f x x f ax a +->-+>在[]2,3上恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析 （2）2ln 32[,)3-+¥【解析】【分析】（1）利用赋值法，先求出(1)f 及(1)f -的值，再证明()()f x f x -=-即可；（2）由题意得f (2ln x−1)(2ln x−1)>ax ()()f x g x x =，得出()g x 的奇偶性及在(0,)+¥上的单调性，继而可得2ln 11x ax -<+，结合题意可得2ln 2x a x ->，令2ln 2()x h x x-=，利用导数求出()h x 在[]2,3上的最大值即可求解.【小问1详解】证明：令121x x ==，得(1)(1)(1)f f f =+，即(1)0f =，令121x x ==-，得(1)(1)(1)0f f f =----=，即(1)0f -=，令12,1x x x ==-，()(1)()()f x xf f x f x -=--=-，所以()f x 是奇函数.【小问2详解】(ax +1)f (2ln x−1)>(2ln x−1)f (ax +1)，[]2,3x ÎQ ，且0a >，所以f (2ln x−1)(2ln x−1)>f (ax 1)(ax 1)，令g(x)=f(x)x，g (2ln x−1)>g (ax +1)，因()()()121221f x x x f x x f x =+，为所以()()()12211221f x x f x f x x x x x =+，则1212()()()g x x g x g x =+，设120x x >>，则121x x >，所以1211220x f x x g x x x æöç÷æöèø=<ç÷èø，因为11122222()()()(()x xg x g x g x g g x x x =×=+<，所以()g x 在(0,)+¥上是减函数，()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，所以()g x 为偶函数，所以2ln 11x ax -<+在[]2,3上恒成立，即12ln 1ax x +>-或112ln ax x +<-，即2ln 2x a x ->或2ln xa x <-（负值，舍去），令2ln 2()x h x x -=，即max ()a h x >，2222ln 242ln ()x x x x h x x x ×-+-¢==，令()0h x ¢=，解得2e x =，所以[]2,3x Î，()0h x ¢>，()h x 单调递增，所以max 2ln 32()(3)3h x h -==，所以2ln 323a ->.故a 的取值范围是2ln 32[,)3-+¥.18. 记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．（1）求A 取值的范围；（2）若2a =，求ABC V 周长的最大值；（3）若2,2b A B ==，求ABC V 的面积．【答案】（1）π(0,]3A Î； （2）6；（3）2.【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析可得2cos 2a A bc=，在利用余弦定理结合基本不等式分析运算即可；（2）由（1）可得22228b c a +==，结合基本不等式分析运算；（3）根据题意结合正弦定理可求得,,A B C ，利用正弦定理以及面积公式分析运算.【小问1详解】由题设sin (sin cos cos sin )sin (sin cos cos sin )C A B A B B C A C A -=-，所以sin sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin C A B C A B B C A B C A -=-，sin (sin cos sin cos )sin sin()2sin sin cos A C B B C A B C B C A +=+=，又πA B C ++=，则2sin 2sin sin cos A B C A =，根据正弦边角关系，易得22cos a bc A =，则2cos 2aA bc=，又222cos 2b c a A bc+-=，则22222b c a bc +=³，当且仅当b c =时取等号，所以21cos 22a A bc =³，结合(0,π)A Î，可得π(0,]3A Î；【小问2详解】由（1）有22228b c a +==，又222()2b c b c bc +=+-，又222222b c a bc a bc +=³Þ³，则222()2()2b c bc b c a +-³+-，所以228()8()164b c b c b c ³+-Þ+£Þ+£，当且仅当2b c ==取等号，所以ABC V 周长的最大值6.【小问3详解】由2A B =，且()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以()sin sin sin sin C B B C A =-，而sin 0B ¹，则()sin sin C C A =-，由,(0,π)A C Î，显然C C A ¹-，故πC C A +-=，即π2AC +=，结合πA B C ++=，可得ππ5π,,488A B C ===，由2b =，而ππ2sin()sin 228ππsin sin sin sin tan 88c b b C c C B B +=Þ===，由2π2tan π8tan 1π41tan 8==-，整理得2ππtan 2tan 1088+-=，可得πtan 18=-（负值舍），所以1)c ==+，故11sin 21)222ABC S bc A ==´´+=+V 19. 已知函数()ln sin f x x ax x =++，其中(]0,x p Î.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点,22f pp æöæöç÷ç÷èøèø处的切线方程；（2）判断函数()f x 是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；（3）讨论函数()f x 在,2p p éùêúëû上零点的个数.【答案】（1）2ln2y x pp=+；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）求出2f p æöç÷èø、2f p æö¢ç÷èø，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）对实数a 的取值进行分类讨论，分析导数()f x ¢在()0,p 上的符号变化，由此可得出结论；（3）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在,2p p éùêúëû上的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】（1）当0a =时，()ln sin f x x x =+，则()1cos f x x x¢=+，所以，1ln 22f p p æö=+ç÷èø，22f p pæö¢=ç÷èø，所以，曲线()y f x =在点,22f pp æöæöç÷ç÷èøèø处的切线方程为21ln 22y x p p p æö--=-ç÷èø，即2ln 2y x p p =+；（2）()1cos f x a x x ¢=++，设()1cos g x a x x=++，则()21sin 0gx x x¢=--<对任意的(]0,x p Î恒成立，故()f x ¢在(]0,p 上单调递减.所以，()()min 11fx f a p p¢¢==+-，当0x →时，()f x ¢→+¥.①若()110f a p p¢=+-<，即11a p<-时，由零点存在定理可知，存在()00,x p Î，使得()00f x ¢=，当()00,x x Î时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，当()0,x x p Î时，()0f x ¢<，此时函数()f x 单调递减.所以，()f x 在0x x =处取得极大值，不存在极小值；②若()0fp ¢³，则11a p³-，()0f x ¢³对任意的(]0,x p Î恒成立，此时，函数()f x 在(]0,p 上单调递增，此时函数()f x 无极值.综上所述，当11a p<-时，函数()f x 有极大值，无极小值；当11a p³-时，函数()f x 无极值；（3）分以下情况讨论：①若11a p ³-，函数()f x 在,2p p éùêúëû上单调递增，则()min 11ln 1ln 11ln 022222222a f x f p p p p p p p p æöæö==++³+-+=++>ç÷ç÷èøèø，此时，函数()f x 在,2p p éùêúëû上无零点；②若11a p<-，由（2）可知，由零点存在定理可知，存在()00,x p Î，使得()0001cos 0f x a x x ¢=++=，且函数()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x p 上单调递减.从而有001cos a x x =--，设()c 1os h x x x =--，则()2sin 01x xh x ¢=+>对任意的(]0,x p Î恒成立，从而当0x 增大时，a 也增大.（i ）若00,2x p æùÎçúèû，此时2,a p æùÎ-¥-çúèû，此时函数()f x 在,2p p éùêúëû上单调递减，若()02f f p p æö>ç÷èø，可得21ln 2a p p æö<-+ç÷èø或ln a p p >-（舍去）.此时函数()f x 在,2pp éùêúëû上无零点；若()02f f p p æö<ç÷èø，可得2ln 1ln 2a p p p p æö-+<<-ç÷èø，此时函数()f x 在,2p p éùêúëû上有且只有一个零点.当2ln 12a p p æö=-+ç÷èø时，02f æö=ç÷èøp ，()0f p ¹，此时函数()f x 在,2p p éùêúëû上只有一个零点；（ii ）当0,2x p p æùÎçúèû时，此时21,1a p p æùÎ--çúèû，此时函数()f x 在0,2x p éö÷êëø上单调递增，在(]0,x p 上单调递减.ln 10222a f p p p æö=++>ç÷èø，()ln f a p p p =+，所以，()()00000000max ln sin ln sin cos 1f x f x x ax x x x x x ==++=+--，设()ln sin cos 1m x x x x x =+--，则()sin 01x x m x x ¢=+>对任意,2x p æùÎp çúèû恒成立，所以，函数()m x 在,2p p æùçúèû上单调递增，所以，()0ln 022f x m p p æö>=>ç÷èø，若()0f p >，即ln a pp >-，即ln 11a pp p -<<-，此时函数()f x 在,2p p éùêúëû上无零点；若()0fp £，即ln a pp £-，即2ln a ppp-<£-时，此时函数()f x 在,2p p éùêúëû上有且只有一个零点.综上所述，当2ln ,1ln ,2a p p p p æöæöæöÎ-¥-+-+¥ç÷ç÷ç÷èøèøèøU 时，函数()f x 在,2p p éùêúëû上无零点；当2ln 1ln ,2a p p p p éùæöÎ-+-ç÷êúèøëû时，函数()f x 在,2p p éùêúëû上有且只有一个零点.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；的（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.。
高中高三数学11月月考试题 文 试题
卜人入州八九几市潮王学校和诚2021--2021高三文科11月月考数学试题考试时间是是120分钟, 总分值是150分一选择题〔每空5分，一共60分〕1．设集合，那么等于〔〕A．B．C．D．2．是虚数单位，复数，假设在复平面内，复数与所对应的点关于虚轴对称，那么A．B．C．D．3．等比数列中有，数列是等差数列，且，那么〔〕A．2 B．4 C．8 D．164．向量，点，，那么向量在方向上的投影为〔〕A．B．C．D．5．函数，那么以下结论错误的选项是( )A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．的一个零点为D．在区间上单调递减6．函数的导函数为，且满足〔其中为自然对数的底数〕，那么〔〕A．1 B．-1 C．D．7．设奇函数f(x)的定义域为R,且,当x时f(x)＝,那么f(x)在区间上的表达式为A．B．C．D．8．以下说法不正确的选项是〔〕A ．方程()0f x =有实根⇔函数()y f x =有零点B ．2360xx -++=有两个不同的实根C ．函数()y f x =在[],a b 上满足()()0f a f b ⋅<，那么()y f x =在(),a b 内有零点D ．单调函数假设有零点，至多有一个9．等差数列的前项和分别为，假设，那么的值是〔〕A ．B ．C ．D ．10．，使，都有，以下结论中正确的选项是A ．“p ∧q 〞B ．“p ∧q 〞C ．“p ∧q 〞D ．“p ∨q 〞 11．函数的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为，那么的值是〔〕A ．B ．C ．1D ．212如图，在△中，点是线段上两个动点，且，那么的最小值为A ．B ．C ．D ．二、填空题13．(5分)平面向量，满足，，，那么向量，夹角的余弦值为_______．14．〔5分〕等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-，那么456a a a ++=__________．15．〔5分〕①在同一坐标系中，与的图象关于轴对称；②是奇函数； ③的图象关于成中心对称；④的最大值为； ⑤的单调增区间：。
高三数学11月月考文科试题
高三11月月考试题文 科 数 学注意事项：1．本次数学考试满分150分，答题时间120分钟。
2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡指定的边框内上，超出边框或者写在本试题卷上无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 是虚数单位，复数52i-= (A) i －2(B) i ＋2 (C) －2 (D) 22．命题“若x =300°，则cos x =12”的逆否命题是(A) 若cos x ＝12，则x ＝300°(B) 若x ＝300°，则cos x ≠12(C) 若cos x ≠12，则x ≠300°(D) 若x ≠300°，则cos x ≠123．抛物线22x y =的焦点坐标是(A) )81,0( (B) )21,0( (C) )0,81( (D) )0,21( 4．函数22()log (4)f x x =-定义域为 (A) [2,2]-(B) (2,2)-(C) (,2)(2,)-∞+∞(D) (,2][2,)-∞+∞5．若点(),9a 在函数3xy =的图象上，则6a tan π的值为 (A) 0 (B)33(C) 1 (D) 36．已知x 0是函数1()e x f x x=-的一个零点（其中e 为自然对数的底数），若10(0,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞，则(A) 12()0()0f x f x ＜，＜ (B) 12()0()0f x f x ＜，＞ (C) 12()0()0f x f x ＞，＜(D) 12()0()0f x f x ＞，＞7．已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的 距离为（A（B ）3 （C（D ）3m 8. 设F 为抛物线C 的方程为y 2＝3x ，的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则AB = （A（B ）6 （C ）12 （D）9．已知圆C 的圆心在曲线y ＝2x 上，圆C 过坐标原点O ，且分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，则△OAB 的面积等于(A) 2 (B) 3(C) 4(D) 810．P 是△ABC 内一点，△ACP ，△BCP 的面积分别记为S 1，S 2，已知344CP CA CB λλ=+，其中(01)λ∈，，则12SS = (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。
高三数学11月月考试题 文含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校第三2021届高三数学11月月考试题文〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，总分值是60分，每一小题只有一个正确答案〕,那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】,选B.2.是虚数单位，复数满足，那么的虚部是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以的虚部是，选D.3.，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用余弦的二倍角公式可得，进而利用同角三角根本关系，使其除以，转化成正切，然后把的值代入即可．详解：由题意得.∵∴应选A.点睛：此题主要考察了同角三角函数的根本关系和二倍角的余弦函数的公式．解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化．“〞是“〞的充要条件；，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】函数是增函数，所以和关于直线对称，没有交点，所以不存在，使 D.，满足，且，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】所以过点时，的最大值为5。
应选C。
的公差为，前项和为，且，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用向量的线性运算把用表示出来后，由向量相等得出数列的递推关系．详解：∵，∴，即，又，∴，∴，∴．应选B．点睛：等差数列问题可用根本量法求解，即把条件用首项和公差表示并求出即可得通项公式和前项和公式．根本量法的两个公式：，．满足且,的夹角为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用向量的平方即为模的平方，求得，由向量数量积的夹角公式，计算可得所求值．【详解】由得，①又由得，②将②代入①式，整理得：，即又因为，即应选.【点睛】此题考察向量数列的定义和夹角的求法，考察向量的平方即为模的平方，考察运算才能，属于中档题．，假设是的等比中项，那么的最小值为〔〕A.8B.C.1D.4【答案】D【解析】∵是的等比中项，∴3=3a•3b=3a+b，∴a+b=1．a＞0，b＞0．∴==2．当且仅当a=b=时取等号．应选D．点睛：在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误9.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】作出立体图形为：故该几何体的体积为：在上是减函数，那么a的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令t＝，那么由题意可得函数t在区间[-2，+∞〕上为增函数且t〔-2〕＞0，由此解得实数a的取值范围．【详解】令t＝，那么函数g〔t〕t在区间〔0，+∞〕上为减函数，可得函数t在区间[2，+∞〕上为增函数且t〔-2〕＞0，故有，解得﹣4≤a＜5，应选：B．【点睛】此题主要考察复合函数的单调性，要注意函数的定义域及复合函数单调性的结论：同增异减的应用，此题属于根底题.，〔为自然对数的底数〕，且,那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】，那么函数为偶函数且在上单调递增，，，即，两边平方得，解得或者，应选C.，那么方程恰有两个不同的实根时，实数范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由方程f〔x〕=kx恰有两个不同实数根，等价于y=f〔x〕与y=kx有2个交点，又k表示直线y=kx的斜率，数形结合求出k的取值范围．【详解】∵方程f〔x〕=kx恰有两个不同实数根，∴y=f〔x〕与y=kx有2个交点，又∵k表示直线y=kx的斜率，x＞1时，y=f〔x〕=lnx，∴y′=；设切点为〔x0，y0〕，那么k=，∴切线方程为y﹣y0=〔x﹣x0〕，又切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，如下列图；结合图象，可得实数k的取值范围是.应选：C【点睛】此题考察了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进展解答，属于中档题．二、填空题〔本大题一一共4个小题，每一小题5分，一共20分〕，在高三8次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其生的平均成绩与学生的成绩的众数相等，那么__________．【答案】5【解析】由题意，得，解得.的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位长度得到的图象，那么_________.【答案】【解析】【分析】由条件根据函数的图象变换规律，，可得的解析式，从而求得的值．【详解】将函数向左平移个单位长度可得的图象；保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍可得的图象，故，所以.【点睛】此题主要考察函数〕的图象变换规律，属于中档题．15.三点在半径为5的球的外表上，是边长为的正三角形，那么球心到平面的间隔为__________．【答案】3【解析】设平面截球所得球的小圆半径为，那么，故，那么球心到平面的间隔为，故答案为3.，令，那么称为的“伴随数列〞，假设数列的“伴随数列〞的通项公式为，记数列的前项和为，假设对任意的正整数恒成立，那么实数取值范围为__________．【答案】【解析】由题意得,所以,相减得-，所以,也满足.因此数列的前项和为,点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求.应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.三、解答题〔本大题一一共5题，每一小题12分，一共60分〕17.〔此题总分值是12分〕在△ABC中，A=，．〔I〕求cosC的值；〔Ⅱ〕假设BC=2，D为AB的中点，求CD的长．【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔Ⅰ〕在三角形中，，再求出，代入即得；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得，再由正弦定理得，解得．在中，用余弦定理可求得.试题解析：〔Ⅰ〕且，∴2分4分6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得8分由正弦定理得，即，解得．10分在中，，所以12分考点：1、三角恒等变换；2、解三角形.18.某贫困地区有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户.为调查该地区2021年家庭收入情况，从而更好地施行“精准扶贫〞，采用分层抽样的方法，搜集了150户家庭2021年年收入的样本数据〔单位：万元〕.〔Ⅰ〕应搜集多少户山区家庭的样本数据？〔Ⅱ〕根据这150个样本数据，得到2021年家庭收入的频率分布直方图〔如下列图〕，其中样本数据分组区间为，，，，，，.假设将频率视为概率，估计该地区2021年家庭收入超过万元的概率；〔Ⅲ〕样本数据中，由5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2021年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有的把握认为“该地区2021年家庭年收入与地区有关〞？附：【答案】〔Ⅰ〕45；〔Ⅱ〕；〔Ⅲ〕有的把握认为“该地区2021年家庭年收入与地区有关〞.【解析】分析：〔Ⅰ〕利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等求得答案；〔Ⅱ〕根据频率分布直方图可得该地区2021年家庭收入超过万元的概率；〔Ⅲ〕由题意列出2×2列联表，计算出的值，结合附表得答案．详解：〔Ⅰ〕由可得每户居民被抽取的概率为0.1，故应户山区家庭的样本数据．．〔Ⅲ〕样本数据中，年收入超过2万元的户数为户．而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，故列联表如下：所以，∴有的把握认为“该地区2021年家庭年收入与地区有关〞．点睛：此题主要考察了HY性检验的应用，属于中档题.解决HY性检验的三个步骤：①根据样本数据制成2×2列联表；②根据公式，计算的值；③查值比较的值与临界值的大小关系，作出判断.满足.〔1〕证明数列是等差数列，并求的通项公式；〔2〕假设数列满足，求数列的前项和.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】分析：〔1〕两边取倒数可得，从而得到数列是等差数列，进而可得的通项公式；〔2〕，利用错位相减法求和即可.详解：〔1〕∵，∴，∴是等差数列，∴，即；〔2〕∵，∴，那么，两式相减得，∴.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要擅长识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n〞与“qS n〞的表达式时应特别注意将两式“错项对齐〞以便下一步准确写出“S n－qS n〞的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，假设等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.,三棱柱中,侧面为菱形,.(1)证明:;(2)假设,且平面平面,求点到平面的间隔.【答案】(1)见解析(2).【解析】试题分析：(1)连结交于,连结,由题意易得,那么有平面,可得;(2)由,那么易得结果.试题解析：(1)连结交于,连结,在菱形中,,∵为中点,∴,又∵,∴平面,∴.(2)∵侧面为菱形,,∴为等边三角形,即.又∵平面平面,平面平面,又平面,∴平面,在,在,∴为等腰三角形,∴,∴,设到平面的间隔为,那么,∴.，其中．〔Ⅰ〕当时，判断函数在定义域上的单调性；〔Ⅱ〕当时，求函数的极值点〔Ⅲ〕证明：对任意的正整数，不等式都成立．【答案】〔1〕在定义域上单调递增；〔II〕时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。
四川省成都市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题含答案
成都市高2022级高三11月月考数学试题（答案在最后）总分150分时间120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若命题p ：20430x x x ∃>-+>，，则命题p ⌝为（）A.20430，∃>-+≥x x xB.20430，∃≤-+≤x x xC.20430，∀>-+≤x x xD.20430，∀≤-+≤x x x 【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，写出结论即可.【详解】命题p 是一个存在性命题，说明存在使2430x x -+>的正数x ，则它的否定是：不存在使2430x x -+>的正数x ，即对任意的正数2430x x -+>都不能成立，由以上的分析，可得p ⌝为：20430，∀>-+≤x x x ，故选：C.2.在ABC V 中，“π6A >”是“1sin 2A >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合正弦函数的性质由1sin 2A >，可得π5π66A <<，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】在ABC V 中，()0,πA ∈，由1sin 2A >，可得π5π66A <<，所以“π6A >”是“1sin 2A >”的必要不充分条件.故选：B .3.已知向量,a b的夹角为2π3，且5,4a b == ，则a 在b 方向上的投影向量为（）A.38b -B.58b -C.58bD.78b- 【答案】B 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式，结合已知条件，直接求解即可.【详解】由题可知：12π54cos 523448a b a b b b b b bb bb⎛⎫⨯⨯- ⎪⋅⎝⎭⋅=⨯=⨯=-，故a在b 方向上的投影向量为58b - .故选：B.4.已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若342n n S n T n +=+，则62102a b b +（）A.11113B.3713C.11126D.3726【答案】B 【解析】【分析】计算出11113713S T =，由等差数列的性质得611116a S T b =，6621062a a b b b =+，从而得到答案.【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，满足342n n S n T n +=+，所以111131143711213S T ⨯+==+，又11161116111111()211()2a a a Sb b T b +==+，故666210662322371a a a b b b b ===+，故选：B5.遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y 与初次记忆经过的时间x （小时）的大致关系：0.0610.6y x =-，则记忆率为20%时经过的时间约为（）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A.80小时B.90小时C.100小时D.120小时【答案】C 【解析】【分析】根据题设得到0.0643x =，两边取对数求解，即可得出结果.【详解】根据题意得0.06110.65x =-，整理得到0.0643x =，两边取以10为底的对数，得到4lg 0.06lg 3x =，即2lg 2lg 30.06lg x -=，又lg 20.30,lg 30.48≈≈，所以0.60.48lg 2lg1000.06x -≈==，得到100x ≈，故选：C.6.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为43，面积为4π3的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（）A.256π63B.4πC.9π2D.9π【答案】A 【解析】【分析】求出圆锥的底面圆半径和高，再求出外接球的半径，由此求得圆锥的外接球的面积.【详解】设圆锥的底面圆半径为r ，则该圆锥的侧面展开图扇形弧长为2πr ，于是144π2π233r ⋅⋅=，解得1r =，该圆锥的高为73h ==，设该圆锥的外接球的半径为R ，则球心到圆锥底面圆距离||d h R =-，由球的性质知，2227)13R R -+=，解得R =所以该圆锥的外接球的面积为22564ππ63S R ==.故选：A 7.若()*n n ∈N次多项式()()1212100nn nnn n P t a ta t a t a t a a --=++⋅⋅⋅+++≠满足()cos cos n P x nx =，则称这些多项式()n P t 为切比雪夫多项式．如，由2cos 22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式()2221P x x =-，同理可得()3343P x x x =-．利用上述信息计算sin 54︒=（）A.14+ B.14C.48 D.48【答案】A 【解析】【分析】根据切比雪夫多项式得()33cos 4cos 3cos cos3P θθθθ=-=，即可取18θ= ，结合二倍角公式以及同角关系求解.【详解】由于()33cos 4cos 3cos cos3P θθθθ=-=,cos54sin 36︒=︒，即3cos544cos 183cos182sin18cos18︒=︒-︒=︒︒，变形可得24cos 1832sin18︒-=︒，即214sin 182sin18-=︒，解可得：51sin184︒=或514-（舍)，则有21cos3612sin 184+︒=-=︒，即1sin 544+︒=，故选：A8.函数()2e 12e 21x x xh x -=++，不等式()()2222h ax h ax -+≤对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.()2,-+∞ B.(),2-∞ C.()0,2 D.[]2,0-【答案】D 【解析】【分析】令()()1f x h x =-，根据奇偶性定义判断()f x 为奇函数，再应用导数研究()f x 的单调性，进而将目标式转化为2220ax ax +-≤在R 上恒成立，求参数范围.【详解】因为()2e 122e e e 2121x x xx x xh x --=+=-+++，所以()()22222e e e e 221212121x x x x xx x x x h x h x ---⋅+-=+-++-=+=++++，令()()1f x h x =-，则()()0f x f x +-=，得()f x 为奇函数，又()()()222ln41ln4e e e e e 121e 21222x x x x x xx x x x xf x --'⎛⎫=+-=+-=+- ⎪+⎝⎭+++''，1e 2e x x +≥，当且仅当1e e xx =，即0x =时等号成立；ln4ln4ln2142222x x ≤=++，当且仅当122xx=，即0x =时等号成立；所以()0f x '>，得()f x 在R 上为增函数，因为()()()()()()22222222022h ax h ax f ax f ax f ax f ax -+≤⇔-+≤⇔-≤-，所以2220ax ax +-≤在R 上恒成立，显然0a =时满足；当0a ≠，需满足20Δ480a a a <⎧⎨=+≤⎩，解得20a -≤<，综上，[]2,0a ∈-.故选：D【点睛】关键点点睛：注意构造()()1f x h x =-，判断其奇偶性、单调性，最后将问题化为2220ax ax +-≤在R 上恒成立为关键.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设1z ，2z 为复数，且120z z ≠，则下列结论正确的是（）A.1212z z z z = B.1212z z z z +=+C.若12=z z ，则2212z z = D.1212z z z z ⋅=⋅【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，由复数的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+(,,,)a b c d ∈R ，对于选项A ，因为12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++，所以12z z =且12z z 1212z z z z =，故A 正确；对于选项B ，因为12()()i z z a c b d +=+++，1i z a b =-，2i z c d =-，则12()()z z a c b d i +=+-+，12()()i z z a c b d +=+-+，所以1212z z z z +=+，故B 正确；对于选项C ，若12=z z ，例如11i z =+，21i z =-，满足12z z ==，但221(1i)2i z =+=，222(1i)2i z =-=-，即2212z z ≠，故C 错误；对于选项D ，因为21(i)(i)()()i z a b c d ac bd c z ad b ⋅=++=-++，所以21()()i z ac bd a b z d c ⋅=--+，12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+，所以1212z z z z ⋅=⋅，故D 正确.故选：ABD.10.下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（）A.数据1-，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1B.已知随机变量(),X B n p ，若()40E X =，()30D X =，则160n =C.若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且()()1P N M P N +=，则M 与N 相互独立D.若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线132y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为12-【答案】ABC 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算判断A ，由二项分布的数学期望与方差公式计算可判断B ，根据相互独立事件及条件概率的概率公式计算可判断C ，根据相关系数的定义可判断D.【详解】对于选项A ，8个数据从小到大排列，由于825%2⨯=，所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数0+2=12，故A 正确；对于选项B ，因为(),X B n p ~，()40E X =，()30D X =，所以40(1)30np np p =⎧⎨-=⎩，解得1,1604p n ==，故B 正确；对于选项C ，由()()1P N M P N +=，可得()()1P N M P N =-，即()()()P NM P N P M =，即()()()P NM P N P M =，所以M 与N 相互独立，故C 正确；对于选项D ，因为样本点都在直线132y x =-+上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为1-，故D 错误.故选：ABC.11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点()()1122,,,A x y B x y 的曼哈顿距离()1212,d A B x x y y =-+-，则下列结论正确的是（）A.若点()()1,3,2,4P Q ，则(),2d P Q =B.若对于三点,,A B C ，则“()()(),,,d A B d A C d B C +=”当且仅当“点A 在线段BC 上”C.若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y -+=上，则(),d P M 的最小值是25-D.若点M 在圆224x y +=上，点P 在直线280x y -+=上，则(),d P M 的最小值是4【答案】AD 【解析】【分析】由定义即可判断A 选项，由数形结合即可判断出B 选项，C,D 选项是求点与点的“曼哈顿距离”距离，由基本不等式转化成点到点的平面距离，借助数形结合即可得出判断．【详解】对于A 选项：由定义可知(),21432d P Q =-+-=，故A 选项正确；对于B 选项：设点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 则()()()121213132323,,,,d A B d A C x x y y x x y y d B C x x y y +=-+-+-+-=-+-显然，当点A 在线段BC 上时，121323121323,x x x x x x y y y y y y -+-=--+-=-，()()(),,,d A B d A C d B C ∴+=成立，如图：过点B 作BE y ⊥轴，过点C 作EE x ⊥轴，且相交于点E ，过点A 作AD BE ⊥与D ，过点A 作AF CE ⊥与F ，由图可知121213132323x x y y x x y y BD AD AF CF BE CE x x y y -+-+-+-=+++=+=-+-，显然此时点A 不在线段BC 上，故B 选项不正确；对于C ，D 选项：当0,0a b >>a b ≥+≥∴想要(),d P M 最小，点M 到直线距离最小时取得，∴过原点O 作OM ⊥直线280x y -+=交圆于M ，如图：设(),M a b ，则25452,55OMbk M a ⎛⎫==-∴- ⎪ ⎪⎝⎭设点0,0，则()00,d P M x y =+-，又 当0,ab a b =+≥①当005x +=时，由()00544,25x y d P M =+=-+004x y =++-=-②当04505y -=时，由002885x y =-=-()00,8d P M x y =+-=-又48-<- ；(),d P M ∴的最小值为：4.故C 选项错误，D 选项正确.故选：AD【点睛】思路点睛：本题考查了新概念问题，解决新概念问题首先要确定新概念的定义或公式，将其当做一种规则和要求严格按照新概念的定义要求研究，再结合所学相关知识处理即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(12)(13)x x -+的展开式中，含2x 的项的系数为________．（用数字作答）【答案】99【解析】【分析】先求二项式6(13)x +的展开式的通项，再由乘法法则求出6(12)(13)x x -+的展开式中含2x 的项即可得解.【详解】由题意得6(13)x +的展开式的通项为()166C 33C rr r r rr T x x +==，所以6(12)(13)x x -+的展开式中，含2x 的项为2221112663C 23C 99x x x x -⋅=，所以展开式中含2x 的项的系数为99.故答案为：99.13.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点和上顶点分别为F 和A ，连接AF 并延长交椭圆C 于B ，若32AOB AOF S S = ，则椭圆C 的离心率为_______．【答案】3【解析】【分析】先根据面积比例关系得出点B 的横坐标，点在直线AF 上得出B 的坐标，最后应用点B 在椭圆上得出2213c a =得出离心率.【详解】因为32AOB AOF S S = ，所以132122BAOB AOF OA x S S OA c ⨯==⨯ ，所以32B x c =，设()()0,,,0A b F c ，设直线():bAF y x c c =--，点B 在直线AF 上，所以2B by =-，点B 在椭圆上，可得22229441b ca b +=，所以2213c a =，即得3c a =.故答案为:3.14.设数列{}n a 的前n 项和为21212,1,1,23n nn n a a S a a a +++===．对任意()()*22221N ,21log log n n n n S a a λ+∈++>恒成立，则λ的取值范围为______.【答案】3,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据递推关系可得{}1n n a a +-为等比数列，即可结合累加法求解12n n a -=，由等比求和公式得21nn S =-，即可代入不等式化简得()22212n n n λ+>-⋅，构造()2212n nn b n =-⋅，作差得数列单调性，即可求解.【详解】由21213n nn a a a +++=，得()2112n n n n a a a a +++-=-，又211a a -=，所以数列{}1n n a a +-是以2为公比，1为首项的等比数列，所以112n n n a a -+-=，则()()()1231111221112222211212n n n n n n n n n a a a a a a a a --------=-+-++-+=+++++=+=- ，进而数列{}n a 是以2为公比，1为首项的等比数列，可得122112nn n S -==--，不等式()()2222121log log n n n S a a λ+++>恒成立，即()()()2222122212nnn n n n λλ-+>⇒+>-⋅．设()2212n n n b n =-⋅，则()()()()()223211112121221221212n n n n n n n n n b b n n n n ++++-+--=-=+⋅-⋅-⋅+⋅，当1n ≥时，10n n b b +-<，为递减数列，所以()1max 12n b b ==，所以122λ+>，解得32λ>-．故答案为：3,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.锐角ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos 2b a B c +=，且a =，3b =.（1）求边c 的值；（2）求内角A 的角平分线AD 的长．【答案】（1）2c =（2）5AD =【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换运算求解可得1cos 2A =，即可利用余弦定理求解1c =或2c =，利用锐角三角形即可得2c =；（2）利用等面积法，结合三角形的面积公式即可求解．【小问1详解】因为2cos 2b a B c +=，由正弦定理可得：()sin 2sin cos 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin B A B C A B A B A B +==+=+，即sin 2cos sin B A B =，又因为π02B <<，则sin 0B ≠，可得1cos 2A =，又因为π02A <<，所以π3A =．由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即227323cos60c c =+-⨯⨯⨯︒，则2320c c -+=，解得：1c =，或2c =，由于三角形为锐角三角形，故2220a c b +->，故220c ->，进而只取2c =，故2c =.【小问2详解】根据面积关系可得ABC ABD ACD S S S =+ ，即11123sin 602sin 303sin 30222AD AD ⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒，解得：5AD =．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，2PD =，1AD =，PD DA ⊥，PD DC ⊥，底面ABCD 为正方形，M ，N 分别为AD ，PD 的中点.（1）求点B 到平面MNC 的距离；（2）求直线MB 与平面BNC 所成角的余弦值.【答案】（1）63（2）5【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，运用向量点到平面的距离公式计算即可；（2）先求出直线与平面所成的角，可通过向量法，求出平面的法向量，再根据向量的夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值，最后根据三角函数关系求出余弦值.【小问1详解】因为2PD =，1AD =，PD DA ⊥，PD DC ⊥，底面ABCD 为正方形，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,2)P ，因为M ，N 分别为DA ，DP 中点，所以1(,0,0)2M ，(0,0,1)N ，则1(,0,1)2MN =- ，1(,1,0)2MC =- ，1(,1,0)2MB = ，设平面MNC 的法向量为(,,)n x y z =，由00n MN n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即102102x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x =，则1y =，1z =，所以(2,1,1)n = ，则12111022MB n ⋅=⨯+⨯+⨯=，||n == 根据点B 到平面MNC的距离公式|63|||MB n d n ==⋅=.【小问2详解】首先设平面BNC 的法向量(,,)m a b c =，(1,1,1)BN =-- ，(1,0,0)BC =- ，由00m BN m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00a b c a --+=⎧⎨-=⎩，令1c =，则0a =，1b =，所以(0,1,1)m = ，设直线MB 与平面BNC 所成角为θ，则10111012MB m ⋅=⨯+⨯+⨯=，5||2MB ==，||m == ，所以||10sin 5||||MB m MB m θ⋅== ，因为22sin cos 1θθ+=，所以cos 5θ==，则直线MB 与平面BNC 所成角的余弦值155.17.某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的22⨯列联表：产品合格不合格合计调试前451560调试后35540合计8020100（1）根据表中数据，依据0.01α=的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；（2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为X ，求X 的分布列和数学期望；（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y ，求使事件“Yk =”的概率最大时k 的取值.参考公式及数据：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.0250.010.0050.001x α5.0246.6357.87910.828【答案】（1）依据0.01α=的独立性检验，可认为参数调试与产品质量无关联（2）分布列见解析，数学期望为94（3）875【解析】【分析】（1）计算2χ的值，将其与0.01α=对应的小概率值比较即得；（2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数X 的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得；（3）分析得出7(1000,8Y B ，利用二项分布概率公式得出1000100071()C ()(),0,1,,1000,88kk k P Y k k -=== 再利用作商法分析得875k =时，事件“Y k =”的概率最大.【小问1详解】零假设为0H ：假设依据0.01α=的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联；则220.01100(4553515) 2.344 6.63580204060x χ⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯，故依据0.01α=的独立性检验，没有充分证据说明零假设0H 不成立，因此可认为0H 成立，即认为参数调试与产品质量无关联；【小问2详解】依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中，合格产品有458660⨯=件，不合格产品有2件，而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数X 的可能值有1,2,3.则126238C C 3(1),C 28P X ===216238C C 15(2),C 28P X ===363802C C 10(3)C 28P X ===.故X 的分布列为：X123P32815281028则15109()12328284328E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为357408=，故7(1000,8Y B ，则1000100071()C ()(),0,1,,1000,88kkkP Y k k -=== 由1199910001000100071C (()(1)10007000788771()11C ()()88k k k kk k P Y k k k P Y k k k ++--=+--====++，故由7000711k k ->+可解得78748k <，因Z k ∈，故当0874k <≤时，()P Y k =单调递增；由7000700011k k -≤+可解得78748k ≥，即当875k ≥时，()P Y k =单调递减.故当事件“Y k =”的概率最大时，875k =.【点睛】方法点睛：（1）计算卡方值，并与小概率值比较得出结论；（2）求随机变量的分布列关键在于判断X 满足的概率模型；（3）对于二项分布中概率最大值问题，一般考虑作商后分析判断商与1的大小即得.18.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为4，渐近线方程为12y x =±.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）双曲线的左､右顶点分别为12A A ､，过点()3,0B 作与x 轴不重合的直线l 与C 交于P Q ､两点，直线1A P 与2A Q 交于点S ，直线1AQ 与2A P 交于点T .（i ）设直线1A P 的斜率为1k ，直线2A Q 的斜率为2k ，若12k k λ=，求λ的值；（ii ）求2A ST 的面积的取值范围.【答案】（1）2214x y -=（2）（i ）15-；（ii ）2522,,933∞⎡⎫⎛⎫⋃+⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭【解析】【分析】（1）根据双曲线性质计算即可；（2）设直线l 方程及P Q 、坐标，联立双曲线方程，根据韦达定理得出纵坐标和积关系，（i ）利用两点斜率公式消元计算即可；（ii ）联立直线方程求出S T 、坐标，并求出ST ，利用三角形面积公式及2t 范围计算即可.【小问1详解】由题意知：124,2b a a ==，解得2,1a b ==，双曲线方程为2214xy -=.【小问2详解】因为直线l 斜率不为0，设直线l 方程为3x ty =+，易知()()122,0,2,0A A -，设()()1122,,,P x y Q x y ，联立2214x y -=，得()224650t y ty -++=，则212212240Δ06454t t y y t y y t ⎧-≠⎪>⎪⎪⎨+=--⎪⎪=⎪-⎩，且()121256y y y y t =-+，（i ）()()21121121212121223222325ty k y x y ty y y k x y ty y ty y y λ+--+==⋅=⋅=++++()()121121212255165525556y y y y y y y y y y -++-===--+-++；（ii ）由题可得：()()2211:2,:2A Q y k x A P y k x =-=+.联立可得：()2112124410,333s k k x S k k k +⎛⎫==⇒ ⎪-⎝⎭，即()11104,332y S x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，同理()22104,332y T x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭.()()()121212121212125101010532235535256y y y y y y ST x x ty ty t y y t y y -∴=-=-=++++-++++==，故2212A ST A S S ST x x =-= ，20t ≥且24t ≠，222,,933A STS ∞⎡⎫⎛⎫∴=∈⋃+⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭ .【点睛】关键点点睛：反设直线线并设点，联立双曲线方程后得出P Q 、纵坐标的和积关系，为后面消元转化减轻计算量.19.已知定义：函数()f x 的导函数为()f x '，我们称函数()f x '的导函数()f x ''为函数()f x 的二阶导函数，如果一个连续函数()f x 在区间I 上的二阶导函数()0f x ''≥，则称()f x 为I 上的凹函数;二阶导函数()0f x ''≤，则称()f x 为I 上的凸函数.若()f x 是区间I 上的凹函数，则对任意的12,,x x n x I ∈，有不等式()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立（当且仅当12n x x x === 时等号成立）.若()f x 是区间I 上的凸函数，则对任意的12,,n x x x I ∈ ，有不等式()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立（当且仅当12n x x x === 时等号成立）.已知函数()1f x x x =+，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.（1）试判断()f x 在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦为凹函数还是凸函数?（2）设12,x x ，L ，0n x >，2n ≥，且121n x x x +++= ，求1212111n nx x xW x x x =++++++ 的最大值;（3）已知*N a ∈，且当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()()sin sin 31cos 0x ax x f x x +-+>恒成立，求实数a 的所有可能取值.【答案】（1）凸函数（2）1n f n ⎛⎫⋅⎪⎝⎭（3）{}2【解析】【分析】（1）根据凹凸函数的定义判断即可；（2）由（1）知()f x 在π0,2⎛⎤⎥⎝⎦为凸函数，根据凸函数的性质结合题意即可求解；（3）令()sin sin 3cos h x x ax x x =+-，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则问题转化为ℎ>0在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，对a 分类讨论，结合导数的运算研究函数的单调性即可求解.【小问1详解】()1x f x x =+，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以()()211f x x ='+，″()321x =-+，因为π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以″0<，所以()f x 在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦为凸函数.【小问2详解】由（1）知()1x f x x =+在π0,2⎛⎤⎥⎝⎦内为凸函数，又1212111n nx x xW x x x =++++++ ，且121n x x x +++= （12,x x ，L ，0n x >，2n ≥），所以()()()12121.nn x x x W f x f x f x n f n f n n +++⎛⎫⎛⎫=+++≤⋅=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以max 1.W n f n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭【小问3详解】令()sin sin 3cos h x x ax x x =+-，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则ℎ>0在π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，则()cos 2cos 3sin h x a ax x x x =+'-，且()02h a '=-，当1a =，πππ3ππ3πsin sin cos 204444424h ⎛⎫⎫=+-=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合题意舍去;当2a =，则()sin sin23cos h x x x x x =+-，故()2cos22cos 3sin h x x x x x =-+'，令()()k x h x ='，则()4sin25sin 3cos 8sin cos 5sin 3cos k x x x x x x x x x x=-++=-++'5sin 5sin cos 3cos 3sin cos x x x x x x x =-+-()()5sin 1cos 3cos sin x x x x x =-+-，令()sin g x x x =-，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()1cos 0g x x ='->，所以()g x 在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上递增，所以sin x x >，所以()'0k x >，即()()'k x h x =在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上递增，又()020h a -'==，则ℎ′>0，所以ℎ在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上递增，又()00h =，即ℎ>0，π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，符合题意;当3a ≥，令0ππ0,12x a ⎛⎤=∈ ⎥-⎝⎦，则()0001πax x x a -=-=，()00sin sin πax x =+，所以()()00000000000sin sin 3cos sin sin 3cos 3cos 0h x x ax x x x x x x x x π=+-=++-=-≤，不合题意舍去，综上，正整数a 的取值集合为{}2.【点睛】方法点睛：求解“新定义”题目，主要分如下几步：（1）对定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；（3）对定义中提取的知识进行提取和转换，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；如果新定义是性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除.。
高三数学11月月考试题 文
14-15上期高三11月月考试题文 科数 学一、选择题（12题每题5分共60分）1. .设i 是虚数单位，则234201...i i i i i -+-+-++= （ ） A. 1 B. 0C. 1-D. i2. cos42cos78sin42cos168+=( ) A . 12-B.12C. 2-D.23. 已知α∈(2π，π)，sin α＝35，则tan(α＋4π)= （ ）A.17B.7C.－17D.－74. 已知向量(1,1),(2,)a b x ==若a b +与a b -平行，则实数x 的值是（ ）A.－2 B ．0 C ．1 D ．25. .设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为( )A ．12B ．10C ．8D ．26. 在R 上定义运算*：()1x y x y *=-.若关于x 的不等式()0x x a *->的解集是集合{}11x x -≤≤的子集，则实数a 的取值范围是( )A.[]0,2B.[](]2,11,0--⋃-C.[)(]0,11,2⋃D.[]2,0-7. 已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）A 、B 、C 、D 、8. 已知双曲线的离心率为，且抛物线的焦点为，点在此抛物线上，为线段的中点，则点到该抛物线的准线的距221:(1)(1)1C x y ++-=2C 1C 10x y --=2C 22(2)(2)1x y ++-=22(2)(2)1x y -++=22(2)(2)1x y +++=22(2)(2)1x y -+-=2213y x -=2m 2y mx =F 00(2,)(0)P y y >M PF M离为（ ） A 、B 、C 、D 、9.O 为正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是( ) A ．A 1D B ．AA 1 C ．A 1D 1 D ．A 1C 1 10. 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x ，若方程ax ＋a －f (x )＝0(a ＞0)恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A 、(12，1) B 、[0，2] C 、(1，2) D 、[1，＋∞)11. 已知，若恒成立，则的取值范围是（ ）A 、B 、C 、D 、12. 双曲线的左右两支上各有一点，点在直线上的射影是点，若直线过右焦点，则直线必过点（ ）A 、B 、C 、D 、 二、填空题（4题每题5分共20分）13. tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π=________. 14.已知等差数列{a n }的首项a 1＝11，公差d ＝－2，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________. 15. 已知函数3223f xx ax bx a 在1x处取得极值0，则a b ＝______.16.抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为______. 三、解答题（6题共70分）17.（10分）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab cd >+>>a b c d -<-的充要条件．18. （12分）已知，且， （1）求的值； （2）若，，求的值.19. （12分）某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地52232111lnln 432x y x y <+++-x y λ-<λ(,10]-∞(,10)-∞[10,)+∞(10,)+∞2213y x -=,A B B 12x ='B AB 'AB (1,0)5(,0)43(,0)27(,0)4),2(ππα∈262cos2sin=+αααcos 53)sin(-=-βα），（ππβ2∈βcos表示为：[)[)3221805040,120,1443120080000,144,5002x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.（I ）当[]200,300x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（II ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？20. （12分）如图，四棱锥P ABCD -中.PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2,E 为PC 的中点，CB=3CG.. （I ）求证：PC BC ⊥；（II ）AD 边上是否存在一点M ，使得PA//平面MEG ？若存在，求AM 的长；若不存在，说明理由.21.（12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上任意一点到两焦点21,F F 距离之和为24，离心率为23． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于B A ,两点．点)1,2(P 为椭圆上一点，求△PAB 的面积的最大值．22. （12分）已知函数()ln xf x a x bx =+的图象过点11,,ee ⎛⎫- ⎪⎝⎭且在点()()1,1f 处的切线与直线0x y e +-=垂直(e 为自然对数的底数，且 2.71828e =).(Ⅰ) 求,a b 的值;(Ⅱ)若存在 01,x e e ，使得不等式2000113()222f x x tx +-≥-成立，求实数t 的取值范围.14-15学年上期高三11月月考试题文科数学四、选择题（12题每题5分共60分）1.C2.A3.A4.D5.B6.D7.B8.A9.D 10.A 11.C12.B五、填空题（4题每题5分共20分）13.3 14.36 15. -7 16.y2＝8x六、解答题（6题共70分）17.【答案】．18. 【答案】（1）3（2）310-（2）根据题意有(,)22ππαβ-∈-，因为，所以4cos()5αβ-=，所以cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-4133()252510=-⋅+⋅-=-. 19.当[)144,120∈x 时，.240)120(315040803122+-=+-=x x x x y 所以当120=x 时，xy取得最小值240; 53)sin(-=-βα当[)500,144∈x 时，x y 200200800002122008000021=-⋅≥-+=x x x x .当且仅当xx 8000021=，即400=x 时，x y 取得最小值.200 因为200240<，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. …… 20. 【答案】21.【答案】22. 【答案】(Ⅰ)()()ln ln ,ln x f x a x bx ax x bx f x a x a b '=+=+∴=++.又点()()1,1f 处的切线与直线0x y e +-=垂直，()11f a b '∴=+=. 又()ln x f x a x bx =+的图象过点11,,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭11a b f e e e e ⎛⎫∴=-+=- ⎪⎝⎭，即1,a b -=1,0a b ∴==(Ⅱ)由(Ⅰ)知()ln f x x x =，由题意()2113222f x x tx +-≥-，即2113ln 222x x x tx +-≥-， 则32ln t x x x ≤++.若存在 01,x e e ，使得不等式2000113()222f x x tx +-≥-成立， 只需t 小于或等于312ln ,,x x x e x e ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦的最大值.设()312ln ,,h x x x x e x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦则()()()231x x h x x +-'=，当1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0h x '<；当[]1,x e ∈时，()0h x '>. 故()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,e 上单调递增.()332ln 2,h e e e e e e =++=++11112ln 323,h e e e e e e ⎛⎫=++=-++ ⎪⎝⎭()()121240,h h e e h h e e e e ⎛⎫⎛⎫∴-=-->∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当1,,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()h x 的最大值为1123,h e e e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭故123,t e e ≤-++即实数t 的取值范围是：1,23e e ⎛⎤-∞-++ ⎥⎝⎦.。
2021年高三11月月考数学(文)试题 含解析
2021年高三11月月考数学（文）试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，1．（5分）设全集U=R，A={x|x（x+3）＜0}，B={x|x＜﹣1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．（﹣1，0）B．（﹣3，﹣1）C．[﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题；图表型．分析：先解不等式求出A={x|﹣3＜x＜0}，再通过图象知道所求为A，B的公共部分，即取交集，结合集合B即可得到答案．解答：解：因为x（x+3）＜0⇒﹣3＜x＜0∴A={x|﹣3＜x＜0}，由图得：所求为A，B的公共部分，即取交集．∵B={x|x＜﹣1}，∴A∩B={x|﹣3＜x＜﹣1}，故选：B．点评：本题主要考查不等式的解法以及Venn图表达集合的关系及运算．这一类型题目一般出现在前三题中，属于送分题．2．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y=﹣x3，x∈R B．y=sinx，x∈R C．y=x，x∈R D．考点：函数的图象与图象变化；奇函数．分析：根据基本函数的性质逐一对各个答案进行分析．解答：解：A在其定义域内既是奇函数又是减函数；B在其定义域内是奇函数但不是减函数；C在其定义域内既是奇函数又是增函数；D在其定义域内是非奇非偶函数，是减函数；故选A．点评：处理这种题目的关键是熟练掌握各种基本函数的图象和性质，其处理的方法是逐一分析各个函数，排除掉错误的答案．3．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log2（）则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a考点：对数的运算性质；对数值大小的比较．专题：计算题．分析：根据指数函数与对数函数的单调性质将a，b，c分别与1与0比较即可．解答：解：∵a=20.5＞20=1，0=logπ1＜b=logπ3＜logππ=1，c=log2（）＜log21=0，∴a＞b＞c．故选A．点评：本题考查对数的运算性质，考查指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．4．（5分）（xx•湖南）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1 C．若tanα≠1，则α≠D．若tanα≠1，则α=考点：四种命题．专题：应用题．分析：首先否定原命题的题设做逆否命题的结论，再否定原命题的结论做逆否命题的题设，写出新命题就得到原命题的逆否命题．解答：解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠故选C点评：考查四种命题的相互转化，命题的逆否命题是对题设与结论分别进行否定且交换特殊与结论的位置，本题是一个基础题．5．（5分）（2011•金台区模拟）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（e，3）D．（e，+∞）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合．分析：分别画出对数函数lnx和函数的图象其交点就是零点．解答：解：根据题意如图：当x=2时，ln2＜1，当x=3时，ln3＞，∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3），故选B．点评：此题利用数形结合进行求解，主要考查了函数的零点与方程根的关系，是一道好题．6．（5分）若函数y=ax与y=﹣在（0，+∞）上都是减函数，则y=ax2+bx在（0，+∞）上是（）A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题；数形结合．分析：根据y=ax与y=﹣在（0，+∞）上都是减函数，得到a＜0，b＜0，对二次函数配方，即可判断y=ax2+bx在（0，+∞）上的单调性．解答：解：∵y=ax与y=﹣在（0，+∞）上都是减函数，∴a＜0，b＜0，∴y=ax2+bx的对称轴方程x=﹣＜0，∴y=ax2+bx在（0，+∞）上为减函数．故答案B点评：此题是个基础题．考查基本初等函数的单调性，考查学生熟练应用知识分析解决问题的能力．7．（5分）已知，则f（3）=（）A．3B．2C．1D．4考点：函数的值．专题：计算题．分析：根据解析式先求出f（3）=f（5），又因5＜6，进而求出f（5）=f（7），由7＞6，代入第一个关系式进行求解．解答：解：根据题意得，f（3）=f（5）=f（7）=7﹣4=3，故选A．点评：本题考查了分段函数求函数的值，根据函数的解析式和自变量的范围，代入对应的关系式进行求解，考查了观察问题能力．8．（5分）（xx•四川）函数y=a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：通过图象经过定点（1，0），排除不符合条件的选项，从而得出结论．解答：解：由于当x=1时，y=0，即函数y=a x﹣a 的图象过点（1，0），故排除A、B、D．故选C．点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，通过图象经过定点（1，0），排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中档题．9．（5分）（2011•河南模拟）若f（x）是偶函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则f （x﹣1）＜0的解集是（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞，0）∪（1，2）C．（1，2）D．（0，2）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：先画出函数f（x）的图象，根据f（x﹣1）的图象是由f（x）的图象向右平移1个单位，画出其图象求解．解答：解：先画出函数f（x）的图象，根据f（x﹣1）的图象是由f（x）的图象向右平移1个单位，画出其图象，如图所示，f（x﹣1）＜0的解集是（0，2）故答案为：（0，2）点评：本题主要考查函数的图象变换和数形结合法解不等式．10．（5分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为，则a等于（）A．B．3C．3D．9考点：对数函数的值域与最值．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：由已知中底数的范围，可以判断出对数函数的单调性，进而可求出函数在区间[a，3a]上的最大值与最小值，结合已知构造方程，解方程可得答案．解答：解：∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，3a]上单调递增∴f（x）max=f（3a），f（x）min=f（a），∴f（3a）﹣f（a）=log a3a﹣log a a=log a3=解得a=9故选D点评：本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，其中熟练掌握对数函数的单调性与底数的关系是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，11．（5分）函数的定义域为[﹣1，0）∪（0，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：直接利用分式的分母不为0，无理式大于等于0，求解即可得到函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，必须，解得x∈[﹣1，0）∪（0，+∞）．函数的定义域为：[﹣1，0）∪（0，+∞）．故答案为：[﹣1，0）∪（0，+∞）．点评：本题考查函数的定义域的求法，考查计算能力．12．（5分）当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）x﹣m﹣1为减函数，则实数m=2．考点：幂函数的性质．专题：计算题；阅读型．分析：因为给出的函数是幂函数，所以系数等于1，又函数在x∈（0，+∞）时为减函数，所以幂指数小于0，联立后可求解m的值．解答：解：由当x∈（0，+∞）时，幂函数y=（m2﹣m﹣1）x﹣m﹣1为减函数，得：，解得：m=2．故答案为2．点评：本题考查了幂函数的性质，考查了幂函数的定义，解答此题的关键是对幂函数的定义和性质的掌握，此题是基础题．13．（5分）函数f（x）=x3﹣x2+mx在R内是增函数，则m的取值范围为[，+∞）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3﹣x2+mx在R内是增函数，则恒有f′（x）≥0，由此即可求得a的范围．解答：解：f′（x）=3x2﹣2x+m．因为函数f（x）=x3﹣x2+mx在R内是增函数，所以f′（x）=3x2﹣2x+m≥0在R上恒成立，故有△=4﹣12m≤0，即m．所以m的取值范围为[，+∞）．故答案为[，+∞）点评：本题考查导数与函数单调性的关系，属基础题，难度不大．可导函数f（x）在某区间上单调递增的充要条件是f′（x）≥0（不恒为0）．14．（5分）函数f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a=4．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数f（x）的定义域为R，则∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之即可．解解：因为函数f（x）=（x+a）•（x﹣4）是偶函数，答：所以∀x∈R，都有f（﹣x）=f（x）．所以∀x∈R，都有（﹣x+a）•（﹣x﹣4）=（x+a）•（x﹣4）即x2+（4﹣a）x﹣4a=x2+（a﹣4）x﹣4a所以a=4．故答案为：4点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．15．（5分）函数f（x）对任意的x∈R，恒有f（x+2）=﹣f（x），且f（1）=2，则f（11）=﹣2．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用f（x+2）=﹣f（x），即可把f（11）化为﹣f（1），进而得出答案．解答：解：∵函数f（x）对任意的x∈R，恒有f（x+2）=﹣f（x），∴f（11）=f（8+3）=f （3）=f（1+2）=﹣f（1）=﹣2．故答案为﹣2．点评：充分利用已知条件和函数的周期性是解题的关键．三.解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）计算：（1）（2）（a＞0，b＞0）考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：（1）利用对数运算法则进行计算；（2）利用有理数指数幂的运算法则进行计算；解答：解：（1）原式=+log50.25++ =++3=log525++3=2++3=．（2）原式==4a．点评：本题考查对数运算法则及有理数指数幂的运算法则，熟练掌握相关运算法则是解决该类题目的基础．17．（12分）已知p：﹣2≤x≤3；q：﹣m≤x≤1+m，（m＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：通过p是q的充分不必要条件，列出关系式，即可求解m的范围．解答：解：因为p：﹣2≤x≤3；q：﹣m≤x≤1+m，（m＞0），p是q的充分不必要条件，所以，所以m≥2．当m=2时，p是q的充要条件，又m＞0所以实数m的取值范围：（2，+∞）．点评：本题考查充要条件的应用，注意两个命题的端点值不能同时成立，这是易错点．18．（12分）m为何值时，f（x）=x2+2mx+3m+4（1）有且仅有一个零点（2）有两个零点且均比﹣1大．考点：函数的零点；函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：（1）f（x）=x2+2mx+3m+4，有且仅有一个零点，二次函数图象开口向上，可得△=0，求出m的值；（2）有两个零点且均比﹣1大，根据方程根与系数的关系，列出不等式，求出m的范围；解答：解：（1）∵f（x）=x2+2mx+3m+4，有且仅有一个零点说明二次函数与x轴只有一个交点，可得△=（2m）2﹣4×（3m+4）=0解得m=4或m=﹣1；（2）∵f（x）=x2+2mx+3m+4，有两个零点且均比﹣1大．函数开口向上，对称轴为x=﹣m，∴，即解得﹣5＜m＜﹣1；点评：此题主要考查二次函数的性质及其对称轴的应用，是一道基础题；19．（13分）设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数．（1）求b、c的值；（2）求g（x）极值．考点：函数在某点取得极值的条件；函数奇偶性的性质．专题：导数的概念及应用．分（1）先求出f′（x），从而得到g（x），由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x）析：总成立，从而可求出b，c值；（2）由（1）写出g（x），求g′（x），由导数求出函数g（x）的单调区间，由此可得到极值．解答：解：（1）f′（x）=3x2+2bx+c，g（x）=f（x）﹣f′（x）=x3+bx2+cx﹣3x2﹣2bx﹣c=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c，因为g（x）为奇函数，所以g（﹣x）=﹣g（x），即﹣x3+（b﹣3）x2﹣（c﹣2b）x﹣c=﹣[x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c]，也即2（b﹣3）x2=2c，所以b=3，c=0．（2）由（1）知，g（x）=x3﹣6x，g′（x）=3x2﹣6=3（x+）（x﹣），令g′（x）=0，得x=﹣或x=，当x＜﹣或x＞时，g′（x）＞0，当﹣＜x＜时，g′（x）＜0，所以g（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）上单调递增，在（﹣，）上单调递减，所以当x=﹣时，g（x）取得极大值g（﹣）=4；当x=时，g（x）取得极小值g（）=﹣4．点评：本题考查导数与函数的极值及函数的奇偶性，可导函数f（x）在点x0处取得极值的充要条件是f′（x0），且导数在x0左右两侧异号．20．（13分）已知函数f（x）=ax，其中a＞0．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≠0时，求f（x）的单调区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，求出函数的解析式及导函数的解析式，代入x=2，可得切点坐标和切线的斜率（导函数值），进而可得直线的点斜式方程．（2）解方程f′（x）=0，由a＞0可得x=，讨论f′（x）在各区间上的符号，进而由导函数符号与原函数单调区间的关系得到答案．解答：解：（1）当a=1时，函数f（x）=x，∴f′（x）=3x2﹣3x，∴f（2）=3，即切点坐标为（2，3）f′（2）=6，即切线的方程为6故曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣3=6（x﹣2），即6x﹣y﹣9=0 （2）∵f（x）=ax，∴f′（x）=3ax2﹣3x=3x（ax﹣1），令f′（x）=0，则x=0，或x=∵a＞0，即＞0，∵当x∈（﹣∞，0）∪（，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（0，）时，f′（x）＜0；∴函数y=f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（，+∞），单调递减区间为（0，）点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．21．（13分）（xx•重庆）某工厂生产某种产品，已知该产品的产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为，且生产x吨的成本为R=50000+200x元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入﹣成本）考点：基本不等式在最值问题中的应用．分析：将实际问题转化成数学最值问题，利用导数求最值解答：解：设生产x吨产品，利润为y元，则y=px﹣R=（50000+200x）=+24000x﹣50000（x＞0）+24000，由y'=0，得x=200∵0＜x＜200时y'＞0，当x≥200时y'＜0∴当x=200时，y max=3150000（元）答：该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润是3150000（元）点评：本题考查建立数学模型，三次函数的最值用导数来求．25211 627B 扻29591 7397 玗37013 9095 邕.xi 20299 4F4B 佋21639 5487 咇39245 994D 饍27890 6CF2 泲I40754 9F32 鼲38521 9679 陹7。
2021年高三(下)第11次月考数学试卷(文科) 含解析
2021年高三（下）第11次月考数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，A）∩B=（）则（CuA． {2} B． {4，6} C． {l，3，5} D． {4，6，7，8}2．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A． 100 B． 150 C． 200 D． 2503．已知向量=（x，2），=（2，x），则“x=2”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）A．B．C．D．5．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y=±2x D．6．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A． 2 B． 4 C．D．167．执行如图所示的程序框图，若输出S的值是11，则输入n的值是（）A．7 B． 6 C． 5 D． 48．在△ABC中，=3，D，则=（）A．﹣1 B．C．D． 19．已知函数f（x）=lnx，x1，x2∈（0，），且x1＜x2，则下列结论中正确的是（）A．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0 B．f（）＜f（）C．x1f（x2）＞x2f（x1）D．x2f（x2）＞x1f（x1）10．已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P向圆引切线PQ，且满足|PQ|=|PA|，若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，则圆P半径的最小值为（）A．﹣1 B． 1 C． 2 D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）11．复数z=的虚部为．12．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+2x，则f（﹣1）=．13．已知直线l1：（t为参数）与直线l2：（s为参数）垂直，则实数k=．14．设x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为．15．记S k=1k+2k+3k+…+n k，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：S1=n，S2=n，S3=，S4=n，S5=An6+，…可以推测，A﹣B=．三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知数列{a n}是递增等比数列，且a1，a3是方程x2﹣10x+16=0的两根．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n=2log2a n﹣1，记数列的前n项和为S n，求使S n＞成立的最小正整数n的值．17．已知某保险公司每辆车的投保金额均为2800元，公司利用简单随机抽样的方法，对投保车辆进行抽样，样本中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）0 1000 xx 3000 4000车辆数500 150 200 100 50（1）试根据样本估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）保险公司在赔付金额为xx元、3000元和4000元的样本车辆中，发现车主是新司机的比例分别为1%、2%和4%，现从新司机中任取两人，则这两人的赔付金额之和不小于投保金额之和的概率是多少？18．如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，BC=CD=AD=2，E为AD中点，现将△ABE 沿BE折起，使平面ABE⊥平面BCDE．（1）求证：BE⊥AD（2）若F为AD的中点，求三棱锥B﹣ACF的体积．19．如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，∠POB=θ．（Ⅰ）将y表示成θ的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若y取最大值时A=θ+，且a=，cosB=，D为AC中点，求BD的值．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F2是抛物线y2=4x的焦点，过点F2垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的线段长度为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x=2相交于点Q．请问：在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=mx﹣αlnx﹣m，g（x）=，其中m，α均为实数．（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，α＜0，若对任意的x1，x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x2）﹣f（x1）|＜|﹣|恒成立，求a的最小值；（3）设α=2，若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1、t2（t1≠t2），使得f （t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范围．xx学年湖南省株洲二中高三（下）第11次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（C u A）∩B=（）A．{2} B．{4，6} C．{l，3，5} D．{4，6，7，8}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：由全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，知C U A={4，6，7，8}，由此能求出（C u A）∩B．解答：解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，∴C U A={4，6，7，8}，∴（C u A）∩B={4，6}．故选B．点评：本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100 B．150 C．200 D．250考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值．解答：解：分层抽样的抽取比例为=，总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×=100．故选：A．点评：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．3．已知向量=（x，2），=（2，x），则“x=2”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若∥，则2×2﹣x2=0，即x2=4，解得x=2或x=﹣2，即“x=2”是“∥”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量关系的等价条件是解决本题的关键．4．实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据几何概型计算公式，首先求出方程有实根的m的范围，然后用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率．解答：解：∵方程x2﹣mx+4=0有实根，∴判别式△=m2﹣16≥0，∴m≤﹣4或m≥4时方程有实根，∵实数m是[0，6]上的随机数，区间长度为6，[4，6]的区间长度为2，∴所求的概率为P==．故选：B．点评：本题着重考查了几何概型计算公式及其应用的知识，给出在区间上取数的事件，求相应的概率值．关键是明确事件对应的是区间长度或者是面积或者体积．5．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y=±2x D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线离心率为，根据双曲线的离心率公式算出b=a，结合双曲线的渐近线公式即可得到该双曲线的渐近线方程．解答：解：∵双曲线的方程为，∴c=，结合离心率为，得e===，化简得b=a∴该双曲线的渐近线方程为y=±，即故选：B点评：本题给出双曲线的离心率，求它的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A． 2 B． 4 C．D．16考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC 中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．解答：解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故选B点评：本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．7．执行如图所示的程序框图，若输出S的值是11，则输入n的值是（）A．7 B． 6 C． 5 D． 4考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图，可知：该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析出各变量的变化情况，可得答案．解答：解：当i=1，S=1时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S=1，i=2；当i=2，S=1时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S=2，i=3；当i=3，S=2时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S=4，i=4；当i=4，S=4时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S=7，i=5；当i=5，S=7时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S=11，i=6；当i=6，S=11时，满足输出条件，故进行循环的条件应为：i≤5，即输入n的值是5，故选：C点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8．在△ABC中，=3，D，则=（）A．﹣1 B．C．D． 1考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将，分别用，表示，然后进行平面向量的数量积运算求值．解答：解：由已知得到=1，=3，=，，则====﹣1；故选：A．点评：本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积的运算；关键是正确利用向量表示所求，进行数量积的运算．9．已知函数f（x）=lnx，x1，x2∈（0，），且x1＜x2，则下列结论中正确的是（）A．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0 B．f（）＜f（）C．x1f（x2）＞x2f（x1）D．x2f（x2）＞x1f（x1）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的单调性可得A不正确；根据函数的图象是下凹的，可得B不正确；利用导数判断函数在（0，+∞）上是增函数，故有＞，化简可得x1f（x2）＞x2f（x1），故C正确、且D不正确．解答：解：由于已知函数f（x）=lnx在定义域（0，+∞）上是增函数，x1，x2∈（0，），且x1＜x2 ，可得[f（x1）﹣f（x2）]＜0，故（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，故A不正确．由于已知函数f（x）=lnx的增长速度较慢，图象是下凹型的，故有f（）＞f（），故B不正确．∵已知函数f（x）=lnx，x1，x2∈（0，），且x1＜x2 ，则′==＞0，∴函数在（0，+∞）上是增函数，故有＞，化简可得x1f（x2）＞x2f（x1），故C正确、且D不正确．故选C．点评：本题主要考查导数的运算法则的应用，利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的应用，属于中档题．10．已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P向圆引切线PQ，且满足|PQ|=|PA|，若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，则圆P半径的最小值为（）A．﹣1 B． 1 C． 2 D．考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可得：|PQ|2=|PO|2﹣1=a2+b2﹣1，又PQ=PA，可得2a+b﹣3=0．因为以P为圆心所作的圆P和圆O有公共点，所以圆P与圆O外切时，可使圆P的半径最小．又因为PO=1+圆P的半径，所以当圆P的半径最小即为PO最小，即点O到直线2a+b﹣3=0的距离最小，进而解决问题．解答：解：由题意可得：过圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，所以|PQ|2=|PO|2﹣1=a2+b2﹣1．又因为|PA|2=（a﹣2）2+（b﹣1）2，并且满足PQ=PA，所以整理可得2a+b﹣3=0．因为以P为圆心所作的圆P和圆O有公共点，所以两圆相切或相交，即圆P与圆O外切时，可使圆P的半径最小．又因为PO=1+圆P的半径，所以当圆P的半径最小即为PO最小，即点O到直线2a+b﹣3=0的距离最小，并且距离的最小值为，所以圆P的半径的最小值为﹣1．故选：A．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系，以及两点之间的距离公式．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）11．复数z=的虚部为4．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的除法运算化简，求得z后即可求出虚部．解答：解：由题意得，z===3+4i，∴复数z=的虚部为4，故答案为：4．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算：分母实数化，是基础题．12．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+2x，则f（﹣1）=﹣3．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：结合函数的奇偶性先求出函数f（x）在x＜0时的解析式，再将x=﹣1代入即可．解答：解：令x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x，又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣x2+2x，（x＜0），∴f（﹣1）=﹣1﹣2=﹣3，故答案为：﹣3．点评：本题考查了求函数的解析式，函数的奇偶性问题，求出函数的解析式是解题的关键，本题是一道基础题．13．已知直线l1：（t为参数）与直线l2：（s为参数）垂直，则实数k=﹣1．考点：直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线l1、l2的参数方程化为普通方程，再由l1与l2垂直，斜率之积为﹣1，求出k 的值．解答：解：直线l1的参数方程（t为参数）化为普通方程是y=﹣x+2；直线l2的参数方程（s为参数）化为普通方程是y=﹣2x+5；又l1与l2垂直，所以，﹣•（﹣2）=﹣1解得k=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了直线的参数方程的应用问题，也考查了直线垂直的应用问题，是基础题目．14．设x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为4．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求则ab的最大值．解答：解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，4），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，即a+4b=8，∴8=a+4b=4，∴即ab≤4，当且仅当a=4b=4，即a=4，b=1时取等号．故答案为：4点评：本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．15．记S k=1k+2k+3k+…+n k，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：S1=n，S2=n，S3=，S4=n，S5=An6+，…可以推测，A﹣B=．考点：归纳推理．专题：计算题；压轴题．分析：通过观察归纳出：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；列出方程求出A，B的值，进一步得到A﹣B．解答：解：根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；所以A=，解得B=，所以A﹣B=，故答案为：点评：本题考查通过观察、归纳猜想结论，并据猜想的结论解决问题，属于基础题．三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知数列{a n}是递增等比数列，且a1，a3是方程x2﹣10x+16=0的两根．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列b n=2log2a n﹣1，记数列的前n项和为S n，求使S n＞成立的最小正整数n的值．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由x2﹣10x+16=0，解得x=2，8，可得a1，a3，再利用等比数列的通项公式即可得出；（2）数列b n=2log2a n﹣1=2n﹣1，可得==，再利用“裂项求和”、不等式的性质、数列的单调性即可得出．解答：解：（1）由x2﹣10x+16=0，解得x=2，8．∵a1，a3是方程x2﹣10x+16=0的两根，且a1＜a3．∴a1=2，a3=8．设等比数列{a n}的公比为q＞0，则8=2q2，解得q=2．∴．（2）数列b n=2log2a n﹣1=2n﹣1，∴==，∴数列的前n项和为S n=++…+=1﹣．由使S n＞，可得，化为2n+1＞6，解得，其最小正整数n=3．∴使S n＞成立的最小正整数n的值为3．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．已知某保险公司每辆车的投保金额均为2800元，公司利用简单随机抽样的方法，对投保车辆进行抽样，样本中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额（元）0 1000 xx 3000 4000车辆数500 150 200 100 50（1）试根据样本估计赔付金额大于投保金额的概率；（2）保险公司在赔付金额为xx元、3000元和4000元的样本车辆中，发现车主是新司机的比例分别为1%、2%和4%，现从新司机中任取两人，则这两人的赔付金额之和不小于投保金额之和的概率是多少？考点：互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：（1）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率，求得P（A），P（B），再根据投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，问题得以解决．（2）先计算从新司机中任取两人的方法总数，及这两人的赔付金额之和不小于投保金额之和方法个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答：解：（1）设A表示事件“赔付金额为3000元，”B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P（A）==0.1，P（B）==0.05，由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额得情形是3000元和4000元，所以其概率为P（A）+P（B）=0.1+0.05=0.15．（2）由已知，样本车辆中车主为新司机的有1%×200+2%×100+4%×50=6人，计赔付金额为xx元、3000元和4000元的分别为：A，B，C，D，E，F，则从新司机中任取两人共有=15种不同的取法，分别为：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BD，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，其中这两人的赔付金额之和不小于投保金额之和的事件有：CD，CE，CF，DE，DF，EF，共6种，故这两人的赔付金额之和不小于投保金额之和的概率P==点评：本题主要考查了用频率来表示概率，古典概率的概率计算公式，难度不大，属于基础题．18．如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，BC=CD=AD=2，E为AD中点，现将△ABE 沿BE折起，使平面ABE⊥平面BCDE．（1）求证：BE⊥AD（2）若F为AD的中点，求三棱锥B﹣ACF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）证明BE⊥平面AED，即可证明⊥AD（2）若F为AD的中点，利用等体积转换，即可求三棱锥B﹣ACF的体积．解答：（1）证明：∵AE⊥DE，BE⊥ED，AE∩DE=E∴BE⊥平面AED，∵AD⊂平面AED，∴BE⊥AD（2）解：△ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=2，∴S△ABC==2∵E到平面ABC的距离为，F为AD的中点，∴F到平面ABC的距离为，∴三棱锥B﹣ACF的体积==．点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查三棱锥B﹣ACF的体积，正确转化是关键．19．如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，∠POB=θ．（Ⅰ）将y表示成θ的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若y取最大值时A=θ+，且a=，cosB=，D为AC中点，求BD的值．考点：函数模型的选择与应用．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）在Rt△PON中，PN=OPsinθ=，ON=cosθ．在Rt△OQM中，=sinθ．可得MN=0N﹣0M=．可得矩形PNMQ的面积y=PN•NM=，再利用倍角公式、两角和差的正弦公式即可得出．（Ⅱ）当=时，y取得最大值，θ=．可得A=．由cosB=，可得．由正弦定理可得：．利用两角和差的正弦公式可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB．由正弦定理可得：．在△ABD 中，由余弦定理可得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA．解答：解：（Ⅰ）在Rt△PON中，PN=OPsinθ=，ON=cosθ．在Rt△OQM中，==sinθ．∴MN=0N﹣0M=．∴矩形PNMQ的面积y=PN•NM==3sinθcosθ﹣==﹣，．（Ⅱ）当=时，y取得最大值，θ=．∴A==．∵cosB=，∴=．由正弦定理可得：，∴==2．sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=．由正弦定理可得：，∴==．在△ABD中，由余弦定理可得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=+12﹣2××=13．∴BD=．D为AC中点，求BD的值．点评：本题综合考查了直角三角形的边角关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F2是抛物线y2=4x的焦点，过点F2垂直于x 轴的直线被椭圆C所截得的线段长度为3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x=2相交于点Q．请问：在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求得抛物线的焦点，由题意可得，椭圆C过点（1，±），代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）假设在x轴上存在定点M（x1，0）满足条件，设P（x0，y0），则Q（2，2k+m），联立直线l方程和椭圆方程，运用判别式为0，求得m，k的关系，再由向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定值．解答：解：（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），则由题意可得，椭圆C过点（1，±），则，解得，∴椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）假设在x轴上存在定点M（x1，0）满足条件，设P（x0，y0），则Q（2，2k+m），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，∴△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=0，即3+4k2=m2，m≠0．此时x0=﹣=﹣，y0=kx0+m=，则P（﹣，），∴=（﹣﹣x1，），=（2﹣x1，2k+m），∴=（﹣﹣x1）（2﹣x1）+（2k+m）=（4x1﹣2）•+x12﹣2x1+3，∴当4x1﹣2=0即x1=时，x12﹣2x1+3=．∴存在点M（，0），使得为定值．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的焦点和点满足椭圆方程，同时考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式为0和向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=mx﹣αlnx﹣m，g（x）=，其中m，α均为实数．（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，α＜0，若对任意的x1，x2∈[3，4]（x1≠x2），|f（x2）﹣f（x1）|＜|﹣|恒成立，求a的最小值；（3）设α=2，若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1、t2（t1≠t2），使得f （t1）=f（t2）=g（x0）成立，求m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（1）对于第一问非常简单，只需按求解极值的定义求解即可．（2）在所给式子中含绝对值，一般考虑去掉绝对值，x1，x2是任给的两个数，所以可考虑用函数单调性．去掉绝对值之后，注意观察式子，你会发现，只要做适当变形，便可利用函数单调性的定义，得到一个新的函数的单调性，再结合导数求a的范围即可．（3）通过第三问的条件，你会得到f（x）在区间（0，e]不是单调函数的结论，并要求f（x）的值域需包含g（x）的值域便可．接下来就是看怎样让f（x）的值域包含g（x）的值域，即能求出m的范围．解答：解：（1）g′（x）=，令，解得x=1，∵e x＞0，∴x∈（﹣∞，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，根据极大值的定义知：g（x）极大值是g（1）=1，无极小值．（2）当m=1，a＜0时，f（x）=x﹣alnx﹣1，所以在[3，4]上f′（x）=＞0，所以f（x）在[3，4]上是增函数．设h（x）=，所以在[3，4]上h′（x）=＞0，所以h（x）在[3，4]上为增函数．设x2＞x1，则恒成立，变成恒成立，即：f（x2）﹣f（x1）＜h（x2）﹣h（x1）恒成立，即：f（x2）﹣h（x2）＜f（x1）﹣h（x1）．设u（x）=f（x）﹣h（x）=，则u（x）在[3，4]上为减函数．∴u′（x）=1﹣≤0在[3，4]上恒成立．∴恒成立．设v（x）=x﹣，所以v′（x）=1﹣=，因为x∈[3，4]，所以，所以v′（x）＜0，所以v（x）为减函数．∴v（x）在[3，4]上的最大值为v（3）=．∴a≥，∴a的最小值为：．（3）由（1）知g（x）在（0，1]上单调递增，在（1，e]单调单调递减，又g（0）=0，g （e）=，所以g（x）的值域是（0，1]．∵f（x）=mx﹣2lnx﹣m；∴当m=0时，f（x）=﹣2lnx，在（0，e]为减函数，由题意知，f（x）在（0，e]不是单调函数；故m=0不合题意；当m≠0时，f′（x）=，由于f（x）在（0，e]上不单调，所以，即；①此时f（x）在（0，）递减，在（，e]递增；∴f（e）≥1，即me﹣2﹣m≥1，解得；②所以由①②，得；∵1∈（0，e]，∴f（）≤f（1）=0满足条件．下证存在t∈（0，]使得f（t）≥1；取t=e﹣m，先证，即证2e m﹣m＞0；③设w（x）=2e x﹣x，则w′（x）=2e x﹣1＞0在[，+∞）时恒成立；∴w（x）在[，+∞）上递增，∴w（x）≥＞0，所以③成立；再证f（e﹣m）≥1；∵f，∴时，命题成立．所以m的取值范围是：[，+∞）．点评：本题用到的知识点有：1．极值的定义．2．用倒数求函数单调区间，判断单调性的方法．3．单调函数定义的运用．4．会对式子做适当变形，从而解决问题．A28022 6D76 浶34719 879F 螟37845 93D5 鏕l 25789 64BD 撽r28468 6F34 漴38738 9752 青37760 9380 鎀27660 6C0C 氌27213 6A4D 橍23195 5A9B 媛U。
2025届三门峡市高三数学上学期11月考试卷及答案解析
河南省三门峡市2024-2025学年高三上学期11月阶段性考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2log 2A x x =≤，{}24B x x =-<<，则A B = （）A. ()2,2-B. ()0,2C. ()0,4 D. (]0,4【答案】C 【解析】【分析】利用对数函数性质，化简集合A ，然后根据集合的交集运算即可【详解】根据题意，易得：{}04A x x =<≤又{}24B x x =-<<则有：{}04A B x x ⋂=<<故选：C2. “1x >”是“2x x >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分性和必要性两方面判断即可；【详解】因为2x x >，所以0x <或1x >，则1x >可以推出2x x >，但2x x >不能推出1x >．故“1x >”是“2x x >”的充分不必要条件，故选：A ．3. 函数2x y -=-与2x y =的图象（ ）A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y=x 对称【答案】C 【解析】【分析】令()2xf x =，则()2xf x ---=-，由()y f x =与()y f x =--的图象关于原点对称即可得解.【详解】解：令()2xf x =，则()2xf x ---=-()y f x = 与()y f x =--的图象关于原点对称，2x y -∴=-与2x y =的图象关于原点对称.故选：C【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题.4. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为341,2n S S a a =-，且2415a a +=，则35a a +=（ ）A. 3 B. 5C. 30D. 45【答案】D 【解析】【分析】首先确定1q ≠，再利用等比数列的前n 和公式代入即可求出答案.【详解】若公比1q =，则1152a =，315264S a ==，右边410a a -=，等式不成立，故1q ≠，则()()31311211a q aq q-⨯=--，显然310q -≠，所以211q=--，解得3q =，又因为()2242115a a a q +=+=，代入得232a=，所以()()33352333452a a a q q +=+=⨯+=，故选：D.5. 如图，平行四边形ABCD 中，2,AE EB DF FC ==，若,CB a CE b == ，则AF =（ ）A. 1322a b+ B. 3122a b-C. 1322a b -D. 1322a b-+【答案】C 【解析】【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形，且2AE EB =，DF FC =，所以12AF AD DF AD DC =+=+ ，即22AF AD DC =+①，又13CE CB BE CB BA =+=+ ，即33CE CB BA =+ ②，由①+②得到23AF CE CB += ，又CB a = ，CE b =，所以1322A b F a =- .故选：C.6. 关于x 的方程(1)(4)x x a --=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论错误的是（ ）A. 当0a =时，121,4x x == B. 当0a >时，1214x x <<C. 当0a >时，121,4x x <> D. 当904a -<<时，122544x x <<【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，借助二次函数的图象，逐项分析判断即可.【详解】对于A ，当0a =时，方程(1)(4)0x x --=的二实根为121,4x x ==，A 正确；对于B ，方程(1)(4)x x a --=，即2540x x a -+-=，254(4)0a ∆=-->，解得94a >-，当0a >时，1244x x a =-<，B 错误；对于C ，令()(1)(4)f x x x =--，依题意，12,x x 是函数()y f x =的图象与直线y a =交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象与直线y a =，如图，观察图象知，当0a >时，1214x x <<<，C 正确；对于D ，当904a -<<时，12254(4,)4x x a =-∈，D 正确.故选：B7. 已知角αβ，满足tan 2α=，2sin cos()sin βαβα=+，则tan β=（ ）A13B.17C.16D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用正弦和角公式，同角三角函数关系得到2tan()3tan αβα+=，故3tan()tan 32αβα+==，利用正切和角公式得到方程，求出1tan 7β=.【详解】因为()sin sin sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+，2sin cos()sin βαβα=+，所以2sin()cos 2cos()sin cos()sin αβααβααβα+-+=+，即2sin()cos 3cos()sin αβααβα+=+，则2tan()3tan αβα+=，因为tan 2α=，所以3tan()tan 32αβα+==，其中tan tan 2tan tan()31tan tan 12tan αββαβαββ+++===--，故2tan 36tan ββ+=-，解得1tan 7β=.故选：B.8. 在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且CD a =，AB b =，EF 和GH 为平行于底的两条割线，其中EF为中位线，.GH 过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（ ）A.)0,02a ba b +≥>>B. ()20,0112a ba b a b+≤>>+C. )0,02a b a b +≤>>D. )220,0a b a b +≥>>【答案】B 【解析】【分析】首先设AC 交BD 于O 点，根据三角形相似性质得到211GH a b=+，即可得到答案.【详解】设AC 交BD 于O 点，如图所示：因为////AB GH CD ，所以OG AO BO OHDC AC BD DC===，即OG OH =.又因为1OG OH OG OH AO OCDC AB a b AC AC+=+=+=，即11221GH GHa b +=，解得2211ab GH a b a b==++.又因为2a b EF +=，GH EF ≤，所以2112a ba b+≤+.故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 在实际应用中，通常用吸光度A 和透光率T 来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为1lgA T=，下表为不同玻璃材料的透光率：玻璃材料材料1材料2材料3T0.70.80.9设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为123,,A A A ，则下列结论正确的是（ ）A. 12A A > B. 233A A >C. 1322A A A +> D. 231A A A +>【答案】AC 【解析】【分析】根据对数运算法则和单调性求解即可.【详解】由换算公式和图表可知，11110lglg 7A T ==，22110lg lg 8A T ==，33110lg lg 9A T ==，又因为函数lg y x =在(0,+∞)上单调递增，所以对于A ：121010lglg 78A A =>=，说法正确；对于B ：332101010001033lg lg lg lg 997298A A ⎛⎫===>= ⎪⎝⎭，说法错误；对于C ：131010100lg lg lg 7963A A +==+，22101010022lg lg lg 8864A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1322A A A +>，说法正确；对于D ：231101010010lg lg lg lg 89727A A A +=+=<=，说法错误；故选：AC10. 已知非零向量,,a b c，则下列结论正确的是（ ）A. 若a c b c ⋅=⋅ ，则a b=B. 若()0a b c ⋅=，则b c⊥C. 若()()a b a b +⊥-，则||||a b = D. 向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与向量a垂直【答案】BCD的【解析】【分析】A 选项，举出反例即可；B 选项，由向量数乘运算和数量积公式得到b c ⊥；C 选项，根据向量数量积公式得到220a b -= ，故||||a b = ；D 选项，计算出()()0a b c a c b a ⎡⎤⋅-⋅⋅=⎣⎦，得到垂直关系.【详解】A 选项，不妨设()()()1,0,2,0,0,1a b c === ，满足0a c b c ⋅=⋅=，但a b ≠ ，A 错误；B 选项，()0a b c ⋅= ，故0b c ⋅=，则b c ⊥ ，B 正确；C 选项，()()a b a b +⊥- ，故22()()0a b a b a b +⋅-=-= ，故||||a b = ，C 正确；D 选项，()()()()()()0a b c a c b a a b c a a c b a ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⎣⎦ ，故向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与向量a垂直，D 正确.故选：BCD11. 已知函数()cos sin f x x x x =-在区间(0,3π)内有两个零点12,x x ，则下列结论正确的是（ ）A. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x > B.12πx x ->C. 12sin 02x x +⎛⎫>⎪⎝⎭D. 1221sin sin 0x x x x +<【答案】ABD 【解析】【分析】由()0f x =得()tan cos 0x x x =≠，从而得1122tan ,tan x x x x ==，作出单位圆以及5ππtan ,0,22{|y x x x x x =∈<<≠且3π2x ⎫≠⎬⎭与y x =的函数图象，结合图象逐一判断即可得解.【详解】()0f x =即cos sin 0x x x -=，即sin cos x x x =，当cos 0x =时，上式显然不成立，故()0f x =等价于()tan cos 0x x x =≠，所以1122tan ,tan x x x x ==.对于A ，设π0,2AOB α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，作出单位圆，则由三角函数定义可知 tan ,ABAC l αα==，设扇形OAB 的面积为1S ，则1OAC S S > ，即1111tan 2222ABOA AC l OA αα⋅=>=⋅，故tan αα>，故A 正确；对于B ，画出5ππtan ,0,22{|y x x x x x =∈<<≠且3π2x ⎫≠⎬⎭与y x =的函数图象，因为tan y x =的最小正周期为π，所以由图象可知1x 与2x 之间的距离大于π，即12πx x ->，故B 正确；对于C ，由图得123π5ππ,,2π,22x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故23πx <+14πx <，故123π2π22x x +<<，所以12sin 02x x +<，故C 错误；对于D ，因为1122tan ,tan x x x x ==，所以12122112212112sin sin sin sin tan sin tan sin sin sin cos cos x x x x x x x x x x x x x x ++=+=()()1212121212sin sin cos cos tan tan cos cos cos cos x x x x x x x x x x +==⋅+1212121212tan tan cos cos 2222x x x x x x x x x x ⎡⎤+-+-⎛⎫⎛⎫=⋅++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦121212tan tan 2coscos 22x x x x x x +-=⋅⋅，由图可知，12tan tan x x 、均大于0，由C 项知123π2π22x x +<<，故12cos 02x x +>，又由B 项知12π3π224x x -<<，所以12cos 02x x -<，所以121212tan tan 2cos cos 022x x x xx x +-⋅⋅<即1221sin sin 0x x x x +<，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：对于选项D 判断1221sin sin 0x x x x +<，关键点1是根据已知条件1122tan ,tan x x x x ==结合问题的结构特征将1221sin sin x x x x +转化成1221tan sin tan sin x x x x +，接着将其弦切互化得到()()1212121212sin sin cos cos tan tan cos cos cos cos x x x x x x x x x x +=⋅+；关键点2是利用选项B和C 中的12x x +和12x x -结合12121212122222x x x x x x x xx x +-+-+-==、以及两角和与差的余弦公式，将()1212tan tan cos cos x x x x ⋅+转化成121212tan tan 2cos cos 22x x x xx x +-⋅⋅，进而结合图象且借助选项B 和C 中的结论即可判断得解.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在ABC V 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则cos B =______【答案】19【解析】【分析】根据角C 的余弦定理形式求解出c 的值，再根据余弦定理求解出cos B 的值.【详解】因为22222cos 16924393c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以3c =，所以22299161cos 22339a cb B ac +-+-===⨯⨯，故答案为：19.13. 已知二次函数()f x 从1到1x +∆的平均变化率为23x ∆+，请写出满足条件的一个二次函数的表达式()f x =_______．【答案】22x x -（答案不唯一）【解析】【分析】设f (x )=ax 2+bx +c ，利用平均变化率的定义计算即可.【详解】设f (x )=ax 2+bx +c ，则()()()()()21Δ11Δ1ΔΔ21Δ1Δf x f a x b x c a b c a x a b x x+-++++-++==+++-，由题意知223a a b =⎧⎨+=⎩，解之得21a b =⎧⎨=-⎩，显然c 的取值不改变结果，不妨取0c =，则()22f x x x =-.故答案为：22x x-14. 已知函数()11x x e f x e -=+，()()11g x f x =-+，()*12321n n a g g g g n N n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 通项公式为__________．【答案】21n a n =-【解析】【分析】先证明函数()f x 为奇函数，故()()11g x f x =-+的图像关于()1,1对称，故()()22g x g x +-=，由此将n a 的表达式两两组合求它们的和，然后求得n a 的表达式.【详解】由于()()1111x xx xe ef x f x e e-----===-++，所以函数()f x 为奇函数，故()()11g x f x =-+的图像关于()1,1对称，由此得到()()22g x g x +-=，所以()121222111n n n n n a g g g g g g g n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()211210121n g n f n =-+=-++=-.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和对称性，考查特殊数列求和的方法——分组求和法.属于中档题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设函数()e xf x =，x ∈R .的（1）求方程()()()22f x f x =+的实数解；（2）若不等式()22x b b f x +-≤对于一切x ∈R 都成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）ln 2x = （2）112b -≤≤【解析】【分析】（1）转化为关于e x 的一元二次方程进行求解.（2）分离参数，构造函数()g x ，求导得到()g x 的最小值即可求解.【小问1详解】由()e xf x =，代入方程()()()22f x f x =+得：()2e e 2x x =+，即()()e 2e 10xx-+=，解得e 2x =，即ln 2x =.【小问2详解】不等式()22x b b f x +-≤即22e x x b b +-≤，原不等式可化为22e x b b x -≤-对x ∀∈R 都成立，令()e xg x x =-，则()e 1xg x '=-，当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<，所以()g x 在(),0∞-上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故当0x =时，()()min 0=1g x g =，所以221b b -≤，即2210b b --≤，解得：112b -≤≤.16. 已知函数2()2sin cos f x x x x =+-，R x ∈，且将函数()f x 的图象向左平移π(02ϕϕ<<个单位长度得到函数()g x 的图象．（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若函数()g x 是奇函数，求ϕ的值；（3）若1cos 3ϕ=，当x θ=时函数()g x 取得最大值，求π12f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）πT =，π5ππ-,π+,Z 1212k k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（2）π6ϕ=（3）π()12f θ+=【解析】【分析】（1）用二倍角公式、降幂公式及辅助角公式进行化简，再利用2πT ω=求解即可得到最小正周期；结合正弦函数的单调递增区间，用整体的思想求解即可；（2）先根据平移变换求出()g x 表达式，在根据题意列出等式求解即可；（3）当x θ=时函数()g x 取得最大值，由此可得5ππ12k θϕ=-+，代入π12f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简；又1cos 3ϕ=，因此可求出sin ϕ，再求出sin 2,cos 2ϕϕ，再根据两角和的正弦公式求解即可.【小问1详解】由题意得()πsin 222sin 23f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则其最小正周期2π=π2T =，令πππ2π22π,Z 232k x k k -≤-≤+∈，解得π5πππ,Z 1212k x k k -≤≤+∈，则其单调递增区间为π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】将()f x 的图象向左平移ϕ个单位长度得到()g x 的图象，则()π2sin 223g x x ϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，若函数()g x 是奇函数，则π20π,Z 3k k ϕ-=+∈,即ππ,Z 62k k ϕ=+∈因为π02ϕ<<，所以0k =时，π6ϕ=．【小问3详解】由题知πsin(22)13θϕ+-=，则22232k θϕππ+-=+π，从而512k θϕπ=-+π，Z k ∈，因此πππππ2sin π22π2sin 212233f f k k θϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1cos 3ϕ=，且π02ϕ<<，所以sin ϕ=，的因此1sin 223ϕ==，17cos 22199ϕ=⨯-=-，所以π17sin(2)()329ϕ+=-=，所以π()12f θ+=17. ABC V 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .（1）若sin sin sin sin cos21A B B C B ++=，3π4C =，求a b的值；（2）求证：()222sin sin A B a b c C--=.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意由正弦定理的边角互化，结合余弦定理代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，先由正弦定理的边角互化进行化简，再由余弦定理公式代入计算，即可证明.【小问1详解】因为sin sin sin sin cos21A B B C B ++=，所以2sin sin sin sin 1cos 22sin A B B C B B +=-=，由正弦定理可得22ab bc b +=，即2a c b +=，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，所以()222322cos4b a a b ab π-=+-，整理可得(34b a =，所以a b==.【小问2详解】证明：()sin sin cos cos sin sin sin A B A B A B CC--=，由正弦定理可得sin cos cos sin cos cos sin A B A B a B b AC c--=，由余弦定理可得222222222222cos cos 22222a c b b c a a b a B b A a b a b ac bc c c c c +-+-⋅-⋅---===，所以()222sin sin A B a b c C--=.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，11nn S a n n+=--，*N n ∈.（1）求n S ；（2）令()11121n n n n n n n S S b na a n a a ++++=-+，证明：12313n b b b b ++++< .【答案】（1）2n S n = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意n a 与n S 之间的关系将1n a +用1n n S S +-表示，得到111n n S S n n +-=+，得到n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，进而得到n S ；（2）化简n b ，利用裂项相消法求和即可证明.【小问1详解】因为11n n n a S S ++=-，11nn S a n n+=--，所以()()()1111n n n n S n a n n S S n n ++=--=--+， 故()()111n n S n nS n n ++=-+，及111n nS S n n+-=+，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11111S a ==，公差为1的等差数列， 故()11nS n n n=+-=，则2n S n =.【小问2详解】因为2n S n =，1n n n a S S -=-（2n ≥，*N n ∈），所以()22121n a n n n =--=-（2n ≥，*N n ∈）.又11a =符合上式，所以21n a n =-()*N n ∈.因为()11121n n n n n n n S S b na a n a a ++++=-+，所以()()()()()()221212112123n n n b n n n n n n +=--++++()()()()121212123nn n n n n +=--+++()()()()()4114421212123n nn n n n ⎡⎤+=-⎢⎥-+++⎣⎦11111421212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦11142123n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭， 所以123nb b b b ++++L 1111111111111453759252123212123n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11111411114321234321233n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=--< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.19. 若函数()f x 对其定义域内任意()1212,x x x x ≠满足：当()()12f x f x =时，恒有12x x m =，其中常数m ，则称函数()f x 具有性质()V m .（1）函数1()2=+g x x x具有性质()V m ，求m .（2）设函数()()()1221()ln ,0h x x x h x h x x x =-=>>，（ⅰ）判断函数()h x 是否具有性质()V m ，若有，求出m ，若没有，说明理由；（ⅱ）证明：2122x x <.【答案】（1）12m =（2）（ⅰ）()h x 不具有性质()V m ，理由见解析；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）对任意的()()12,,00,x x ∈-∞+∞ 且12x x ≠，由12121221x x x x ++=变形得到()1212012x x x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，得到1212x x =，求出12m =；（2）（ⅰ）求导，得到()ln h x x x =-的单调性，得到1201x x <<<，假设()h x 具有性质()V m ，即21x x m =，所以21x m x =，根据1122ln ln x x x x -=-，得到1112ln ln 0x mx m x --+=，显然不能恒成立，故假设不成立，()h x 不具有性质()V m ；（ⅱ）先得到21211ln ln x x x x -=-，由对数平均不等式得到121x x <，分212x <≤和22x >两种情况进行求解，当212x <≤时，1122222x x x x x =⋅<，当22x >时，构造差函数，进行求解，得到结论.【小问1详解】1()2=+g x x x定义域为()(),00,-∞+∞ ，对任意的()()12,,00,x x ∈-∞+∞ 且12x x ≠，有12121221x x x x ++=，即()()2112121212121211201222x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫---+-+-==-= ⎪⎝⎭，因为12x x ≠，所以120x x -≠，故1212x x =，故1212x x =，故12m =；小问2详解】()h x 不具有性质()V m ，理由如下：()ln h x x x =-的定义域为()0,∞+，11()1x h x x x-'=-=，当1x >时，()0h x '>，当01x <<时，()0h x '<，故()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，又21x x >，故1201x x <<<，假设函数()h x 具有性质()V m ，即21x x m =，所以21x mx =，【因为1122ln ln x x x x -=-，所以111111ln ln ln ln x x m x x x x m mm -=-=-+，故1112ln ln 0x mx m x --+=对于任意的()10,1x ∈恒成立，即1112ln ln mm x x x --+恒为0，显然不可能，故假设不成立，故()h x 不具有性质()V m ；（ⅱ）因为1122ln ln x x x x -=-，所以2121ln ln x x x x -=-，21211ln ln x x x x -=-，下面证明2121ln ln x x x x ->-2211ln ln xxx x >>⇒，1t =>2101ln 2l ln 1n 2t t x x t tt t >-⇒⇒->->，令()12ln t tp t t --=，1t >，则()()222221121210t t t t t tp t t --+-===+>'，故()12ln t tp t t --=在()1,t ∈+∞上单调递增，故()()10p t p >=，12ln 0t t t-->，所以2121ln ln x x x x ->-1>，所以121x x <，当212x <≤时，1122222x x x x x =⋅<，当22x >时，令()111112222222222222ln ln ln ln 22ln h x h x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=--+-⎪⎝⎭22222222222ln ln 22ln 3ln ln 2x x x x x x x =--+-=--+，令()223ln ln 2q x x x x=--+，2x >，()()()23233321343410x x x x q x x x x x-+-+'=-+==>，故()223ln ln 2q x x x x=--+在()2,+∞上单调递增，又()32322ln 2ln e ln 42q =-=-，其中3e 160->，故32e 4>，所以()20q >，故()1222222223ln ln 20h x h x x x x ⎛⎫-=--+> ⎪⎝⎭，()1222h x h x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，其中()()12220,1,0,1x x ∈∈，而()h x 在()0,1上单调递减，故1222x x <，2122x x <，综上，2122x x <.121212ln ln 2x x x xx x -+<<-，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合1122ln ln ln x x x x -=，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明。
2021年高三11月月考数学(文)试题含答案
2021年高三11月月考数学（文）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
试卷满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，满分60分）1．已知全集，集合，，则等于A．B．C．D．2．函数是奇函数的充要条件是A．B．C．D．3．复数的共轭复数是（）A．i +2 B．i -2 C．-i -2 D．2 - i4．若是上周期为5的奇函数，且满足，则（）A．－1 B．1 C．－2 D．25．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥侧面积和体积分别是（）A．B．C．D．8, 86．已知函数若=4，则实数=（）A．B．C．2 D．97．已知a＞0,函数,若满足关于的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（）A．B．C．D．8．设不等式组表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A．B．C．D．9．已知过点P（2,2）的直线与圆（x-1）2+y2=5相切,且与直线垂直,则=（）A．B．1 C．2 D．10．若函数f（x）=,若fA>f（-a）,则实数a的取值范围是（）A．（-1，0）∪（1,+∞）B．（-∞，-1）∪（0,1）C．（-1，0）∪（0，1）D．（-∞，-1）∪（1,+∞）11．若存在x∈[﹣2，3]，使不等式4x﹣x2≥a 成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣8，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，﹣12] D．（﹣∞，4] 12．已知向量，满足，，且对任意实数，不等式恒成立，设与的夹角为，则（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13．设，为单位向量．且、的夹角为，若，，则向量在方向上的射影为________．14．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，算得，，，．则家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程为．（附：线性回归方程中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．）16．函数的部分图象如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则三、解答题：（本大题共6小题，满分70分）17．（本题满分10分）在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2=b2+c2+bc．（1）求；（2）设,S为△ABC的面积,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此时B的值．18．（本题满分12分）在公差为的等差数列{a n}中，已知a1＝10，且成等比数列．（1）求;（2）若，求．19．（本题满分12分）某校100名学生期中考试语文成绩频率分布直方图如图所示，期中成绩分组区间是：[)[)[)[)[),,,,,,,,,.506060707080809090100（1）求图中的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数．分数段1:1 2:1 3:4 4:520．（本题满分12分）如图①，在边长为1的等边中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图②所示的三棱锥，其中．①②（1）证明：//平面；（2）证明：平面；（3）当时，求三棱锥的体积．21．（本题满分12分）已知函数f（x）=x2+xsin x+cos x．（1）若曲线y=f（x）在点（a,f A．）处与直线y=b相切，求a与b的值。
河南省部分学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题含答案
高三数学（答案在最后）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数，三角函数、三角恒等变换，解三角形、平面向量．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数tan y x =的值域可以表示为（）A.{tan }xy x =∣ B.{tan }yy x =∣C.{(,)tan }x y y x =∣D.{tan }y x =【答案】B 【解析】【分析】根据函数的值域是指函数值组成的集合，即可判断.【详解】因函数的值域是指函数值组成的集合，故对于函数tan y x =，其值域可表示为：{tan }yy x =∣.故选：B.2.若“sin 2θ=-”是“tan 1θ=”的充分条件，则θ是（）A .第四象限角B.第三象限角C.第二象限角D.第一象限角【答案】B 【解析】【分析】根据角θ的正切值与正弦值的正负判断象限即可.【详解】由题可知，sin 02θ=-<，则θ是第三象限角或第四象限角；又要得到tan 10θ=>，故θ是第三象限角.故选：B3.下列命题正确的是（）A.x ∃∈R ，20x <B.(0,4)x ∀∈，20log 2x <<C.(0,)x ∃∈+∞，132x x< D.π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，4sin cos x x =【答案】C 【解析】【分析】对于选项A:利用指数函数的值域即可判断；对于选项B:利用对数函数的单调性求出值域即可判断；对于选项C:采用特殊值法，令14x =即可判断;对于选项D:令4sin cos 2sin 2y x x x ==，结合三角函数的值域求解验证即可.【详解】对于选项A:因为指数函数2x y =的值域为0,+∞，故x ∀∈R ，20x >，故选项A 错误；对于选项B:因为对数函数2log y x =在(0,4)x ∈上单调递增，所以当(0,4)x ∈时，()2log ,2y x ∞=∈-，故选项B 错误；对于选项C:令14x =,则311464⎛⎫= ⎪⎝⎭，121142⎛⎫= ⎪⎝⎭，显然11642<，故(0,)x ∃∈+∞，使得132x x <成立，故选项C 正确;对于选项D:结合题意可得：令4sin cos 2sin 2y x x x ==，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,πx ∈，所以(]2sin 20,2y x =∈，2>，故不存在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得4sin cos x x =,故选项D 错误.故选：C.4.函数24()f x x x =-的大致图象是（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先确定函数的奇偶性，排除两选项，再根据特殊点的函数值的正负，选出正确答案.【详解】函数24y x x =-是偶函数，图象关于y 轴对称，排出选项A 、B ；再取特殊值12x =和2x =，可得函数的大致图象为C ，故选：C .5.已知向量1e ，2e 满足121e e == ，120e e ⋅= ，则向量1e 与12e e -的夹角为（）A.45︒B.60︒C.120︒D.135︒【答案】A 【解析】【分析】利用向量夹角的计算公式计算即可.【详解】由题可知()21121121e e e e e e ⋅-=-⋅=，12e e -==，121e e == 所以()1121121122cos ,2e e e e e e e e e ⋅--===-故向量1e 与12e e -的夹角为45︒故选:A 6.已知5πtan 210α+=，则4π5tan 5α-=（）A.125 B.125-C.43D.43-【答案】C 【解析】【分析】先确定两个角的关系，然后利用三角恒等变换公式求解即可.【详解】由题可知，5π4π52π105αα+-⨯+=25π2tan5π4410tan 25π101431tan 10ααα++⎛⎫⨯===- ⎪+-⎝⎭-所以有4π55π5π4tan tan π2tan 2510103ααα-++⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C7.已知0a >，0b >，9a b +=，则36a ba+的最小值为（）A.8B.9C.12D.16【答案】A 【解析】【分析】我们观察形式，显然分式的分子和分母同时有变量，所以令()364a b =+代入化简，然后利用基本不等式求解即可.【详解】43644448b a b a a a b b a a b a +=+=++≥+=+当且仅当4b aa b=，9a b +=，即26a b ==时等号成立；故选：A8.若0x ∀>，()()()21ln 10x ax ax ---≥，则a =（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先将两个乘积看做两个函数()21,ln 1y x ax y ax =--=-，易知要使0x ∀>时，()21(ln 1)0xax ax ---≥，则需要两函数()21,ln 1y x ax y ax =--=-同号，所以我们需要去找他们零点，0x >时零点相同，然后求解参数a 即可.【详解】由题易知0a >，当ex a=时，()ln 10ax -=；由对数函数的性质可知，当e 0,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()ln 10ax -<；当e ,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()ln 10ax ->；显然函数21y x ax =--有两个根12,x x ，不妨令12x x <，则120x x <<由二次函数的图像可知，()20,x x ∈时，210x ax --<；()2,x x ∞∈+时，210x ax -->故要使()()()21ln 10x ax ax ---≥恒成立，则2ex a=所以有2e e 10aa a ⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，解得a =故选：D【点睛】关键点点睛：当两个式子相乘大于等于零时，两个式子必定同为负或者同为正，或者有一个为零.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数sin()()2x f x -=，则（）A.()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.()f x 为奇函数C.()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()f x 的最小正周期为2π【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A:利用换元()sin t x =-，再结合指数函数的单调性即可求出值域；对于选项B:利用奇偶性的定义说明即可；对于选项C :结合复合函数的单调性即可判断；对于选项D :借助三角函数的周期，以及周期函数的定义即可判断.【详解】对于选项A:由sin()()2x f x -=，令()sin t x =-，则2t y =，[]1,1t ∈-，因为2t y =在[]1,1t ∈-上单调递增，所以12,22ty ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故选项A 正确；对于选项B:由sin()()2x f x -=可知(),x ∞∞∈-+，对任意的(),x ∞∞-∈-+，因为sin ()2x f x -=，而sin ()2x f x -=，易验证()(),f x f x -≠-故()f x 不是奇函数，故选项B 错误；对于选项C :结合选项A 可知()sin t x =-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，而2t y =在定义域上单调递增，由复合函数的单调性可得sin()()2x f x -=在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，故选项C 错误；对于选项D :因为()sin t x =-的最小正周期为2πT =，所以sin(2π)sin()(2π)22()x x f f x x ---==+=，所以()f x 的最小正周期为2π，故选项D 正确.故选：AD.10.国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费(0)x x >元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（）A.当0200x <<时，应进甲商场购物B.当200300x ≤<时，应进乙商场购物C.当400500x ≤<时，应进乙商场购物D.当500x >时，应进甲商场购物【答案】AC 【解析】【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可.【详解】当0200x <<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为x ，0.84x x >，故应进甲商场，所以选项A 正确；当200300x ≤<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为40x -，400.840.1640x x x --=-，因为200250x ≤<，所以80.16400x -≤-<，400.84x x -<，进入乙商场，当250300x ≤<故400.84x x ->应进甲商场，所以选项B 错误；当400500x ≤<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为80x -800.840.1680x x x --=-，因为400500x ≤<，所以160.16800x -≤-<故800.84x x -<，所以应进乙商场，所以选项C 正确；假设消费了600，则在甲商场的费用为6000.84504⨯=，在乙商场的费用为600120480-=，所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D 错误.故选：AC11.已知函数()f x 满足：①x ∀，R y ∈，()[()]y f xy f x =；②(2)1f ->，则（）A.(0)0f = B.()()()f x y f x f y +=⋅C.()f x 在R 上是减函数 D.[1,3]x ∀∈，()2(3)1f x kx f x -⋅-≥，则3k ≥【答案】BCD 【解析】【分析】取2,0x y =-=可求(0)f ，判断A ，取12,2x y =-=-证明()011f <<，取1x =可得()[(1)]y f y f =，由此可得()[(1)]x f x f =，结合指数运算性质和指数函数性质判断BC ，选项D 的条件可转化为当[1,3]x ∈，31x k x+-≤恒成立，结合函数性质求结论.【详解】因为x ∀，R y ∈，()[()]y f xy f x =，(2)1f ->取2,0x y =-=可得01(0)[(2)]f f =-=，A 错误；取12,2x y =-=-可得12(1)[(2)]f f -=-，又(2)1f ->，所以()011f <<，取1x =可得，()[(1)]y f y f =，所以()[(1)]x f x f =，其中()011f <<，所以()()()()()()111x yx yf x y f f f f x f y ++===，B 正确，由指数函数性质可得()[(1)]x f x f =，其中()011f <<在R 上单调递减，所以()f x 在R 上是减函数，C 正确；不等式()2(3)1f x kx f x -⋅-≥可化为()()()23111xkxx f f f --≥，所以230x kx x -+-≤，由已知对于[1,3]x ∀∈，230x kx x -+-≤恒成立，所以当[1,3]x ∈，31x k x+-≤恒成立，故max31x k x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，其中[1,3]x ∈，因为函数1y x =+，3y x=-在[]1,3上都单调递增，所以31x x+-在[1,3]上的最大值为3，所以3k ≥，D 正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()1ln(2)f x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为______．【答案】0x y +=【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，然后代入点斜式直线方程即可求解切线.【详解】由题可知，()12f x x =-+'，()11f -=，所以切线斜率()11k f =-=-'，故切线方程为()110y x x y -=-+⇒+=.故答案为：0x y +=13.已知函数()cos (0)f x x ωω=>，若π2f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，则ω的值是__________．【答案】2【解析】【分析】根据偶函数的性质，求得2k ω=，Z k ∈，再结合余弦函数的零点，列出不等式，即可求解.【详解】πππcos cos 222f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为偶函数，所以ππ2k ω⋅=，Z k ∈，得2k ω=，Z k ∈，当∈0,π时，()0,πx ωω∈，()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，所以3π5ππ22ω<≤，解得：3522w <£，所以2ω=.故答案为：214.若ABC V 内一点P 满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=，则称P 为ABC V 的布洛卡点，α为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在ABC V 中，AB AC =，3cos 5BAC ∠=，若P 为ABC V 的布洛卡点，且2PA =，则BC 的长为______．【解析】【分析】利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理等知识进行分析，先求得sin α，进而求得a ，也即是BC .【详解】213cos 2cos 125BAC BAC ⎛⎫∠=∠-= ⎪⎝⎭，所以BAC ∠为锐角，12BAC ∠为锐角，所以11cos ,sin 2525BAC BAC ⎛⎫⎛⎫∠=∠== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于AB AC =，所以A ABC CB =∠∠，设ABC ACB θ∠=∠=，则2πBAC θ∠+=，ππ11cos cos cos sin 22225BAC BAC BAC θ-∠⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=∠= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，θ为锐角，则sin 5θ==.由于,BAP CBP ABP BCP θα∠=∠∠=∠=-，所以ABP BCP ，所以AB AP BPBC BP PC==①，在PBC △中，由正弦定理得()()()sin sin sin sin πBP BC BC PCθαθααθα===----，所以()sin sin BP PC θαα-=，所以()sin sin AB BP BC PC θαα-==，即()sin sin c a θαα-=，由正弦定理得sin sin cos cos sin sin cos sin sin tan ACB BAC θαθαθθαα∠-==-∠，即2525554tan 55α=-，解得4tan 7α=，则α为锐角，由22sin 4tan cos 7sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩解得sin αα==，在三角形ABC 中，由余弦定理得222222342cos 2255a b c bc A b b b =+-=-⨯=，所以225,42b a b ==，在三角形ACP 中，由正弦定理得()()sin sin sin πAP AC ACBAC BAC ααα==∠--∠-，所以22445a=，解得a BC ==.【点睛】易错点睛：锐角与边长关系的判断：在判断三角形的角是否为锐角时，容易出现符号错误或判断失误.因此，在涉及角度大小的判断时，需特别注意各个角的定义和所使用定理的适用范围.正弦定理和余弦定理的符号处理：在使用正弦定理和余弦定理时，符号的处理必须谨慎，特别是在涉及平方根和正负符号的时候，需确保没有遗漏或误用.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．（1）求A ；（2）若O 为ABC V 的外心，D 为边BC 的中点，且1OD =，求ABC V 周长的最大值．【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换进行化简即可求解；（2）利用向量表示出1122OD OB OC =+uuu r uu u r uuu r，由余弦定理结合基本不等式、三角形周长公式即可求解.【小问1详解】由已知π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭及正弦定理得：312sin sin cos sin sin 22A C C B C ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由()()sin sin πsin sin cos cos sin B A C A C A C A C ⎡⎤=-+=+=+⎣⎦得：sin sin cos sin cos cos sin sin A C A C A C A C C +=++，sin cos sin sin A C A C C =+，又sin 0C ≠，cos 1A A =+，即π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ,66A -=解得π3A =.【小问2详解】因为O 为ABC V 的外心,且由上问知π3A =，所以2π23BOC A ∠=∠=,设OB OC R ==（R 为ABC V 的外接圆半径），因为D 为边BC 的中点，且1OD =，所以在OBC △中易得：1122OD OB OC =+uuu r uu u r uuu r，所以2221112πcos 4423OD OB OC OB OC =++ ，即22211121cos 4423πR R R =++，解得：2R =，在OBC △中由余弦定理可得：2222π2cos123BC OB OC OB OC =+-=，解得BC a ==在ABC V 中由余弦定理可得：()2222π2cos3123a b c bc b c bc =+-=+-=，由基本不等式22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可得：()223122b c b c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当b c =时等号成立，所以()21124b c +≤，即b c +≤.所以ABC V 周长ABC C a b c =++≤+=V当且仅当b c ==时等号成立.故ABC V 周长的最大值为16.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan tan tan tan 1B C B C ++=，1b =，c =．（1）求a ；（2）如图，D 是ABC V 外一点（D 与A 在直线BC 的两侧），且AC CD ⊥，45CBD ∠= ，求四边形ABDC 的面积．【答案】（15（2）136【解析】【分析】（1）首先根据两角和的正切公式求()tan B C +，即求角A ，再根据余弦定理求解；（2）根据诱导公式求解sin BCD ∠，以及两角和的三角函数求sin D ，再根据正弦定理求BD ，最后根据面积公式，即可求解.【小问1详解】由条件可知，tan tan 1tan tan +=-B C B C ，所以()tan tan tan 11tan tan B CB C B C++==-，所以45B C += ，即135A = ，所以2cos 2A =-，则22222cos 1221252a b c bc A ⎛=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭,所以5a =；【小问2详解】15225cos 5215ACB ∠==⨯⨯，()25sin sin 90cos 5BCD ACB ACB ∠=-∠=∠=，5cos 5BCD ∠=，()()sin sin 45sin cos 225510D BCD BCD BCD ⎛=∠+=∠+∠=⨯+= ⎝⎭ ,BCD △中，sin sin BC BD D BCD =∠，即sin sin 3BC BCD BD D ⋅∠==，所以15sin 4523BCD S BC BD =⨯⨯= ，11sin13522ABC S AC AB =⋅⋅= ，所以四边形ABDC 的面积为5113326+=.17.已知平面向量(,)m a b = ，(sin ,cos )n x x ωω=，且2m n = ，其中0a >，0ω>．设点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象（()f x 的部分图象如图所示）上．（1）求a ，b ，ω的值；（2）若()G x y ,是()y f x =图象上的一点，则1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，求()g x 在[0,π]上的单调递减区间．【答案】（1）a =1b =，2ω=；（2）π[,π]3【解析】【分析】（1）由2m n =得2=，利用向量数量积计算公式和辅助角公式化简得()2sin()f x x ωϕ=+，根据题设条件列出三角方程组，结合图象即可求出a ，b ，ω的值；（2）由题意中点的变换求得π()sin(6g x x =+，利用正弦函数的图象特点即可求得()g x 在[0,π]上的单调递减区间.【小问1详解】因(,)m a b = ，(sin ,cos )n x x ωω=，由2m n =2=，由()(,)(sin ,cos )f x m n a b x x ωω=⋅=⋅sin cos )2sin()a x b x x x ωωωϕωϕ=+=+=+，其中tan b aϕ=，因点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象上，则有，2sin 111πsin()012ϕωϕ=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②，结合图象，由①可得πZ π2,6k k ϕ=+∈，将其代入②式，可得11πππ,Z 126n n ω+=∈，即212,Z 1111n n ω=-+∈，（*）由图知，该函数的周期T 满足311π412T T <<，即3π11π2π212ωω<<又0ω>，则有18241111ω<<，由（*）可得2ω=，故π()2sin(2)6f x x =+.由320b a a ⎧=⎪=⎪>⎩解得，1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故a =1b =，2ω=；【小问2详解】不妨记12,2x x y y ''==，则,22x x y y ''==，因()G x y ,是()y f x =图象上的一点，即得π22sin()6y x ''=+，即πsin(6y x ''=+，又因1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，故有π()sin()6g x x =+.由ππ3π2π2π,Z 262k x k k +≤+≤+∈，可得π4π2π2π,Z 33k x k k +≤≤+∈，因[0,π]x ∈，故得ππ3x ≤≤.()g x 在[0,π]上的单调递减区间为π[,π]3.18.已知函数()2()e xf x x mx n =++，m ，n ∈R ．（1）当24m n =时，求()f x 的最小值；（2）当2m =-时，讨论()f x 的单调性；（3）当0m n ==时，证明：0x ∀>，()ln 1f x x >+．【答案】（1）0（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，即得函数的极小值即最小值；（2）利用求导，就导函数中的参数进行分类，分别讨论导函数的符号，即得函数的单调性；（3）将待证不等式2e ln 1xx x >+等价转化为3e ln 1x x x x +>，设3e ln 1(),()x x g x h x x x+==，依题意，只需证在0x >时，min max ()()g x h x >成立，分别求m m ax in (),()h x g x 即可得证.【小问1详解】当24m n =时，22()()e 4x m f x x mx =++，22()[(2)2()e ()2)e 42x x m f x x m x m m m x x '=+++=++++，由()0f x '>，可得22m x <--或2mx >-，由()0f x '<，可得222m m x --<<-，即()f x 在(,2)2m -∞--和(,)2m -+∞上单调递增；在(2,)22m m---上单调递减，x →-∞时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，故2mx =-时，()f x 取得极小值也即最小值，为()02m f -=.【小问2详解】当2m =-时，()2()2e xf x x x n =-+，函数的定义域为R ，()2(e 2)xx f x n =+-'，当2n ≥时，()0f x '≥恒成立，故()f x 在R 上为增函数；当2n <时，由()0f x '=，可得x =，故当x <x >时，()0f x '>；即()f x 在(,∞-和)∞+上单调递增；当x <<()0f x '<，即()f x 在(上单调递减.综上，当2n ≥时，()f x 在R 上为增函数；当2n <时，()f x在(,∞-和)∞+上单调递增,在(上单调递减.【小问3详解】当0m n ==时，2()e x f x x =,要证0x ∀>，()ln 1f x x >+，只需证2e ln 1x x x >+，即证3e ln 1x x x x+>在(0,)+∞上恒成立.设3e ln 1(),()x x g x h x x x+==，依题意，只需证在0x >时，min max ()()g x h x >.因e ()=x g x x ，2(1)e ()xx g x x-'=，由()0g x '<，可得01x <<，由()0g x '>，可得1x >，故()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增,则()g x 在1x =时取得极小值也是最小值，为(1)e g =；因3ln 1()x h x x+=，423ln ()x h x x --'=，由()0h x '=，可得23x e -=，由()0h x '<，可得23x e->，由()0h x '>，可得230x e -<<，故()h x 在23(0,e)-上单调递增，在23(e ,)-+∞上单调递减，则()h x 在23x e -=时取得极大值也是最大值，为22332323ln e ()3e1e (e )h ---==+.因2e e 3>，即min max ()()g x h x >在(0,)+∞上成立，故得证.即0x ∀>，()ln 1f x x >+．【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式恒成立等知识点，属于较难题.证明不等式型如()()f x g x >的恒成立问题，一般方法有：（1）构造函数法：即直接构造()()()F x f x g x =-，证明min ()0F x >；（2）比较最值法：即证明min max ()()f x g x >即可；（3）等价转化法：即将待证不等式左右两边同除以一个式子，使得左右函数的最值可比较.19.已知非零向量(,)a m n =，(,)b p q = ，a ，b 均用有向线段表示，现定义一个新的向量c 以及向量间的一种运算“※”：(,)c a b mp nq mq np ==-+※．（1）证明：c 是这样一个向量：其模是a 的模的 b 倍，方向为将a绕起点逆时针方向旋转β角（β为x 轴正方向沿逆时针方向旋转到b所成的角，且02πβ≤<），并举一个具体的例子说明之；（2）如图1，分别以ABC V 的边AB ，AC 为一边向ABC V 外作ABD △和ACE △，使π2BAD CAE ∠=∠=，(01)AD AEAB ACλλ==<<．设线段DE 的中点为G ，证明：AG BC ⊥；（3）如图2，设(3,0)A -，圆22:4O x y +=，B 是圆O 上一动点，以AB 为边作等边ABC V （A ，B ，C 三点按逆时针排列），求||OC 的最大值．【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.（3）5.【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程设定,a b 的坐标，再依据题意证明即可；（2）依据新定义把,AG BC的坐标表示出来再运算证明即可；（3）掌握平面向量的模的运算和三角函数的最值求法即可解答.【小问1详解】证明：设(,)(cos ,sin ),(,)(cos ,sin )a m n r r b p q R R ααββ====（0,0,,r R αβ>>分别为x 轴正方向逆时针到,a b所成的角，且,[0,2)αβπ∈），则cos cos sin sin cos()mp nq Rr Rr Rr αβαβαβ-=-=+，cos sin sin cos sin()mq np Rr Rr Rr αβαβαβ+=+=+，于是cos()sin((,))Rr a b Rr c αβαβ=++=※，即c Rr a b ==⨯，x 轴正方向逆时针到c 所成的角为αβ+.故：c 是这样一个向量：把a的模变为原来的 b 倍，并按逆时针方向旋转β角（β为x 轴正方向逆时针到b所成的角，且02πβ≤<）.例如，1(,),22a b == ，则111,1222((0,2)2c a b ⨯+=== ※，1,2a b == ，a 与x 轴正方向的夹角为π3，b 与x 轴正方向的夹角为6π，将a的模变为原来的2倍，并按逆时针旋转π6，即可得c .【小问2详解】证明：记(,),(,)AB m n AC p q ==，根据新定义，可得()3π3πcos ,sin ,22AD AB n m λλλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ※，同理(cos ,sin )(,)22q p A AE C ππλλλ==- ※，所以1()()()()222n q p m AG A AD E λλ--=+= ，而(,)BC AC AB p m q n =-=--，所以1[()()()()]02AG BC p m n q q n p m λλ⋅=--+--= ，故：AG BC ⊥.【小问3详解】解：设(,)B u v ，则224,(3,)u v AB u v +==+，())3ππ13cos ,sin 3,,,33222222u u v AC AB u v λ⎛⎫⎛++⎛⎫==+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭※※，所以333(3)33333(3,0)(,)(,)222222u u v u v OC OA AC ++--++=+=-+-+=，所以OC ===.设2cos ,2sin (02)u v θθθπ==≤<，则OC == ，当πsin 16θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即π3θ=时，max 5OC = .【点睛】此题考查了圆的参数方程；平面向量数量积的性质，以及三角函数最值.。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。